Cách Giải Phương Trình Logarit Nhanh Và Chính Xác Nhất - Marathon

Lý thuyết về phương trình logarit

Định nghĩa về phương trình logarit

Phương trình logarit là khi cơ số a dương và khác 1 phương trình có dạng gọi là phương trình logarit cơ bản: loga x = b ⇔ x = ab (0 < a ≠ 1).

• loga f(x) = loga g(x)

Xem chi tiết tại file: https://drive.google.com/

Các dạng phương trình logarit

Một số phương trình logarit cơ bản (điều kiện: 0 < a ≠ 1):

\begin{aligned} &\small \bull log_ax=b ⟺ x=a^b\\ &\small \bull log_af(x)=log_ag(x) ⟺ \begin{cases}f(x),\ g(x)>0\\f(x)=g(x) \end{cases}\\ &\small \bull log_{f(x)}g(x)=b⟺\begin{cases}0< f(x) \not =1\\g(x)=f(x)^b \end{cases}\\ &\small \bull log_af(x) \ge log_ag(x)\ (1) \\ &\small \ \ \ \circ \text{Nếu a > 1 thì (1) }⟺ \begin{cases}f(x) \ge g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}\\ &\small \ \ \ \circ \text{Nếu 0 < a < 1 thì (1) }⟺ \begin{cases}f(x) \le g(x)\\ f(x)>0 \end{cases}\\ &\small \bull \text{Chú ý: } log_af(x) \text{ có nghĩa }⟺\begin{cases}f(x)>0\\0 < a \not= 1 \end{cases}\\ \end{aligned}

Ngoài ra, các em cũng cần nắm vững các công thức liên quan về Logarit và lũy thừa dưới đây:

Cách giải phương trình logarit

Cách 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Để giải phương trình logarit các em có thể dùng phương pháp đưa về cùng cơ số. Cụ thể:

• Bước 1: Xác định điều kiện của phương trình (nếu có)
• Bước 2: Vận dụng tất cả định nghĩa và tính chất của Logarit để đưa các Logarit có mặt trong phương trình về cùng một cơ số
• Bước 3: Tiến hành biến đổi phương trình về các dạng phương trình logarit cơ bản để giải
• Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận để kết thúc bài toán sau khi giải phương trình

Bí Quyết Học Tốt Toán 12 Và Đạt Điểm Cao Trong Kỳ Thi Đại Học

Ví dụ: 

Giải phương trình logarit sau: log2x + log3x + log4x = log20x

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned} &\text{ĐKXĐ: }x>0\\ &log_2x + log_3x + log_4x = log_{20}x\\ \Leftrightarrow\ &log_2x+\frac{log_2x}{log_23}+\frac{log_2x}{log_24}+\frac{log_2x}{log_220}=0\\ \Leftrightarrow\ &log_2x\left(1+\frac{1}{log_23}+\frac12-\frac{1}{log_220} \right)=0\\ \Leftrightarrow\ &log_2x\left(\frac32+log_32-log_{20}2\right)=0\\ \Leftrightarrow\ &log_2x=0\\ \Leftrightarrow\ &x=1\\ &\text{Vậy phương trình có nghiệm }x=1. \end{aligned}

>>> Xem thêm: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit – Lý Thuyết Toán 12

ĐĂNG KÝ NGAY

Cách 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Để giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ, các em có thể thực hiện theo các phương pháp sau:

\begin{aligned} &f[log_ag(x)]=0\ (0< a \not=1)\\ &\Leftrightarrow \begin{cases}t=log_ag(x)\\f(t)=0 \end{cases} \end{aligned}

Công thức đổi cơ số logarit:

log_bx=\frac{log_ax}{log_ab} \Rightarrow log_ab=\frac{1}{log_ba}\ \forall a,b,x>0 \text{ và }a,b \not= 1

Ví dụ: 

Giải phương trình sau:

\sqrt{log_9x+1}+\sqrt{log_3x+3}=5

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned} &\text{ ĐKXĐ: }\begin{cases}x>0\\log_9x+1\ge0\\log_3x+3\ge 0 \end{cases}\\ &\text{ Đặt }t=log_3x\\ &\sqrt{log_9x+1}+\sqrt{log_3x+3}=5\\ \Leftrightarrow \ &\sqrt{\frac12t+1}+\sqrt{t+3}=5 \ (ĐK: t\ge -2)\\ \Leftrightarrow \ &\frac12t+1+t+3+2\sqrt{\left( \frac12t+1\right)\left( t+3\right)}=25\\ \Leftrightarrow \ &\sqrt{\frac12t^2+\frac52t+3}=21-\frac32t\\ \Leftrightarrow \ &\begin{cases}-2\le t \le 14\\t^2-292t+1716=0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow \ &t=6 \text{ (thỏa điều kiện)}\\ \Leftrightarrow \ &x=64\\ &\text{Vậy nghiệm của phương trình là }x=64. \end{aligned}

Cách 3: Phương pháp mũ hóa

Khi gặp dạng phương trình còn có chứa cả logarit và mũ, các em có thể áp dụng phương pháp mũ hóa sau đó logarit hóa 2 vế để giải.

Ví dụ:

Giải phương trình: log2(2x + 6) = 2x + 1

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned} &log_2(2^x + 6) = 2x + 1\\ \Leftrightarrow\ & 2^{log_2(2^x+6)}=2^{2x+1}\\ \Leftrightarrow\ & 2^x+6=2.2^x\\ \Leftrightarrow\ & 2.2^x-2^x-6=0\\ \Leftrightarrow\ & \left[ \begin{array}{c}2^x=-3\\2^x=2 \end{array}\right.\\ \Leftrightarrow\ & x=1\\ &\text{Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là }x=1. \end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Gia sư Online Học Online Toán 12 Lý thuyết và giải bài tập về bất đẳng thức Mincopxki Học Online Hóa 10 Học Online Toán 11 Học Online Toán 6 Học Online Toán 10 Học Online Toán 7 Học Online Lý 10 Học Online Lý 9 Học Online Toán 8 Học Online Toán 9 Học Tiếng Anh 6 Học Tiếng Anh 7

Trên đây là những chia sẻ về các dạng phương trình logarit thường gặp và các phương pháp giải chi tiết. Hy vọng những nội dung này sẽ giúp ích cho các em trong quá trình học tập và ôn thi. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!