Cách Giải Vị Trí Tương đối Mặt Cầu Với Mặt Phẳng – Bài Tập Có đáp án ...

Cách giải vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng – bài tập có đáp án chi tiết

Phương pháp giải bài toán tương giao

§ Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I và bán kính R cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r khi $d\left( I;\left( P \right) \right)<R$. Khi đó ${{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)+{{r}^{2}}={{R}^{2}}$.

§ Tâm đường tròn giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$ và hình chiếu vuông góc xủa điểm I trên mặt phẳng $\left( P \right)$.

Bài tập vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Bài tập 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho $I\left( 1;2;-2 \right)$ và $\left( P \right):2x+2y+z+5=0$. Lập phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I sao cho giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$ là đường tròn có chu vi $8\pi $.

Lời giải chi tiết

Do chu vi đường tròn giao tuyến $C=2\pi r=8r\Rightarrow r=4$. Ta có: $d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2+4-2+5 \right|}{\sqrt{4+4+1}}=3$.

Bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{{{r}^{2}}+{{d}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5$.

Phương trình mặt cầu là: $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=25$.

Bài tập 2: Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y-z+1=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=9$. Lập phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với $\left( \alpha \right)$ và cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có diện tích bằng $6\pi $.

Lời giải chi tiết

Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=9$ có tâm $I\left( 1;0;-2 \right)$ bán kính $R=3$.

Do diện tích đường tròn giao tuyến $S=\pi {{r}^{2}}=6\pi \Rightarrow r=\sqrt{6}\Rightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{3}$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với $\left( \alpha \right)$ $\Rightarrow \left( P \right):x+y-z+D=0$

Ta có: $d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1+2+D \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} D=0 \\ {} D=-6 \\ \end{array} \right.$.

Do đó $\left( P \right):x+y-z=0$ hoặc $x+y-z+6=0$.

Bài tập 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{-2}$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-4z-19=0$. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho mặt phẳng qua M và vuông góc với d cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo một đường tròn có chu vi bằng $8\pi $.

Lời giải chi tiết

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-1;2 \right)$, bán kính $R=5$. Do $C=2\pi r\Rightarrow r=4$ do vậy mặt phẳng qua M vuông góc với d cắt $\left( S \right)$ theo 1 đường tròn có bán kính bằng 4.

VTCP của d là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;-2 \right)$ khi đó $M\in d\Rightarrow \left( 3+2t;2+t;1-2t \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $2\left( x-3-2t \right)+\left( y-2-t \right)-2\left( z-1+2t \right)=0$

Hay $2x+y-2z-9t-6=0$

Ta có: $d\left( I;\left( P \right) \right)=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=3\Leftrightarrow \frac{\left| 9t+9 \right|}{3}=3\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=0 \\ {} t=-2 \\ \end{array} \right.$

Từ đó suy ra $M\left( 3;2;1 \right),M\left( -1;0;5 \right)$ là các điểm cần tìm.

Bài tập 4: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình $\left( S \right):{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-7 \right)}^{2}}=4$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-y+z+4=0$. Biết mặt cầu $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo một đường tròn $\left( C \right)$. Tính chu vi đường tròn $\left( C \right)$. A. $8\pi $. B. $4\pi $. C. $2\pi $. D. $4\pi \sqrt{2}$.

Lời giải chi tiết

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -3;5;7 \right)$ và bán kính $R=2$.

Khoảng cách từ tâm I đến $\left( P \right)$ là: $d=\frac{\left| -3-5+7+4 \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.

Bán kính đường tròn $\left( C \right)$ là: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{4-3}=1$.

Chu vi đường tròn $\left( C \right)$ là: $C=2\pi r=2\pi $. Chọn C.

Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-6z-2=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa trục Oy và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng $8\pi $. A. $3x+z=0$. B. $3x+z+2=0$. C. $3x-z=0$. D. $x-3z=0$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16$ Þ $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ và bán kính $R=4$.

Bán kính của đường tròn là: $r=\frac{C}{2\pi }=4=R$ Þ đường tròn đi qua tâm của mặt cầu $\left( S \right)$.

Vtcp của Oy là $\overrightarrow{u}\left( 0;1;0 \right)$, điểm $A\left( 0;1;0 \right)\in Oy$.

Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( 1;1;3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} \right]=\left( -3;0;1 \right)$.

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua O và nhận $\overrightarrow{n}$ làm vtpt suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\left( \alpha \right):3x-z=0$. Chọn C.

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I thuộc đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }:\frac{x}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{2}$. Biết rằng mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính bằng $2\sqrt{2}$ và cắt mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tọa độ tâm I. A. $I\left( 1;-2;2 \right);\text{ }I\left( 5;2;10 \right)$. B. $I\left( 1;-2;2 \right);\text{ }I\left( 0;-3;0 \right)$. C. $I\left( 5;2;10 \right);\text{ }I\left( 0;-3;0 \right)$. D. $I\left( 1;-2;2 \right);\text{ }I\left( -1;2;-2 \right)$.

Lời giải chi tiết

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng là $\left( Oxz \right)$ là $d=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{8-4}=2$.

Điểm $I\in d$ suy ra $I\left( t;t-3;2t \right)\Rightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)=\left| t-3 \right|=2\Rightarrow \left[ \begin{array} {} t=5 \\ {} t=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array} {} I\left( 5;2;10 \right) \\ {} I\left( 1;-2;2 \right) \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Bài tập 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $S\left( 0;0;1 \right)$. Hai điểm $M\left( m;0;0 \right);N\left( 0;n;0 \right)$ thay đổi sao cho $m+n=1$ và $m>0;n>0$. Biết rằng mặt phẳng $\left( SMN \right)$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Bán kính mặt cầu đó bằng:$R=\sqrt{2}$. A. $R=\sqrt{2}$. B. $R=2$. C. $R=1$. D. $R=\frac{1}{2}$.

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng $\left( SMN \right)$ theo đoạn chắn là: $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+z=1$. Gọi $P\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$

Ta có: $d=d\left( P;\left( SMN \right) \right)=\frac{\left| \frac{{{x}_{0}}}{m}+\frac{{{y}_{0}}}{n}+{{z}_{0}}-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{m}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{2}}}+1}}$.

Lại có $\frac{1}{{{m}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{2}}}+1={{\left( \frac{1}{m}+\frac{1}{n} \right)}^{2}}-\frac{2}{mn}+1={{\left( \frac{m+n}{mn} \right)}^{2}}-\frac{2}{mn}+1={{\left( \frac{1}{mn} \right)}^{2}}-\frac{2}{mn}+1={{\left( \frac{1}{mn}-1 \right)}^{2}}$

$d=\frac{\left| \frac{{{x}_{0}}}{m}+\frac{{{y}_{0}}}{n}+{{z}_{0}}-1 \right|}{\left| \frac{1}{mn}-1 \right|}$. Ta chọn $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{0}}=1 \\ {} {{y}_{0}}=1 \\ {} {{z}_{0}}=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow d=\frac{\left| \frac{m+n}{mn}-1 \right|}{\left| \frac{1}{mn}-1 \right|}=1$ với mọi $m>0;n>0$.

Do đó mặt cầu cần tìm là mặt cầu tâm ${{P}_{0}}\left( 1;1;0 \right)$ bán kính $R=1$. Chọn C.