Cách Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình - Toán Lớp 9

Trang chủ » Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Bậc 2 » Cách Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình - Toán Lớp 9

Có thể bạn quan tâm

Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài toán bằng cách lập phương trình trong chương trình Toán lớp 9. Ngoài ra, tôi sẽ hướng dẫn các bạn giải theo dạng các bài toán bằng cách lập phương trình về chuyển động, hình học, năng suất, tính tuổi, thêm bớt số.

>>> Ôn thi vào lớp 10 môn Toán theo chuyên đề

Mục lục

Toggle
  • Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
    • Bước 1: Đọc hiểu đề bài để lập phương trình
    • Bước 2: Giải phương trình 
    • Bước 3: Kiểm tra và kết luận
  • Cách giải các dạng bài toán bằng cách lập phương trình – Toán 9
    • Dạng 1: Bài toán chuyển động
      • Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (chuyển động trên đường bộ cùng chiều):
      • Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (chuyển động trên đường bộ ngược chiều):
      • Ví dụ 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (chuyển động trong dòng chảy)
      • Bài tập áp dụng:
    • Dạng 2: Bài toán về năng suất
      • Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (bài toán làm chung, làm riêng)
      • Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (năng suất dự kiến và thực tế)
      • Bài tập áp dụng
    • Dạng 3: Bài toán về số và chữ số
      • Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (về số)
      • Ví dụ 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (về chữ số)
    • Dạng 4: Bài toán hình học
      • Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (hình học)
      • Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (hình học)
      • Bài tập áp dụng:
  • Tóm tắt Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình
  • Luyện tập Giải toán bằng cách lập phương trình

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Đọc hiểu đề bài để lập phương trình

  • Xác định đại lượng cần tìm, đại lượng đã cho, mối quan hệ giữa các đại lượng
  • Chọn ẩn phù hợp, đặt điều kiện cho ẩn số
  • Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
  • Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình 

Bước 3: Kiểm tra và kết luận

  • Kiểm tra nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn
  • Trả lời câu hỏi của đề bài
Giải bài toán bằng cách lập phương trình toán 9
Giải bài toán bằng cách lập phương trình toán 9

Khó khăn bạn thường gặp phải khi giải bài toán bằng cách lập phương trình là bước 1. Bạn không biết biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo các đại lượng đã biết khác.

Để giúp bạn vượt qua khó khăn đó, tôi sẽ chia bài toán thành 4 dạng cơ bản hay gặp. Tuỳ theo từng dạng bài mà ta xác định được các đại lượng có trong bài, các công thức biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng ấy và phân tích đề bài.

Xem thêm:

  • Các bài giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình trong đề thi tuyển sinh vào 10

Cách giải các dạng bài toán bằng cách lập phương trình – Toán 9

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (chuyển động trên đường bộ cùng chiều):

Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình toán lớp 9 (chuyển động cùng chiều)

Bài 47 (SGK Toán 9 tập 2 – trang 59)

Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.

Đây là 1 bài toán về chuyển động. Trước khi giải, ta phải nhớ :

  1. Toán chuyển động có 3 đại lượng: Quãng đường, Vận tốc, Thời gian.
  2. Mối liên hệ của 3 đại lượng trên:
    • Quãng đường = Vận tốc x Thời gian
    • Vận tốc = Quãng đường : Thời gian
    • Thời gian = Quãng đường : Vận tốc
  3. Các đơn vị của ba đại lượng phải phù hợp với nhau
    • Quãng đường tính bằng km, vận tốc km/h thì thời gian tính bằng giờ (h)
    • Quãng đường tính bằng m, vận tốc m/s thì thời gian tính bằng giây (s)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Đọc hiểu đề bài để lập phương trình

Đại lượng đã cho là quãng đường AB dài 30 km.

Ta cần xác định đại lượng cần tìm là vận tốc mỗi xe. Vậy ta gọi ẩn x (km/h) là vận tốc xe của bác Hiệp. Điều kiện x > 0.

Vận tốc xe bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe cô Liên là 3 km/h. Ta biểu diễn được vận tốc của cô Liên theo x là x – 3 (km/h)

Ta có thể lập bảng sau:

Vận tốcThời gianQuãng đường
Bác Hiệpx30/x30 km
Cô Liênx – 330/(x – 3)30 km
Bảng biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

Mối liên hệ: Hai người cùng khởi hành một lúc và bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Dựa vào đây, ta có thể viết được phương trình.

