Cách Chứng Minh Tiếp Tuyến Của Một đường Tròn Cực Hay, Chi Tiết

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn lớp 9 (cực hay)

• Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 15-12 trên Shopee mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn.

• Cách giải bài tập Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn
• Ví dụ minh họa Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn
• Bài tập trắc nghiệm Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn
• Bài tập tự luyện Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn lớp 9 (cực hay)

A. Phương pháp giải

Để chứng minh đường thẳng d là tia tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại điểm A ta dùng các cách sau đây:

Cách 1: Kẻ OA ⊥ d tại A, chứng minh OA = R.

Cách 2: Đường thẳng d đi qua A ∈ (O ; R) thì ta cần chứng minh OA ⊥ d tại điểm A.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MA2 = MB.MC. Chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Vì MA2 = MB.MC ⇒

Xét ΔMAC và ΔMBA có

: góc chung

⇒ ΔMAC ∼ ΔMBA (c.g.c)

⇒ (1)

Kẻ đường kính AD của (O)

Ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )

Mà (chứng minh trên)

Suy ra (3)

Lại có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ (4)

Từ (3) và (4) suy ra hay

⇒ OA ⊥ MA

Do A ∈ (O)

⇒ MA là tiếp tuyến của (O).

Ví dụ 2 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O). Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AB tại D. Đường thẳng qua O và vuông góc với phân giác của , cắt CD tại M. Qua M kẻ đường thẳng d song song với AB. Chứng minh d là tiếp tuyến của (O).

Hướng dẫn giải

Kẻ OH ⊥ d ⇒

Ta có CD là tiếp tuyến của (O) nên OC ⊥ CD tại C ⇒

Gọi E là giao điểm của tia phân giác với OM

Xét tam giác MDO có : DE là phân giác , DE là đường cao

⇒ ΔDOM cân tại D

⇒ (hai góc ở đáy)

Ta lại có : d//AB ⇒ (hai góc so le trong)

⇒

Xét ΔOHM và ΔOCM , có :

OM: cạnh chung

(cmt)

⇒ ΔOHM = Δ OCM (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ OH = OC = R (hai cạnh tương ứng)

⇒ H ∈ (O;R)

Do đó d là tiếp tuyến của (O;R).

Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC, cắt AB,AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AI. Chứng minh MF là tiếp tuyến của (O).

Hướng dẫn giải

Ta có : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ BF ⊥ AC , CE ⊥ AB

Xét tam giác ABC, có BF ∩ CE = {I}

⇒ I là trực tâm tam giác ABC

Gọi H là giao điểm của AI với BC

⇒ AH ⊥ BC tại H

Xét tam giác AFI vuông tại F, có M là trung điểm của AI

⇒ FM = MA = MI

⇒ ΔFMA cân tại M

⇒ (hai góc ở đáy) (1)

Xét tam giác OFC, có OF = OC

⇒ FOC cân tại O

⇒ (hai góc ở đáy) (2)

Xét tam giác AHC vuông tại H, có: (hai góc phụ nhau)(3)

Từ (1), (2) và (3)

Mà

⇒

⇒ MF ⊥ OF

Vậy MF là tiếp tuyến của (O).

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng phía đối với đường thẳng AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho

.

Khi đó:

a. CD tiếp xúc với đường tròn (O)

b. CD cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt

c. CD không có điểm chung với (O)

d. CD = R2

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC

Kẻ OH ⊥ CD

Ta có:

Mà AC = BE ⇒ BE.BD = R2 = OB2

⇒ ΔDOE vuông tại O

Xét ΔOAC và ΔOBE , ta có:

AC = BE (gt)

OA = OB (=R)

⇒ ΔOAC = ΔOBE (g-g-g)

⇈ (hai góc tương ứng)

Ta có:

Nên C, O, E thẳng hàng

Xét tam giác DCE, có:

OD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của △CDE nên OD cũng là đường phân giác.

⇒ (DO là phân giác )

Xét ΔOHD và ΔOBD , có:

OD chung

(Cmt)

⇒ ΔOHD = ΔOBD (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ OH = OB ⇒ CD tiếp xúc với đường tròn (O).

Câu 2 : Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau ở I. Khi đó:

a. AK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

b. BK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

c. BH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

d. HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi O là trung điểm của AI, khi đó: KO là đường trung tuyến của tam giác vuông AKO.

⇒ AO = IO = OK.

⇒ ΔOAK cân tại O

⇒ (hai góc ở đáy) (1)

Xét tam giác BKC vuông tại K, có H là trung điểm của BC(do tam giác ABC cân tại A)

⇒ BH = HK = HC.

