Phương Trình Logarit Cơ Bản Và Nâng Cao - DINHNGHIA.VN

Định nghĩa phương trình logarit là gì?

Tìm hiểu về hàm số Logarit

Hàm số Logarit là hàm số có dạng \(y=Log_{a}x\)

(với cơ số a dương khác 1). Tính chất của hàm số lôgarit \(y=Log_{a}x\)

\((a>0, a#1)\). – Tập xác định: (0; +∞). – Đạo hàm ∀x ∈ (0; +∞),\(y’ = \frac{1}{x.lna}\)

– Chiều biến thiên: +) Nếu a> 1 thì hàm số luôn đồng biến +) Nếu 0< a &lt; 1 thì hàm số luôn nghịch biến – Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng. – Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm (1;0) và đi qua điểm (a;1).

Xem chi tiết >>> Công thức logarit: Tóm tắt lý thuyết và Các dạng bài tập

Các dạng phương trình Logarit cơ bản

Với điều kiện: \(0 < a \neq 1\), ta có các phương trình logarit cơ bản sau

1. \(\log _{a}x = b \Leftrightarrow x = a^{b}\)
2. \(\log _{a}f(x) = \log _{a} g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x), g(x) > 0& \\ f(x) = g(x) & \end{matrix}\right.\)
3. \(log_{f(x)}g(x) = b \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0< f(x) \neq 1& \\ g(x) = f(x)^{2} & \end{matrix}\right.\)
4. \(\log _{a} f(x) \geq \log _{a} g(x)\)

Nếu a > 1 thì phương trình (*) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x) > g(x) & \\ g(x) > 0 & \end{matrix}\right.\)

Nếu 0 < a < 1 thì phương trình (*) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x) < g(x) & \\ f(x) > 0 & \end{matrix}\right.\)

Chú ý: \(\log _{a} f(x)\) có nghĩa \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x) > 0 & \\ 0 < a \neq 1 & \end{matrix}\right.\)

Các phương pháp giải phương trình logarit

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Đưa về phương trình mũ cơ bản:

• \(\log _{a} x = b \Leftrightarrow x = a^{b}, ( 0 < a \neq 1)\)
• \(\lg x = b \Leftrightarrow x = 10^{b}\)
• \(\ln x = b \Leftrightarrow x = e ^{b}\)

Ví dụ 1: Giải phương trình: \(log _{2}(3x-4) = 3\)

Giải: Điều kiện: 3x – 4 > 0 \(\Leftrightarrow x \geq \frac{4}{3}\)

\(log_{2}(3x-4) = 3 \Leftrightarrow 3x – 4 = 2^{3} \Leftrightarrow 3x = 8 + 4 \Leftrightarrow x = 4\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

phương trình logarit dạng đưa về cùng cơ số

phương trình logarit đưa về cùng ẩn phụ

phương trình logarit và các dạng bài tập

Ví dụ 2: Giải phương trình: \(2^{2x} – \sqrt{2^{x} + 6} = 6\)

Giải: Đặt: \(u = 2^{x}\) , điều kiện u > 0

Khi đó phương trình thành: \(u^{2} – \sqrt{u + 6} = 6\)

Đặt \(v = \sqrt{u + 6}\) , điều kiện \(v \geq \sqrt{6} \Rightarrow v^{2} = u + 6\)

Khi đó phương trình được chuyển thành hệ: \(\left\{\begin{matrix} u^{2}=v-6\\ v^{2}=u-6 \end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{\begin{matrix} u^{2}-v=6\\ v^{2}-u=6 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow u^{2} – v = v^{2} – u\Leftrightarrow (u – v)(u + v + 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow u – v = 0\) hoặc \(u + v + 1 = 0\)

Với \(u = v\) ta có: \(u^{2} – u – 6 = 0\) \(\Leftrightarrow u = 3 \) hoặc \(u = -2\)

\(\Rightarrow u = 3 \Rightarrow 2^{x} = 3 \Leftrightarrow x = \log _{2}3\)

Với \(u + v + 1 = 0\) ta được: \(u^{2} + u – 5 = 0 \Leftrightarrow u = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \) hoặc \(u = \frac{-1 – \sqrt{21}}{2}\)

\(\Rightarrow u = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \Rightarrow 2^{x} = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \Leftrightarrow x =\log _{2}\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là \(x = \log _{2}3\) và \(x = \log _{2}\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\)

Dạng 3: Phương pháp logarit hóa, mũ hóa

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: \(3^{x}.2^{x^{2}} = 1\)

Giải: Lấy Logarit hai vế với cơ số 2, ta được: \(\log _{2} (3^{x}2^{2^{x}}) = log_{2}1 \Leftrightarrow \log _{2}3^{x} + \log _{2}2^{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x.\log _{2}3 + x^{2}.\log _{2}2 = 0\)

\(\Leftrightarrow x.\log _{2}3 + x^{2} = 0\Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(\log _{2}3 + x = 0\) \(\Leftrightarrow x = 0 hoặc x = – \log _{2}3\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 0 và \(x = – \log _{2}3\)

Dạng 4: Phương pháp đồ thị để giải phương trình logarit

phương pháp đồ thị để giải phương trình logarit

nghiệm duy nhất của (*)

Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 7

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về Phương trình Logarit, nếu có bất kì thắc mắc hoặc đóng góp cho bài viết, các bạn vui lòng để lại bình luận xây dựng bên dưới để chúng mình hoàn thiện hơn. Nếu thấy hay thì chia sẻ nha <3