Cách Chứng Minh Bất đẳng Thức Bằng Vectơ - Abcdonline

Trang chủ » Chứng Minh Hệ Thức Vectơ » Cách Chứng Minh Bất đẳng Thức Bằng Vectơ - Abcdonline

Có thể bạn quan tâm

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng vectơĐây là bài thứ 12 of 16 trong chuyên đề Bất đẳng thứcBất đẳng thức
  • Lý thuyết cơ bản chứng minh bất đẳng thức
  • Lời khuyên bổ ích khi học bất đẳng thức
  • Phương pháp biến đổi tương đương chứng minh bất đẳng thức
  • Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình
  • Một số bất đẳng thức phụ hay dùng
  • Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức như nào?
  • Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đổi biến
  • Bất đẳng thức Schur với t=1. Các kết quả hay sử dụng
  • Sử dụng biểu thức phụ để tìm cực trị của biểu thức
  • Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp ghép cặp
  • Ứng dụng Cosi ngược dấu chứng minh bất đẳng thức
  • Cách chứng minh bất đẳng thức bằng vectơ
  • Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) và bài tập áp dụng
  • Bất đẳng thức Bunhiacopxki và các kỹ thuật thường dùng
  • Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên Toán 2020
  • Bất đẳng thức Svac-xơ (bất đẳng thức cộng mẫu số)

Phương pháp chung để chứng minh bài toán bất đẳng thức bằng cách sử dụng vectơ mà các em được học từ lớp 10.

Ta có:

\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.c\text{os}\alpha ,

với \alpha =(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}),

và bởi \left| c\text{os}\alpha \right|\le 1

, do đó:\left| \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right|\le \left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.

Ứng dụng vectơ chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 1: Cho \DeltaABC, CMR: cosA + cosB + cosC \le \frac{3}{2}.

Giải

Thiết lập các vectơ đơn vị \overrightarrow{{{e}_{1}}}, \overrightarrow{{{e}_{2}}}, \overrightarrow{{{e}_{3}}} trên các cạnh AB, BC, AC của \DeltaABC, ta được:

\overrightarrow{{{e}_{1}}}.\overrightarrow{{{e}_{2}}}=\left| \overrightarrow{{{e}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{e}_{2}}} \right|.c\text{os}({{180}^{0}}-B)=-\cos B,

\overrightarrow{{{e}_{2}}}.\overrightarrow{{{e}_{3}}}=\left| \overrightarrow{{{e}_{2}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{e}_{3}}} \right|.c\text{os}({{180}^{0}}-C)=-\cos C,

\overrightarrow{{{e}_{1}}}.\overrightarrow{{{e}_{3}}}=\left| \overrightarrow{{{e}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{e}_{3}}} \right|.c\text{os}({{180}^{0}}-A)=-\cos A,

Mặt khác ta luôn có:

{{(\overrightarrow{{{e}_{1}}}+\overrightarrow{{{e}_{2}}}+\overrightarrow{{{e}_{3}}})}^{2}}={{\overrightarrow{{{e}_{1}}}}^{2}}+{{\overrightarrow{{{e}_{2}}}}^{2}}+{{\overrightarrow{{{e}_{3}}}}^{2}}+2(\overrightarrow{{{e}_{1}}}.\overrightarrow{{{e}_{2}}}+\overrightarrow{{{e}_{2}}}.\overrightarrow{{{e}_{3}}}+\overrightarrow{{{e}_{1}}}.\overrightarrow{{{e}_{2}}})

=3+2(-\cos B-\cos C-\cos A)\ge 0

\Leftrightarrow \cos A+\cos B+\cos C\le \frac{3}{2}, đpcm.

Bài toán 2: Cho \DeltaABC, CMR: \cos 2A+\cos 2B+\cos 2C\ge -\frac{3}{2}.

Giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp \DeltaABC, ta nhận được:

\begin{array}{l}2A=(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}),\\2B=(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OA}),\\2C=(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}),\end{array}

Mặt khác:

\displaystyle {{(\overrightarrow{{OA}}+\overrightarrow{{OB}}+\overrightarrow{{OC}})}^{2}}={{\overrightarrow{{OA}}}^{2}}+{{\overrightarrow{{OB}}}^{2}}+{{\overrightarrow{{OC}}}^{2}}+2(\overrightarrow{{OA}}.\overrightarrow{{OB}}+\overrightarrow{{OB}}.\overrightarrow{{OC}}+\overrightarrow{{OC}}.\overrightarrow{{OA}})

\displaystyle =3{{\text{R}}^{2}}+2({{\text{R}}^{2}}.c\text{os}2C+{{\text{R}}^{2}}c\text{os}2A+{{\text{R}}^{2}}c\text{os}2B)\ge 0

⇔ \displaystyle c\text{os}2A+c\text{os}2B+c\text{os}2C\ge -\frac{3}{2} (đpcm)

Bài toán 3: Chứng minh \displaystyle \forall x,y\in R, ta có: \displaystyle \left| \frac{(x+y)(1-xy)}{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2)}}} \right|\le \frac{1}{2} (*)