⇒ ΔHCK cân tại H

⇒ (hai góc ở đáy) (2)

Ta lại có: (hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông AHC)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: hay

Từ đó suy ra rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Câu 3 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M sao cho A nằm giữa B và M. Kẻ đường thẳng MC tiếp xúc với đường tròn (O) tại C. Từ O hạ đường thẳng vuông góc với CB tại H và cắt tia MC tại N. Khẳng định nào sau đây không đúng?

a. BN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b. BC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c. OC là tiếp tuyến của đường tròn (O, ON)

d. AC là tiếp tuyến của đường tròn (C, BC)

Hướng dẫn giải

Đáp án A

+ BC là dây của đường tròn (O), nên B sai.

+ Ta có ⇒ ΔOCN nội tiếp đường tròn đường kính ON

⇒ OC là dây của đường tròn đường kính ON, nên C sai.

+ Ta có AC là đường thẳng đi qua tâm của (C,BC) nên không thể là tiếp tuyến. Do đó D sai.

+ Ta có OH ⊥ BC

Xét tam giác OBC cân tại O (OB = OC) có OH là đường cao

⇒ OH là phân giác

Xét ΔOCN và ΔOBN , ta có :

OC = OB

ON : cạnh chung

⇒ ΔOCN = ΔOBN (c-g-c)

⇒ (hai góc tương ứng)

⇒ BN ⊥ OB

Vậy BN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Câu 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB tại E, đường tròn tâm O’ đường kính HC cắt AC tại F. Khi đó:

a. EF là tiếp tuyến của đường tròn (H, HO)

B, O’F là tiếp tuyến của đường tròn

c. EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

d. OF là tiếp tuyến của đường tròn (C, CF).

Hướng dẫn giải

Đáp án

EF không vuông góc với OH nên EF không là tiếp tuyến của (H,HO).

EF là không là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

EF không vuông góc với CF nên EF không là tiếp tuyến của (C,CF).

Xét tam giác O’CF cân tại O’(O’C = O’F)

⇒ (hai góc ở đáy)

Ta lại có: (hai góc cùng phụ )

⇒

Mà ( ΔOAE cân tại O)

⇒

Mà (hai góc phụ nhau trong tam giác vuông AEF)

⇒

Vậy O’F là tiếp tuyến của đường tròn .

Câu 5 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn dựng hai tiếp tuyến Ax và By. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia Ay lấy điểm D. Điều kiện cần và đủ để CD tiếp xúc với đường tròn (O) là:

A. AB2 = AC.BD

B. AB2 = 2AC.BD

C. AB2 = 4AC.BD

D. AB2 = AC2.BD2

Hướng dẫn giải

Đáp án C

( ⇒ ) CD tiếp xúc với đường tròn (O)

CD là tiếp tuyến của (O) tại H

CD cắt Ax tại C, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CH và OC là tia phân giác của (1)

CD cắt By tại D, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

và OD là phân giác của (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Ta lại có:

Xét tam giác COD vuông tại O, OH ⊥ CD :

OH2 = DH.CH = DB.AC

⇔

(⇐)

Kẻ OH ⊥ CD

Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC

Ta có:

Mà AC = BE ⇒ BE.BD = R2 = OB2

⇒ ΔDOE vuông tại O

Xét ΔOAB và ΔOBE , ta có:

AC = BE (gt)

OA = OB (=R)

⇒ ΔOAB = ΔOBE

⇒ (hai góc tương ứng)

Ta có:

Nên C, O, E thẳng hàng

Xét tam giác DCE, có:

OD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của ΔCDE nên OD cũng là đường phân giác.

⇒ (DO là phân giác )

Xét ΔOHD và ΔOBD , có:

OD chung

(Cmt)

⇒ ΔOHD = ΔOBD (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ OH = OB ⇒ CD tiếp xúc với đường tròn (O).

Câu 6 : Cho đường tròn (O, R) đường kính AB. Vẽ dây cung AC sao cho góc CAB bằng 30o . Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM = R. Khi đó:

a. AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b. BM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c. CM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d. AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒(hai góc phụ nhau)

⇒

Xét tam giác OBC có OB = OC và

⇒ ΔOBC đều

⇒ OB = BC = BM

⇒

⇒ ΔOCM vuông tại C

⇒ ⇒ OC ⊥ CM

Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Câu 7 : Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào sau đây đúng:

A. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi chúng có điểm chung

B. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi d vuông góc với bán kính tại A

C. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi d vuông góc với bán kính tại A và A thuộc (O)

D. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi d vuông góc với bán kính tại A và OA > R.

