Cách Chứng Minh Hai đường Thẳng Song Song Trong Không Gian

Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

• Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian.

• Cách giải bài tập chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian
• Ví dụ minh họa bài tập chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian
• Bài tập trắc nghiệm chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian
• Bài tập tự luyện chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Để chứng ming hai đường thẳng song song trong không gian có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)

2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.

3. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

4. Áp dụng định lí về giao tuyến song song.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn mệnh đề đúng.

A. IJ // CD

B. IJ // AB

C. IJ và CD chéo nhau

D. IJ cắt AB

Lời giải

+ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD

⇒ MN là đường trung bình của tam giác BCD nên MN // CD (1)

+ Do I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD

⇒ AI/AM = AJ/AN = 2/3

⇒ IJ // MN (định lí Ta-let đảo) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IJ // CD

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có AD không song song với BC. Gọi M; N; P; Q; R; T lần lượt là trung điểm của AC; BD; BC; CD; SA và SD. Hai đường thẳng nào sau đây song song với nhau.

A. MP và RT

B. MQ và RT

C. MN và RT

D. PQ và RT

Quảng cáo

Lời giải

+ Ta có: M và Q lần lượt là trung điểm của AC; CD

⇒ MQ là đường trung bình của tam giác CAD nên MQ // AD (1)

+ Ta có: R; T lần lượt là trung điểm của SA; SD

⇒ RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD (2)

+ Từ (1) và ( 2) suy ra: MQ // RT

Chọn B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC và SD. Tìm đường thẳng không song song với IJ trong các đường thẳng sau:

A. EF B. DC C. AD D. AB

Lời giải

+ Xét tam giác SAB có IJ là đường trung bình

⇒ IJ // AB (tính chất đường trung bình trong tam giác) (1)

+ Xét tam giác SCD có EF là đường trung bình

⇒ EF // CD (2)

+ Mà ABCD là hình bình hành nên : AB// CD (3)

Từ( 1); (2) và (3) suy ra: IJ // AB // CD // EF

Chọn C

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi M; N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB. Hai điểm P và Q cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP và NQ

A. MP // NQ

B. MP ≡ NQ

C. MP cắt NQ

D. MP và NQ chéo nhau

Lời giải

+ Xét mặt phẳng (ABP):

Ta có: M và N thuộc AB nên M; N thuộc mặt phẳng (ABP)

+ Mặt khác: CD ∩ (ABP) = P Và : Q ∈ CD

⇒ Q không thuộc mp (ABP)

⇒ 4 điểm M; N; P và Q không đồng phẳng. (chú ý 3 điểm A; M; N cùng thuộc mp (ABP)

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA; SB. Tìm mệnh đề sai?

A. AB // IJ

B. CD // IJ

C. IJCD là hình thang

D. IJ và CD chéo nhau

Quảng cáo

Lời giải

+ Vì I; J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA; SB nên IJ là đường trung bình của tam giác SAB

⇒ IJ // AB (1)

+ Lại có: AB // CD (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra: IJ // CD

⇒ Tứ giác IJCD là hình thang.

Chọn D

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB; AC sao cho : AM/AB = AN/AC; Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BD; CD. Tìm mệnh đề sai?

A. MN // BC

B. IJ // BC

C. Điều kiện để tứ giác MNJI là hình bình hành là M; N là trung điểm của AB; AC

D. MN và IJ chéo nhau

Lời giải

+ Ta có: AM/AB = AN/AC, từ đó suy ra: MN // BC (Định lý Ta-lét đảo)

+ Vì I và J lần lượt là trung điểm của BD và CD nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD

⇒ IJ // BC (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra MN // IJ. Vậy tứ giác MNJI là hình thang

+ Để MNJI là hình bình hành thì IJ = MN

Lại có: IJ = (1/2)BC ( tính chất đường trung bình)

⇒ Để MNJI là hình bình hành thì MN = (1/2)BC

⇒ MN là đường trung bình của tam giác

⇒ M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC

Chọn D

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là tâm của hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB. Qua M kẻ đường thẳng song song BC cắt SC tại N. Tìm mệnh đề sai.

A. MN // BC B. MN // AD C. NO // SA D.NO // SD

Lời giải

+ Xét mp(SBC) có:

⇒ N là trung điểm của SC (định lí)

+ Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của SB; SC nên MN là đường trung bình của tam giác SBC.

⇒ MN // BC // AD nên A và B đúng

+ Xét mp( SAC) có N và O lần lượt là trung điểm của SC và AC nên NO là đường trung bình của tam giác SAC.

⇒ NO // SA nên C đúng

⇒ D sai

Chọn D.

Ví dụ 8: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi N là điểm thuộc SB sao cho SN = (1/4)SB; gọi M là điểm trên cạnh SD sao cho SM = (1/3)MD. Tìm đường thẳng song song với BD?

A. MA B. MN C. NC D. NS

Lời giải

Trong mp (SBD), ta có: SN = (1/4)SB nên SN/SB = 1/4

+ Do SM = (1/3)MD nên SM = (1/4)SD

⇒ SM/SD = SN/SB = 1/4

⇒ MN // BD (định lí ta-let đảo).

Chọn B

C. Bài tập trắc nghiệm

Quảng cáo

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Gọi A’; B’; C’; D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA; SB; SC và SD. Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với A’B’ ?