\frac{30}{x-3}-\frac{30}{x}=\frac{1}{2}

Vì cô Liên đến sau bác Hiệp nên thời gian cô Liên đi đến B sẽ lớn hơn thời gian bác Hiệp đi đến B. Vận tốc càng lớn thì thời gian càng ít đi.

Bước 2: Giải phương trình

\frac{30}{x-3}-\frac{30}{x}=\frac{1}{2}

\Leftrightarrow \frac{30x-30(x-3)}{x(x-3)}=\frac{1}{2}

\Leftrightarrow \frac{90}{x(x-3)}=\frac{1}{2}

\Leftrightarrow \frac{90}{x(x-3)}-\frac{1}{2}=0

\Leftrightarrow \frac{180-x(x-3)}{2x(x-3)}=0

\Leftrightarrow -x^2+3x+180=0

Giải phương trình bậc hai trên, ta nhận được kết quả x = 15 hoặc x = -12.

Có thể bạn cần xem Cách giải phương trình bậc hai nếu quên cách giải.

Bước 3: Kết luận

Ta thấy chỉ có x = 15 > 0 thoả mãn điều kiện của đề bài.

Vậy vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h.

Vận tốc của cô Liên là x – 3 = 15 – 3 = 12 km/h.

Đó là bài toán hai xe đi cùng chiều, còn nếu hai xe đi ngược chiều nhau thì sao?

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (chuyển động trên đường bộ ngược chiều):

Giải bài toán bằng cách lập phương trình chuyển động ngược chiều
Giải bài toán bằng cách lập phương trình chuyển động ngược chiều

Bài 65 (SGK Toán 9 tập 2 – trang 64)

Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900 km.

Lưu ý khi giải bài toán bằng cách lập phương trình trong đó hai xe chuyển động ngược chiều là:

Tổng quãng đường hai xe đã đi đến lúc gặp nhau đúng bằng khoảng cách ban đầu giữa 2 xe.

giải bài toán bằng cách lập phương trình cho chuyển động ngược chiều
Hai tàu đi ngược chiều gặp nhau tại một nhà ga

Hướng dẫn giải:

Gọi vận tốc xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn là x (km/h) (x > 0).

Vận tốc xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn ra Hà Nội lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h nên ta có vận tốc xe lửa thứ hai là x + 5 (km/h).

Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường nên mỗi xe lửa đi được 900 : 2 = 450 (km).

Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp là: \frac{450}{x} (h)

Thời gian xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp là: \frac{450}{x+5} (h)

Mà xe lửa thứ nhất xuất phát sớm hơn xe thứ hai 1 giờ, nên ta có phương trình:

\frac{450}{x}-\frac{450}{x+5}=1
\Leftrightarrow \frac{450(x+5)-450x}{x(x+5)}=1
\Leftrightarrow \frac{2250}{x^2+5x}=1
\Leftrightarrow \frac{2250}{x^2+5x}-1=0
\Leftrightarrow \frac{2250-x^2-5x}{x^2+5x}=0
\Leftrightarrow -x^2-5x+2250=0

Giải phương trình trên ta được x = 45 >0 (thoả mãn) hoặc x= -50 < 0 (loại).

Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là 45 km/h, vận tốc xe lửa thứ hai là 45 + 5 = 50 km/h.

Trên đây là hai bài toán trên đường bộ, còn giải bài toán bằng cách lập phương trình trong chuyển động trong dòng chảy thì như thế nào?

Ví dụ 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (chuyển động trong dòng chảy)

Bài 52 (SGK Toán 9 tập 2 – trang 60)

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một ca nô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h.

Nhận xét: Bài toán này là bài toán chuyển động trong dòng chảy. Cần nhớ:

  • Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc riêng của ca nô + Vận tốc dòng nước
  • Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng của ca nô – Vận tốc dòng nước

Hướng dẫn giải:

Giả sử hướng đi từ bến A đến B là xuôi dòng.

Gọi vận tốc của ca nô trong nước im lặng là x (km/h) (x > 3).

