Cách Dùng Vòng Tròn Lượng Giác Giải Bài Toán Thời Gian - TopLoigiai

Mục lục nội dung 1. Vòng tròn lượng giác là gì?2. Đường tròn lượng giác trong vật lý3. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều4. Phương pháp đường tròn lượng giác5. Bài tập minh họa

1. Vòng tròn lượng giác là gì?

Theo lý thuyết, một dao động điều hòa có phương trình x = Acos(ωt + φ) có thể biểu diễn bằng 1 vòng tròn lượng giác. Dựa vào hình học biểu diễn trên đường tròn kết hợp với công thức lượng giác ta có thể suy ra những đại lượng vật lý cần tìm như biên độ A, li độ x, thời gian t,… tùy theo dữ kiện cho và câu hỏi đặt ra.

Trước tiên bạn cần nhớ lại các bảng giá trị lượng giác ứng với góc đặc biệt đã được học ở bài trước:

2. Đường tròn lượng giác trong vật lý

Một dao động điều hòa có

+ Phương trình li độ x = Acos(ωt + φ)

+ Phương trình vận tốc v = – ωAsin(ωt + φ)

+ Phương trình gia tốc a = – ω2x

sẽ được biểu diễn trên vòng tròn lượng giác có tâm O, bán kính A = OM

- Hình chiếu của M lên trục hoành Ox (điểm H) sẽ cho ta giá trị của li độ

- Hình chiếu của M lên trục tung Oy (điểm K) sẽ cho ta giá trị của vận tốc

Vì chất điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O bán kính A với tốc độ góc ω nên góc quét được xác định theo công thức:

φ = ω.Δt

Trong đó:

+ Góc quét φ có đơn vị rad

+ Tần số góc ω có đơn vị là rad/s

+ thời gian quét là Δt có đơn vị là s

3. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều

Giả sử có một điểm M chuyển động tròn đều trên một đường tròn theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) với tốc độ góc w. Gọi P là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox trùng với một đường kính của đường tròn và có gốc trùng với tâm O của đường tròn. Ta thấy điểm P dao động trên trục Ox quanh gốc toạ độ O.

Như vậy:

Một dao động điều hòa có thể được coi như hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo.

Khi chất điểm chuyển động được một vòng thì vật dao động điều hòa thực hiện được một dao động. Tần số góc của hình chiếu dao động điều hòa bằng vận tốc góc của chất điểm chuyển động tròn đều đó.

Vecto vận tốc và gia tốc trên đường tròn lượng giác:

Xét góc φ∈[0;2π] ta có:

Trên hình vẽ ta thấy, nếu vật chuyển động tròn đều trên nửa vòng tròn phía trên thì hình chiếu của nó âm tức là dao động điều hòa đang chuyển động theo chiều âm trục Ox, còn nếu vật chuyển động tròn đều trên nửa vòng tròn phía dưới thì hình chiếu tức dao động điều hòa sẽ đang chuyển động theo chiều dương trục Ox.

Vecoto gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng.

4. Phương pháp đường tròn lượng giác

Bài toán: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình x = Acos(ωt + φ). Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm có li độ x1 đến điểm có li độ x2?

Phương pháp giải

Phương trình dao động của vật có dạng x = Acos(ωt + φ)

- Bước 1: Vẽ trục Ox gắn vào đường tròn bán kính R = A

- Bước 2: Xác định vị trí x1 trên vòng tròn lượng giác và chiều của chuyển động.

- Bước 3: Xác định vị trí x2 trên vòng tròn lượng giác và chiều của chuyển động.

(Chiều âm nằm phía trên đường tròn, chiều dương phía dưới của đường tròn lượng giác).

- Bước 4: Khi vật dao động điều hoà từ điểm x1 đến điểm x2 thì tương ứng trên đường tròn chất điểm chuyển động từ M1 đến M2 và quét được một góc α = ∠M1OM2

- Bước 5: Tính góc a khi đó 

Bài tập mẫu: Một vật dao động trên trục Ox với phương trình 

Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1 = 2√3cm đến li độ x2 = -2cm

Lời giải chi tiết:

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1. Hãy biểu diễn chất điểm trên vòng tròn lượng giác ứng với thời điểm t = 0, biết phương trình chất điểm là

a) x = 4cos(2πt)

b) x = 4cos(2πt + π/4)

c) x = 4cos(2πt – 5π/6)

với x  tính bằng cm và t tính bằng s.

Hướng dẫn giải

a) x = 4cos(2πt) => v = – 8π.sin(2πt)

c) x = 4cos(2πt – 5π/6) => v = – 8π.sin(2πt – 5π/6)

Chú ý: Từ bài tập này ta đã biết cách biểu diễn chất điểm trên vòng tròn lượng giác ở thời điểm t = 0, với thời điểm t bất kì ta cũng làm tương tự bằng cách thay t vào phương trình li độ x và vận tốc v từ đó ta suy ra vị trí của nó trên đường tròn.

Bài tập 2. Chất điểm A của con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương trình x = 2cos(πt – π/3), trong đó li độ x tính bằng cm, thời gian t tính bằng s.

a) Hãy tìm thời điểm vật đi qua vị trí x = -√3 cm lần đầu tiên.

b) Hãy tìm khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x = – 1 cm đến x = -√3 theo chiều âm.

Hướng dẫn giải

Theo đề:

- Phương trình li độ x = 2cos(πt – π/3)

- Phương trình vận tốc v = – 2π.sin(πt – π/3)

Dựa theo hình vẽ ta thấy thời gian ngắn nhất ứng với chất điểm chuyển động từ M đến M’ theo cung M-A-B-M’.

Dựa theo vòng tròn lượng giác: β = φMOA + φAOB + φBOM’ = π/3 + π/2 + π/3 = 7π/6

Thời gian ngắn nhất cần tìm là 

b) Do chất điểm có li độ x = -√3 theo chiều âm nên nó được biểu diễn bằng điểm M

Kẻ đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x = – 1, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm P và Q. Ta dễ thấy thời gian để chất điểm đi từ Q tới M sẽ ngắn hơn thời gian chất điểm đi từ P đến M (chiều đi theo ngược kim đồng hồ như phần chú ý đã nói)

Vậy, khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x = – 1 cm đến x = -√3 theo chiều âm ứng với góc

Dự theo vòng tròn lượng giác: β = φQOC + φCOA + φAOM = π/6 + π/2 + π/6 = 5π/6

Thời gian ngắn nhất cần tìm là