Cách Chứng Minh 2 Vectơ Cùng Phương đơn Giản Nhất

Cách chứng minh 2 vectơ cùng phương còn có thể phát biểu dưới dạng của một bài toán khác là: chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Bài giảng hôm nay, thầy sẽ giúp các bạn giải quyết bài toán này một cách đơn giản và dễ hiểu. Nếu thực sự nó có ích với bạn thì hãy chia sẻ bài giảng này tới tất cả mọi người.

Trước khi vào nội dung chính thầy sẽ nhắc lại một số kiến thức áp dụng cho việc chứng minh:

Thế nào là hai vectơ cùng phương?

Hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Còn “giá” của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Như vậy hiểu một cách đơn giản sẽ như thế này: Nếu các bạn thấy 2 vectơ đó mà nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên 2 đường thẳng song song thì 2 vectơ đó sẽ cùng phương. Ở đây thầy chỉ nói tới cùng phương chứ không nói cùng hướng nhé. Các bạn có thể xem thêm bài giảng bên dưới để hiểu rõ hơn về một số khái niệm liên quan tới vectơ, thầy viết khá chi tiết và dễ hiểu.

Bài giảng:

1. Các khái niệm liên quan tới vectơ
2. Cách xác định tổng của 2 vectơ
3. Cách xác định hiệu của 2 vectơ
4. Cách phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương

Đó là hiểu theo khái niệm, nhưng không phải lúc nào các bạn cũng có hình vẽ hay hình vẽ thể hiện sẵn cho các bạn biết những vectơ nào cùng phương. Vậy thì chúng ta sẽ có một cách tổng quát để chứng minh 2 vectơ cùng phương. Đây chính là cách mà thầy sẽ sử dụng và hướng dẫn chúng ta.

Cho hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$. Hai vectơ này được gọi là cùng phương nếu tồn tại 1 số k sao cho $\vec{AB}=k\vec{CD}, k\neq 0$.

Để sử dụng phương pháp này chứng minh hai vectơ cùng phương hay chứng minh 3 điểm thẳng hàng thì các bạn cần tìm ra được cái số k thỏa mãn biểu thức vectơ trên. Các bạn có 2 hướng biến đổi:

• Biến đổi trực tiếp: Từ vectơ $\vec{AB}$ dùng lập luận, phân tích… để đưa về đẳng thức trên.
• Biến đổi gián tiếp: Tức là phân tích vectơ $\vec{AB}$ và vectơ $\vec{CD}$ theo 2 vectơ không cùng phương nào đó.

Nếu gặp bài toán đơn giản thì chắc chắn sẽ sử dụng cách biến đổi trực tiếp rồi, nhưng phương pháp chung thì các bạn nên sử dụng cách biến đổi gián tiếp. Có thể coi nó là cách tổng quát cho mọi bài toán chứng minh.

Chứng minh hai vectơ cùng phương

Bài tập 1: Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho :$\vec{OA}+2\vec{OB}-3\vec{OC}=\vec{0}$. Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng.

Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì ta sẽ đi chứng minh $\vec{AB}=k\vec{AC}$ hoặc $\vec{CA}=k\vec{CB}$ hoặc một biểu thức thức liên hệ nào đó giữa 3 điểm A, B, C. Chúng ta tùy biến ở chỗ này, không gò bó phải bắt buộc chứng minh theo một biểu thức cụ thể nào đó.

Đây là bài tập không khó, thầy sẽ hướng dẫn các bạn đi phân tích từ giả thiết của bài toán.

Cách 1: 

$\vec{OA}+2\vec{OB}-3\vec{OC}=\vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{OA}+2\vec{OB}-\vec{OC}-2\vec{OC}=\vec{0}$

$\Leftrightarrow (\vec{OA}-\vec{OC})+(2\vec{OB}-2\vec{OC})=\vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{CA}+2\vec{CB}=\vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{CA}=-2\vec{CB}$

Từ đây ta có $\vec{CA}$ cùng phương với $\vec{CB}$, mà hai vectơ này có chung điểm C. Do đó 3 điểm A, B, C thằng hàng.

Cách 2: 

$\vec{OA}+2\vec{OB}-3\vec{OC}=\vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{OA}-\vec{OB}+3\vec{OB}-3\vec{OC}=\vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{BA}+3\vec{CB}=\vec{0}$   (Áp dụng hiệu 2 vectơ)

$\Leftrightarrow \vec{BA}=-3\vec{CB}$

$\Leftrightarrow \vec{BA}=3\vec{BC}$

Từ đây ta có $\vec{BA}$ cùng phương với $\vec{BC}$, mà hai vectơ này có chung điểm B. Do đó 3 điểm A, B, C thằng hàng.

Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm I sao cho:$\vec{BH}=\frac{1}{5}\vec{BC}$, $\vec{BI}=\frac{1}{6}\vec{BD}$. Chứng minh 3 điểm A, I, H thẳng hàng.

Xét thấy yêu cầu bài tập 2 cũng tương tự như bài tập 1. Nhưng nếu biến đổi trực tiếp như bài tập 1 hẳn là sẽ khó khăn. Bài toán này chúng ta cũng sẽ đi chứng minh 2 vectơ cùng phương, có thể là $\vec{AI}$ cùng phương với $\vec{AH}$ hoặc gì đó. Tức là cần biến đổi $\vec{AI}=k\vec{AH}$.