A. AB B. CD C. C’D’ D. SC

Lời giải:

Chọn D

+ Do A’ và B’ là trung điểm của SA; SB

⇒ A’B’ là đường trung bình của tam giác SAB.

⇒ A’B’// AB (1) .

+ Tương tự; C’D’ // CD (2)

+ Lại có: ABCD là hình bình hành nên AB // CD (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: A’B’ // AB // CD // C’D’

⇒ D sai

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (ADN) , I là giao điểm của AN và DP. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. SI song song với CD

B. SI chéo với CD

C. SI cắt vớ CD

D. SI trùng với CD

Lời giải:

Chọn A

+ Trong (ABCD) gọi E = AD ∩ BC, trong (SCD) gọi P = SC ∩ EN

Ta có E ∈ AD ⊂ (ADN) ⇒ EN ⊂ (AND) ⇒ P ∈ (AND)

Vậy P = SC ∩ (ADN)

Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC. Biết AD = a và BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB; SC lần lượt tại M; N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA; SD tại P; Q. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. MN song song với PQ

B. MN chéo vớI PQ

C. MN cắt vớI PQ

D. MN trùng với PQ

Lời giải:

Chọn A

Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC. Biết AD = a và BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB; SC lần lượt tại M; N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA; SD tại P; Q. Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Tính EF theo A; B.

Lời giải:

Chọn D

Trước tiên ta chứng minh EF song song với MN Và PQ

Câu 5: Cho tứ diện ABCD; M, N, P,Q lần lượt là trung điểm AC; BC; BD; AD. Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi.

A. AB = BC B. BC = AD C. AC = BD D. AB = CD

Lời giải:

Chọn D

+ Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AC; CB

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ACB

⇒ MN // AB

+ Tương tự; PQ // AB; MQ // CD và NP // CD

Suy ra: MN song song với PQ vì cùng song song với AB

MQ song song với PN vì cùng song song với CD

⇒ tứ giác MNPQ là hình bình hành.

+ Tứ giác MNPQ là hình thoi khi : MQ = PQ ⇔ AB = CD

Câu 6: Cho hình chóp A.BCD; gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm tam giác ABD và ABC. Tìm mệnh đề đúng?

A. MN và G1G2 chéo nhau

B. G1G2 // MN

C. MN cắt G1G2

D. G2M và G1N chéo nhau

Lời giải:

+ Xét tam giác AMN ta có:

(tính chất trọng tâm tam giác)

⇒ MN // G1G2

Do đó; 2 đường thẳng MN và G1G2 đồng phẳng và 2 đường thẳng G2M, G1N sẽ cắt nhau.

Chọn B

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M là giao điểm của AC và BD. Gọi G1; G2 lần lượt là trọng tâm tam giác SOD và SOB. Tìm đường thẳng song song với G1G2?

A. SH B.Sk C. HK D. KC

Lời giải:

+ Gọi H là trung điểm của OD và K là trung điểm của OB.

+ Do G1 là trọng tâm tam giác SOD nên: (SG1)/SH = 2/3

+ DO G2 là trọng tâm tam giác SOB nên: (SG2)/SK = 2/3

+ Trong mp(SG1G2) ta có: (SG1)/SH = (SG2)/SK = 2/3

⇒ G1G2 // HK (định lí Ta- let)

Chọn C

Câu 8: Cho tứ diện ABCD có M; N lần lượt thuộc AB; DB sao cho MN // AD. Gọi I là trung điểm BC. Gọi HK là giao tuyến của mp(CNM) và mp(AID). Tìm mệnh đề đúng?

A. HK // AD

B. HK // MI

C. K là trọng tâm tam giác ABC

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Xét hai mp(CNM) và mp(AID) có:

⇒ HK // AD // MN (hệ quả)

+ Do M là điểm bất kì trên cạnh AB nên chưa chắc K là trọng tâm tam giác ABC

⇒ A đúng

Chọn A

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F, lần lượt là trung điểm SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ?

A. EF.                  B. DC.                  C. AD.                  D. AB.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với  đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB  và CD (AB > CD).  Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB.

a. Chứng minh: MN ∕ ∕ CD.

b. Tìm P = SC ∩ (ADN).

c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I.  Chứng minh: SI  ∕ ∕ AB  ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì?

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có  đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD. Chứng minh PQ // SA.

Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ // CD.

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên đoạn thẳng AC, BF sao cho AMAC=BNBF=13. Chứng minh rằng MN // DE.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết về hai đường thẳng song song trong không gian
• Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian
• Cách chứng minh 4 điểm đồng phẳng, 3 đường thẳng đồng quy
• Cách tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song
• Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• 30 đề DGNL Bách Khoa, DHQG Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7) (từ 119k )

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau duong-thang-va-mat-phang-trong-khong-gian-quan-he-song-song.jsp Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 11 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Friends Global
• Lớp 11 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 11 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 11 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 11 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 11 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 11 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - KNTT
• Giải sgk Tin học 11 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 11 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 11 - KNTT
• Lớp 11 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 11 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 11 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 11 - CTST
• Giải sgk Hóa học 11 - CTST
• Giải sgk Sinh học 11 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 11 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 11 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 11 - CTST
• Lớp 11 - Cánh diều
• Soạn văn 11 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 11 - Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 11 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 11 - Cánh diều