Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Biểu Thức Chứa Căn

Có thể bạn quan tâm

Giải Toán - Hỏi đáp - Thảo luận - Giải bài tập Toán - Trắc nghiệm Toán online

Tất cả
- Bài tập Cuối tuần
- Toán 1
- Toán 2
- Toán 3
- Toán 4
- Toán 5
- Toán 6
- Toán 7
- Toán 8
- Toán 9
- Toán 10
- Toán 11
- Toán 12
- Test IQ
- Hỏi bài
- Đố vui Toán học
- Toán 1
- Toán 2
- Toán 3
- Toán 4
- Toán 5
- Toán 6
- Toán 7
- Toán 8
- Toán 9
- Toán 10
- Toán 11
- Toán 12

Giaitoan.com Toán 9 Chuyên đề Toán 9 thi vào 10Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn Chuyên đề Toán 9 thi vào lớp 10Nội dung Tải về

17 Đánh giá

Mua tài khoản GiaiToan Pro để trải nghiệm website GiaiToan.com KHÔNG quảng cáo & Tải tất cả các File chỉ từ 79.000đ. Tìm hiểu thêm Mua ngay

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn

A. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức
- 1. Biến đổi biểu thức
- 2. Chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm
- 3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
- 4. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
B. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn
C. Bài tập vận dụng tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo tài liệu Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn. Đây là một trong những dạng toán khó và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, đòi hỏi việc vận dụng linh hoạt các kiến thức Đại số Toán 9. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

1. Biến đổi biểu thức

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {GTNN:\sqrt {{A^2} + m} \geqslant \sqrt m } \\ {GTLN:\sqrt {m - {A^2}} \leqslant \sqrt m } \end{array};\left( {m \geqslant 0} \right)} \right.$

Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

2. Chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm

Phương pháp:

- Để chứng minh biểu thức A luôn dương ta cần chỉ ra: $A = {A_1}^2 + k;\left( {k 0} \right)$

- Để chứng minh biểu thức A luôn âm ta cần chỉ ra: $A =- {A_1}^2 - k;\left( {k 0} \right)$

3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Cho hai số a, b không âm ta có:

$a + b \geqslant 2\sqrt {ab}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

4. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

$\left| a \right| + \left| b \right| \geqslant \left| {a + b} \right|$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích $a.b \geqslant 0$

B. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a. $E = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$

b. $D = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định x ≥ 0

Do $\sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \geqslant 1 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 1}} \leqslant 1$

=> max A = 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0

b) Điều kiện xác định $x \geqslant 0$

$D = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$

Do $\sqrt x \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \geqslant 2 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} \leqslant \frac{1}{2} \Rightarrow \max A = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $Q = {x^2}\sqrt {9 - {x^2}}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x ∈ [-3; 3]

Ta có:

$\begin{matrix} {Q^2} = {x^4}\left( {9 - {x^2}} \right) \hfill \\ {Q^2} = 4.\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{{{x^2}}}{2}\left( {9 - {x^2}} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\begin{matrix} {Q^2} \leqslant 4.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + \left( {9 - {x^2}} \right)} \right)}^3}}}{{27}} = 4.27 \hfill \\ \Rightarrow Q \leqslant 6\sqrt 3 \hfill \\ \Rightarrow \max Q = 6\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = \pm \sqrt 6$

Ví dụ: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}$ với x > 0 và x ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A - 9\sqrt x$

Hướng dẫn giải

a) Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta rút gọn biểu thức được kết quả như sau: $A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}$

b) Có hai cách giải bài toán như sau:

Cách 1: Thêm bớt rồi dùng bất đẳng thức Cauchy hoặc đánh giá dựa vào điều kiện đề bài.

Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:

$P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x$

$= 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)$

Theo bất đẳng thức Cauchy ra có:

$9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 2\sqrt {9\sqrt x .\frac{1}{{\sqrt x }}} \Leftrightarrow 9\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \geqslant 6$

Như vậy P ≤ -5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $9\sqrt x = \frac{1}{{\sqrt x }}$ hay x = 1/9

Vậy giá trị lớn nhất của P là - 5 khi và chỉ khi x = 1/9

Cách 2: Dùng miền giá trị để đánh giá

Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:

$P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x$ (P < 1)

$\begin{matrix} \Leftrightarrow P\sqrt x = \sqrt x - 1 - 9x \hfill \\ \Leftrightarrow 9x + \left( {P - 1} \right)\sqrt x + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 9{\left( {\sqrt x } \right)^2} + \left( {P - 1} \right)\sqrt x + 1 = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Để tổn tại P thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là:

∆ = (P - 1)2 - 36 ≥ 0 ⇔ (P - 1)2 ≥ 36 ⇔ P - 1 ≤ -6 (Do P < 1) ⇔ P ≤ -5

Như vậy P ≤ -5 khi $\sqrt x = \frac{{ - \left( {P - 1} \right)}}{{2.9}} = \frac{{ - \left( { - 5 - 1} \right)}}{{2.9}} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{9}$

Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9

C. Bài tập vận dụng tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

a. $\sqrt {x - 4} - 2$

b. $x - \sqrt x$

Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

a. $A = \sqrt 3 - \sqrt {x - 1}$	b. $B = 6\sqrt x - x - 1$
c. $C = \frac{1}{{x - \sqrt x - 1}}$

Bài 3: Cho biểu thức:

$A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)$

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn biểu thức B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A . B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Bài 4: Cho biểu thức: $A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}$ . Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho biểu thức:

$A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + x + 2}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 1} \right)$

a. Rút gọn A

b. Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 6: Cho biểu thức:

$B = \frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} - \frac{{2x + \sqrt x }}{{\sqrt x }} + 1;\left( {x 0} \right)$

a. Rút gọn B

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B.