Bài toán này mục đích của thầy đưa ra là hướng dẫn chúng ta chứng minh hai vectơ cùng phương theo cách gián tiếp. Ở đây các bạn cần phải biến đổi $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ theo 2 vectơ không cùng phương, giả sử là $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ hoặc $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ hoặc gì đó.

Cách 1: Biến đổi $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ theo 2 vectơ không cùng phương $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$

(Bằng mọi cách phân tích, biến đổi phải đưa được về 2 vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ các bạn nhé )

$\vec{AI}=\vec{AB}+\vec{BI}$

$=\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{BD}$   (theo giả thiết)

$=\vec{AB}+\frac{1}{6}(\vec{BC}+\vec{CD})$

$=\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{BC}+\frac{1}{6}\vec{CD}$

$=\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{BC}+\frac{1}{6}(-\vec{AB})$

$=\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{BC}-\frac{1}{6}\vec{AB}$

$=\frac{5}{6}\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{BC}$

$\Rightarrow 6\vec{AI}=5\vec{AB}+\vec{BC}$                                        (1)

Tiếp tục:

$\vec{AH}=\vec{AB}+\vec{BH}$

$=\vec{AB}+\frac{1}{5}\vec{BC}$   (theo giả thiết)

$\Rightarrow 5\vec{AH}=5\vec{AB}+\vec{BC}$                                           (2)

Từ (1) và (2) ta có: $6\vec{AI}=5\vec{AH} \Rightarrow \vec{AI}=\frac{5}{6}\vec{AH}$

Biểu thức trên chứng tỏ 2 vectơ $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ là hai vectơ cùng phương. Hai vectơ này có chung điểm A. Vậy 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Trong cách 1 thầy đã biến đổi hai vectơ $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ cùng bằng $5\vec{AB}+\vec{BC}$. Việc biến đổi theo 2 vectơ không cùng phương nào đó là do sự lựa chọn của các bạn. Để hiểu hơn nữa phương pháp này thầy sẽ hướng dẫn các bạn biến đổi 2 vectơ $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

Cách 2: Biến đổi 2 vectơ $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

$\vec{AI}=\vec{AB}+\vec{BI}$

$=\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{BD}$

$=\vec{AB}+\frac{1}{6}(\vec{BA}+\vec{AC}+\vec{CD})$

$=\vec{AB}+\frac{1}{6}(-\vec{AB}+\vec{AC}-\vec{AB})$

$=\vec{AB}-\frac{2}{6}\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{AC}$

$=\frac{4}{6}\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{AC}$

$\Rightarrow 6\vec{AI}=4\vec{AB}+\vec{AC}$                                    (1)

Tiếp tục:

$\vec{AH}=\vec{AC}+\vec{CH}$

$=\vec{AC}+\frac{4}{5}\vec{CB}$

$=\vec{AC}+\frac{4}{5}(\vec{AB}-\vec{AC})$

$=\vec{AC}+\frac{4}{5}\vec{AB}-\frac{4}{5}\vec{AC}$

$=\frac{4}{5}\vec{AB}+\frac{1}{5}\vec{AC}$

$\Rightarrow 5\vec{AH}=4\vec{AB}+\vec{AC}$                                 (2)

Từ (1) và (2) ta có: $6\vec{AI}=5\vec{AH}\Rightarrow \vec{AI}=\frac{5}{6}\vec{AH}$

Biểu thức trên chứng tỏ 2 vectơ $\vec{AI}$ và $\vec{AH}$ là hai vectơ cùng phương. Hai vectơ này có chung điểm A. Vậy 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Đó là 2 cách biến đổi thôi nhé, còn rất nhiều cách nữa các bạn à. Điều quan trọng là các bạn lựa chọn 2 vectơ không cùng phương nào để hướng tới mà thôi. Các bạn có thể biến đổi theo hai vectơ không cùng phương $\vec{BA}$ và $\vec{BC}$ hay $\vec{BD}$ và $\vec{BA}$… còn nhiều nữa các bạn à. Coi như đây là bài tập cho các bạn rèn luyện nhé.

Các bạn thấy đó nếu cứ theo phương pháp biến đổi này thì mọi bài toán chứng minh 2 vectơ cùng phương hay bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào vectơ đều có thể làm một cách đơn giản mà không gặp khó khăn gì. Các bạn hãy rèn luyện theo hướng tư duy trên mà thầy đã hướng dẫn các bạn, các bạn sẽ thấy nó rất hay.

Có thể sẽ có cách nào đó hay hơn mà thầy chưa biết, nếu bạn còn cách nào hay hơn hãy chia sẻ dưới phần thảo luận nhé.

Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Bài tập 1: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N thỏa điều kiện $\vec{MA}+3\vec{MC}=\vec{0}$ và $\vec{NA}+2\vec{NB}+3\vec{NC}=\vec{0}$. Chứng minh rằng 3 điểm B, M, N thẳng hàng.

ĐA: $\vec{BM}=\frac{3}{2}\vec{BN}$

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M, N thỏa các hệ thức: $\vec{MB}-2\vec{MC}=\vec{0}$ và $\vec{NA}+2\vec{NC}=\vec{0}$. Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

ĐA: $\vec{MN}=\frac{2}{3}\vec{MP}$

Bài tập 2: Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm D sao cho: $\vec{BD}=\frac{3}{5}\vec{BC}$. Gọi E là điểm thỏa mãn điều kiện $10\vec{EA}+2\vec{EB}+3\vec{EC}=\vec{0}$. Chứng minh 3 điểm A, E, C thẳng hàng.

ĐA: $\vec{ED}=-2\vec{EA}$

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