Ta có vận tốc ca nô đi từ A đến B (xuôi dòng) là x + 3 (km/h)

Vận tốc ca nô đi từ B về A (ngược dòng) là x – 3 (km/h)

Thời gian ca nô đi từ A đến B là \frac{30}{x+3} (h)

Thời gian ca nô đi từ B về A là \frac{30}{x-3} (h)

Thời gian ca nô nghỉ tại B là 40 phút = \frac{40}{60} giờ = \frac{2}{3} (h)

Mà kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ, nên ta có phương trình:

\frac{30}{x+3}+\frac{30}{x-3}+\frac{2}{3}=6

\Leftrightarrow \frac{90(x-3)+90(x+3)+2(x^2-9)}{3(x^2-9)}=6

\Leftrightarrow \frac{180x+2x^2-18}{3(x^2-9)}=6

\Leftrightarrow \frac{2x^2+180x-18}{3(x^2-9)}-6=0

\Leftrightarrow \frac{2x^2+180x-18-18x^2+162}{3(x^2-9)}=0

\Leftrightarrow -16x^2+180x+144=0

\Leftrightarrow 4x^2-45x-36=0

Có a = 4; b = – 45, c = – 36

∆ = ( – 45)2 – 4.4.(- 36)= 2601 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm là: x = 12 (thoả mãn) hoặc x = -3/4 (loại)

Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h.

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Một xe máy đi từ A đến B cách nhau 40 km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa quãng đường đầu xe máy đi với vận tốc nhỏ hơn dự định 6 km/h. Trên nửa quãng đường còn lại xe máy đi với vận tốc lớn hơn dự định 12 km/h nên xe máy đến B đúng thời gian đã định. Tìm vận tốc dự định của xe máy.

Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60 km. Sau đó 1 giờ người khác đi xe máy tử A đến B và đến sớm hơn người đi xe đạp 1 giờ 40 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp.

Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc, một chiếc canô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3 km/h. Sau đi đến B, canô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách B là 32 km. Tính vận tốc của canô.

Xem thêm:

>>> Giải Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

>>> Giải phương trình bậc hai một ẩn

>>> Bài toán về hàm số và đồ thị

Dạng 2: Bài toán về năng suất

Năng suất là gì?

Năng suất chính là khối lượng công việc làm trong một thời gian nhất định.

Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất, ta cần phải nhớ :

  1. Bài toán về năng suất có 3 đại lượng: khối lượng công việc, năng suất và thời gian.
  2. Mối quan hệ giữa 3 đại lượng:
    • Khối lượng công việc = Năng suất x Thời gian
    • Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian
    • Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất
  3. Bài toán về công việc làm chung, làm riêng, hay vòi nước chảy chung, chảy riêng thì ta thường coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị.
    • Suy ra năng suất là 1/ Thời gian.
    • Lập phương trình theo: Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung.

Bạn hãy tham khảo các ví dụ sau đây nhé!

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (bài toán làm chung, làm riêng)

Bài 49 ( SGK Toán 9 tập 2 – trang 59)

Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc?

Hướng dẫn giải:

Gọi thời gian đội I hoàn thành công việc nếu làm riêng là x (ngày) (x ∈ N, x > 6).

Trong 1 ngày, đội I là được \frac{1}{x} (công việc)

Thời gian đội II hoàn thành công việc nếu làm riêng là x + 6 (ngày). (vì nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày).

Trong 1 ngày, đội II làm được \frac{1}{x+6} (công việc).

Trong 1 ngày, cả hai đội làm được \frac{1}{4} công việc. (vì hai đội làm xong việc mất 4 ngày).

Ta có phương trình:

\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4}

Biến đổi tương đương ta được phương trình:

\dpi{100} -x^2+2x+24=0

Giải phương trình ta được hai nghiệm x = 6 (thoả mãn) hoặc x = – 4 < 0 (loại).

Vậy đội I hoàn thành công việc trong 6 ngày nếu làm riêng. Đội II hoàn thành công việc trong 6 + 6 = 12 ngày nếu làm riêng.

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (năng suất dự kiến và thực tế)

Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 6 áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế trước khi hết hạn, xưởng đã may được 2650 áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo ?

Chú ý: Đề bài hỏi mỗi ngày … cần phải làm bao nhiêu … là hỏi năng suất.

Hướng dẫn giải:

Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là

Từ khóa » Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Bậc 2