Giải

Ta có (*) \displaystyle \Leftrightarrow \left| \frac{x(1-{{y}^{2}})+y(1-{{x}^{2}})}{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2}})} \right|\le \frac{1}{2}

\displaystyle \Leftrightarrow \left| \left( \frac{2x}{1+{{x}^{2}}} \right).\left( \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}} \right)+\left( \frac{2y}{1+{{y}^{2}}} \right).\left( \frac{1-{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}} \right) \right|\le 1

Đặt:

\displaystyle \begin{array}{l}\vec{a}=\left( \frac{2x}{1+{{x}^{2}}},\frac{1-{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}} \right)\\\vec{b}=\left( \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}},\frac{2y}{1+{{y}^{2}}} \right)\end{array}

Suy ra : \displaystyle \left| {\vec{a}} \right|=\left| {\vec{b}} \right|=1

Mà \displaystyle \left| \vec{a}.\vec{b} \right|\le \left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|. Vậy \displaystyle \left| \vec{a},\vec{b} \right|\le 1 (đpcm).

Bài toán 4:

Cho ba số \displaystyle x,\displaystyle y,\displaystyle z thỏa hệ thức \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=xy+yz+xz. Chứng minh rằng \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-(xy+yz+zx)\ge 0.

Giải

Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho các vectơ :

\displaystyle \vec{u}=(x,y,z),\displaystyle \vec{v}=(y,z,x)

Vì \displaystyle \vec{u}.\vec{v}=\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{v}} \right|\cos (\vec{u},\vec{v})

\displaystyle \Leftrightarrow\displaystyle xy+yz+xz=({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})\cos (\vec{u},\vec{v}).

Mặt khác ta có \displaystyle xy+yz+zx={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} nếu \displaystyle \cos (\vec{u},\vec{v})=1 nghĩa là \displaystyle \vec{u} và \displaystyle \vec{v} cùng hướng. Vì \displaystyle \left| {\vec{u}} \right|=\left| {\vec{v}} \right| do đó \displaystyle \vec{u}=\vec{v} nghĩa là \displaystyle x=y=z.

Do đó ta có:

\displaystyle 0\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-(xy+yz+zx).

Bài toán 5: Cho bốn số thực tùy ý {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{b}_{1}},{{b}_{2}}. Chứng minh:

\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}}+\sqrt{{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}\ge \sqrt{{{({{a}_{1}}+{{b}_{1}})}^{2}}+{{({{a}_{2}}+{{b}_{2}})}^{2}}}

Giải

Xét các vectơ:\overrightarrow{u}=({{a}_{1}},{{a}_{2}});\overrightarrow{v}=({{b}_{1}},{{b}_{2}})\Rightarrow \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=({{a}_{1}}+{{b}_{1}},{{a}_{2}}+{{b}_{2}})

Áp dụng :\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|\Rightarrow\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}}+\sqrt{{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}\ge \sqrt{{{({{a}_{1}}+{{b}_{1}})}^{2}}+{{({{a}_{2}}+{{b}_{2}})}^{2}}}

Đẳng thức xảy ra khi \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} cùng hướng\Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{b}_{2}}={{a}_{2}}.{{b}_{1}}

Bài toán 6: Cho 6 số thực a, b, c, d, x, y, z thỏa mãn: a + b + c = 2; ax + by + cz = 6

Chứng minh rằng:\sqrt{16{{a}^{2}}+{{a}^{2}}{{x}^{2}}}+\sqrt{16{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{y}^{2}}}+\sqrt{16{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{z}^{2}}}\ge 10

HD: Đặt \overrightarrow{u}=(4a,\text{ax});\overrightarrow{v}=(4b,by);\overrightarrow{\text{w}}=(4c;cz)

Bài tập

Bài 1: Cho \DeltaABC, CMR: \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2}\le \frac{3}{2}.

Bài 2: CMR:

a) \sum\limits_{i=1}^{n}{c\text{os}\frac{2(i-1)\pi }{n}=0}.

b) \sum\limits_{i=1}^{n}{\sin \frac{2(i-1)\pi }{n}}=0

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:f=x+\sqrt{2-{{x}^{2}}}+x.\sqrt{2-{{x}^{2}}}

Bài 4: Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z \le 1

Chứng minh rằng: \sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}+\sqrt{{{z}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}}\ge \sqrt{82}

Bài 5: (Đại học khối B 2006). Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+1}+\left| y-2 \right|

Bài 6: Cho ba số thực x, y, z tùy ý. Chứng minh:

\sqrt{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{x}^{2}}+xz+{{z}^{2}}}\ge \sqrt{{{y}^{2}}+yz+{{z}^{2}}}

Cùng chuyên đề:

<< Ứng dụng Cosi ngược dấu chứng minh bất đẳng thứcBất đẳng thức Côsi (Cauchy) và bài tập áp dụng >>

Kiến thức THPT - Tags: bất đẳng thức, bđt, vecto

  • Giải phương trình vô tỉ bằng vectơ hóa

  • Công thức lượng giác cần nắm vững

  • Sổ tay Văn học 11

  • Ứng dụng vectơ chứng minh bất đẳng thức

Từ khóa » Chứng Minh Hệ Thức Vectơ