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Theo định nghĩa của tiếp tuyến, Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi d vuông góc với bán kính tại A và OA = R.

Câu 8 : Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ đường cao AH, gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt CA ở E, O là trung điểm của CD Khi đó, góc HEO bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi O là tâm đường tròn đường kính CD

E nằm trên đường tròn đg kính CD

⇒ ΔDE vuông tại E

⇒ ⇒ DE ⊥ EC

Mà AB AC (do tam giác ABC vuông tại A)

⇒ DE // AB ( từ vuông góc đến song song)

⇒ ABDE là hình thang

Gọi M là trung điểm của AE

Ta có: H là trung điểm của BD (D đối xứng với B qua H)

⇒ HM là đg trung bình của hình thang ABDE

⇒ HM // AB HM ⊥ AC

Xét ΔAHE có HM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao

⇒ ΔAHE cân tại H ⇒ ( Hai góc ở đáy)

+ ΔCOE cân tại O ⇒ (hai góc ở đáy)

Mà (hai góc phụ nhau trong tam giác vuông AHC)

⇒

Mà

⇒ .

Câu 9 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Khi đó:

A. EH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H

B. BH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H

C. AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H

D. CH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta nhận thấy H ∈ (I), H ∈ (J)

Mà AH ⊥ JH , AH ⊥ IH

Suy ra AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H.

Câu 10 : Cho tam giác ABC có AB=3cm, AC=4cm và BC=5cm. Khi đó:

A. AB là tiếp tuyến của (C;3cm).

B. AC là tiếp tuyến của (B;3cm).

C. AB là tiếp tuyến của (B;4cm).

D. AC là tiếp tuyến của (C;4cm).

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Vì AB = 3cm ⇒ A ∈ (B;3cm).

Xét tam giác ABC, có :

BC2 = 52 = 25

AB2 + AC2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25

⇒ AB2 + AC2 = BC2

Theo định lý Py – ta – go đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A

⇒ AB ⊥ AC

⇒ AC là tiếp tuyến của (B;3cm).

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ hình bình hành ABCD. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh:

a) Đường thẳng AD là tiếp tuyến của (O);

b) Ba đường thẳng AC, BD, ON đồng quy.

Bài 2. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt tia AB tại M.

a) Chứng minh tứ giác AMON là hình thoi;

b) Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để MN là tiếp tuyến của (O).

Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy M trên (O) và tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) ở C và D; AM cắt OC tại E, BM cắt OD tại F.

a) Chứng minh COD^=90°;

b) Tứ giác MEOF là hình gì;

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Gọi BD, CE là các tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) với D , E là các tiếp điểm. Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng;

b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

Bài 5. Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AD , BC cùng vuông góc với xy (các điểm D, C nằm trên xy). Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn ( ) O sao cho diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:

• Cách chứng minh hai góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau cực hay, chi tiết
• Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết
• Cách giải bài tập Quỹ tích cung chứa góc cực hay, chi tiết
• Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay
• Cách dựng cung chứa góc cực hay, chi tiết

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK luyện thi vào 10 cho 2k10 (2025):

• Giải mã đề thi vào 10 theo đề Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh (300 trang - từ 99k/1 cuốn)
• Bộ đề thi thử 10 chuyên (120 trang - từ 99k/1 cuốn)
• Cấp tốc 7,8,9+ Toán Văn Anh thi vào 10 (400 trang -từ 119k)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH ĐỀ THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và sách dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi vào 10 Toán Văn Anh của Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh... có lời giải

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

Sách Toán - Văn- Anh 6-7-8-9, luyện thi vào 10

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau chuong-3-goc-voi-duong-tron.jsp Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 9 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 9 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 9 Friends plus
• Lớp 9 Kết nối tri thức
• Soạn văn 9 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 9 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 9 - KNTT
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 9 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 9 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục công dân 9 - KNTT
• Giải sgk Tin học 9 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 9 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 9 - KNTT
• Giải sgk Mĩ thuật 9 - KNTT
• Lớp 9 Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 9 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 9 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 9 - CTST
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 9 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 9 - CTST
• Giải sgk Giáo dục công dân 9 - CTST
• Giải sgk Tin học 9 - CTST
• Giải sgk Công nghệ 9 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 9 - CTST
• Giải sgk Mĩ thuật 9 - CTST
• Lớp 9 Cánh diều
• Soạn văn 9 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 9 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 9 - Cánh diều
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 9 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 9 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục công dân 9 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 9 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 9 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 9 - Cánh diều
• Giải sgk Mĩ thuật 9 - Cánh diều