Bài 7: Cho biểu thức $A=\frac{x\sqrt{x}+26\sqrt{x}-19}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}$ với x ≥ 0; x ≠ 1

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Bài 8: Cho biểu thức $P=\left(\frac{\sqrt{x}}{x-36}+\frac{\sqrt{x}-6}{x+6\sqrt{x}}\right).\frac{x\sqrt{x}-36\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-3\right)\left(x-2\sqrt{x}+3\right)}$

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 9: Cho biểu thức $M=\frac{x+\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2}$ và $N=\frac{3x-\sqrt{x}-2}{x-2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-1}{2-\sqrt{x}}$ với x > 0 và x ≠ 4

a) Chứng minh $N=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{M}{N}$ .

Bài 10: Cho biểu thức $T=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}$

a) Rút gọn biểu thức T

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của T.

-------------------------------------------------

Tham khảo thêm:

Trục căn thức ở mẫu Toán 9
Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9
Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên
Một đội công nhân được giao nhiệm vụ trồng 96 cây xanh cho một tuyến đường. Khi chuẩn bị trồng thì có 4 công nhân được điều đi làm việc khác nên mỗi người còn lại phải trồng thêm 4 cây so với dự định. Hỏi lúc đầu đội công nhân có bao nhiêu người?
Chuyên đề Hệ thức Vi-ét

Chia sẻ bởi:

Cự Giải

Download

Mời bạn đánh giá!

Lượt tải: 350
Lượt xem: 28.958

Liên kết tải về

Link Download chính thức:

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn Download Tìm thêm: Chuyên đề Toán 9 Toán 9Sắp xếp theo Mặc địnhMới nhấtCũ nhất

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tài liệu tham khảo khác

Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9
Chuyên đề rút gọn biểu thức lớp 9
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất
Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng
Các bước giải bài toán làm chung làm riêng
Cách chứng minh tam giác vuông
Tam giác vuông Toán 9
Toán thực tế - Hình học không gian
Chuyên đề Toán 9 thi vào 10
Bác An có một đống cát hình nón cao 2 m, đường kính đáy 6 m
Toán thực tế - Hình học không gian lớp 9
Một quả bóng bằng da có đường kính 22 cm. Tính diện tích da cần dùng để làm quả bóng
Toán thực tế - Hình học không gian lớp 9
Tìm m để phương trình có nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện
Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10
Trong một ngôi trường có một số ghế băng, mỗi ghế băng quy định một số người như nhau
Chuyên đề Toán 9 thi vào 10
Hai tổ sản xuất được giao làm 800 sản phẩm trong một thời gian quy định
Chuyên đề Toán 9 thi vào 10
Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức
Chuyên đề Toán 9 thi vào 10
Giải phương trình bậc 2
Nghiệm của phương trình bậc 2
Cách giải phương trình bậc 2
Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10
Nghiệm của phương trình bậc 2
Giải phương trình bậc 2

Chủ đề liên quan

Toán 9
Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Mới nhất trong tuần

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10
Cho hai biểu thức. Tìm x để biểu thức P = A . B có giá trị là số nguyên
Luyện thi vào lớp 10
Cô Liên có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài 20 m và chiều rộng 15 m
Bài tập Toán 9
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10
Tìm x để |A| = A, |A| = - A, |A| > A, |A| > -A
Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10
Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9
867 Chuyên đề rút gọn biểu thức lớp 9
Trục căn thức ở mẫu Toán 9
313 Chuyên đề rút gọn biểu thức lớp 9
Cách giải hệ phương trình
Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10
Hai người cùng làm chung một công việc hết 15 ngày. Năng suất trong một ngày của người thứ 2 bằng 2/3
Chuyên đề Toán 9 thi vào 10
Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ làm theo đúng kế hoạch đề ra
Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Từ khóa » Gtnn Lớp 9

Toán 1

Toán 2

Toán 3

Toán 4

Toán 5

Toán 6

Toán 7

Toán 8

Toán 9

Toán 10

Toán 11

Toán 12

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn

A. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

1. Biến đổi biểu thức

2. Chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm

3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

4. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

B. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn

C. Bài tập vận dụng tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Download

Link Download chính thức:

Tài liệu tham khảo khác

Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng

Cách chứng minh tam giác vuông

Toán thực tế - Hình học không gian

Bác An có một đống cát hình nón cao 2 m, đường kính đáy 6 m

Một quả bóng bằng da có đường kính 22 cm. Tính diện tích da cần dùng để làm quả bóng

Tìm m để phương trình có nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện

Trong một ngôi trường có một số ghế băng, mỗi ghế băng quy định một số người như nhau

Hai tổ sản xuất được giao làm 800 sản phẩm trong một thời gian quy định

Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức

Giải phương trình bậc 2

Cách giải phương trình bậc 2

Nghiệm của phương trình bậc 2

Chủ đề liên quan

Toán 9

Chuyên đề Toán 9 thi vào 10

Mới nhất trong tuần

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Cho hai biểu thức. Tìm x để biểu thức P = A . B có giá trị là số nguyên

Cô Liên có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài 20 m và chiều rộng 15 m

Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Tìm x để |A| = A, |A| = - A, |A| > A, |A| > -A

Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9

Trục căn thức ở mẫu Toán 9

Cách giải hệ phương trình

Hai người cùng làm chung một công việc hết 15 ngày. Năng suất trong một ngày của người thứ 2 bằng 2/3

Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ làm theo đúng kế hoạch đề ra

Liên Hệ