Cách Tính độ Dài Vecto

Trang chủ » độ Dài Vecto Có Hướng » Cách Tính độ Dài Vecto

Có thể bạn quan tâm

Cách tính độ dài Vecto Cách tính độ dài Vecto lớp 10 Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 10 Môn: Toán Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ cực hay, chi tiết

  • A. Công thức vectơ
    • Độ dài vecto
    • Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ
  • B. Bài tập tính độ dài vectơ
  • C. Bài tập tự rèn luyện tính độ dài vectơ

Trong chương trình Toán lớp 10, vecto là một khái niệm quan trọng mở đầu cho hình học giải tích. Một trong những kỹ năng cơ bản khi học về vecto là cách tính độ dài vecto – yếu tố nền tảng để giải quyết các bài toán hình học phẳng và không gian. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách tính độ dài vecto, công thức áp dụng, ví dụ minh họa dễ hiểu kèm bài tập thực hành. Nếu bạn đang tìm kiếm tài liệu Cách tính độ dài vecto lớp 10, đừng bỏ qua nội dung hữu ích sau đây!

A. Công thức vectơ

Độ dài vecto

- Định nghĩa: Mỗi vecto đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó. Độ dài của vecto \overrightarrow{\mathrm{a}}\(\overrightarrow{\mathrm{a}}\) được ký hiệu là |\overrightarrow{\mathrm{a}}|\(|\overrightarrow{\mathrm{a}}|\).

Do đó đối với các vectơ \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{PQ}}.........\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{PQ}}.........\) ta có:

|\overrightarrow{A B}|=A B=B A ;|\overrightarrow{P Q}|=P Q=Q P\(|\overrightarrow{A B}|=A B=B A ;|\overrightarrow{P Q}|=P Q=Q P\)

- Phương pháp: muốn tính độ dài vectơ, ta tính độ dài cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

- Trong hệ tọa độ: Cho \overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\mathrm{a}_{1} ; \mathrm{a}_{2}\right)\(\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\mathrm{a}_{1} ; \mathrm{a}_{2}\right)\)

Độ dài vectơ \text { a là }|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\(\text { a là }|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\)

Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ

Áp dụng công thức sau

Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm M(xM; yM) và N(xN; yN) là

\mathrm{MN}=|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{N}}-\mathrm{x}_{\mathrm{M}}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{\mathrm{N}}-\mathrm{y}_{\mathrm{M}}\right)^{2}}\(\mathrm{MN}=|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\sqrt{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{N}}-\mathrm{x}_{\mathrm{M}}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{\mathrm{N}}-\mathrm{y}_{\mathrm{M}}\right)^{2}}\)

 

B. Bài tập tính độ dài vectơ

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ \overrightarrow{\mathrm{v}}\(\overrightarrow{\mathrm{v}}\)=(4;1) và \overrightarrow{\mathrm{v}}\(\overrightarrow{\mathrm{v}}\)=(1;4). Tính độ dài vectơ \vec{u}+\vec{v} ; \vec{u}-\vec{v}\(\vec{u}+\vec{v} ; \vec{u}-\vec{v}\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\vec u + \vec v = (4 + 1;1 + 4) = (5;5)\(\vec u + \vec v = (4 + 1;1 + 4) = (5;5)\)

\Rightarrow |\vec u + \vec v| = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2\(\Rightarrow |\vec u + \vec v| = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2\)

\vec u - \vec v = (4 - 1;1 - 4) = (3; - 3)\(\vec u - \vec v = (4 - 1;1 - 4) = (3; - 3)\)

\Rightarrow |\vec u - \vec v| = \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2\(\Rightarrow |\vec u - \vec v| = \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2\)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC\(ABC\) có tọa độ ba đỉnh A(6;3),B( - 3;6),C(1; - 2)\(A(6;3),B( - 3;6),C(1; - 2)\) . Xác định tọa độ điểm D \in BC\(D \in BC\) thỏa mãn BD = 2CD\(BD = 2CD\) ?

Hướng dẫn giải

Giả sử tọa độ điểm D là: D(x;y)\(D(x;y)\)

Ta có: D \in BC\(D \in BC\) thỏa mãn BD = 2.CD

\Leftrightarrow \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}\(\Leftrightarrow \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}\)

Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BD} = (x + 3;y - 6) \\ \overrightarrow{DC} = (1 - x; - 2 - y) \\ \end{matrix} \right.\(\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BD} = (x + 3;y - 6) \\ \overrightarrow{DC} = (1 - x; - 2 - y) \\ \end{matrix} \right.\)

\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3 = 2 - 2x \\ y - 6 = - 4 - 2y \\ \end{matrix} \right.\(\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3 = 2 - 2x \\ y - 6 = - 4 - 2y \\ \end{matrix} \right.\)

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \frac{1}{3} \\ y = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow D\left( - \frac{1}{3};\frac{2}{3} \right)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \frac{1}{3} \\ y = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow D\left( - \frac{1}{3};\frac{2}{3} \right)\)

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(2;5),B(0;2),C(2;1)\(A(2;5),B(0;2),C(2;1)\) . Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC ?

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của BC

Khi đó tọa độ của M là: \left\{ \begin{matrix} x_{M} = \frac{2 + 0}{2} = 1 \\ y_{M} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M\left( 1;\frac{3}{2} \right)\(\left\{ \begin{matrix} x_{M} = \frac{2 + 0}{2} = 1 \\ y_{M} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M\left( 1;\frac{3}{2} \right)\)

Suy ra độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A hay độ dài đoạn AM là:

AM = \sqrt{(1 - 2)^{2} + \left( \frac{3}{2} - 5 \right)^{2}} = \frac{\sqrt{53}}{2}\(AM = \sqrt{(1 - 2)^{2} + \left( \frac{3}{2} - 5 \right)^{2}} = \frac{\sqrt{53}}{2}\)

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là \frac{\sqrt{53}}{2}\(\frac{\sqrt{53}}{2}\) .

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M(1; -2) và N (-3; 4).

A. MN = 4                                        B. MN = 6

C. \mathrm{MN}=3 \sqrt{6}\(C. \mathrm{MN}=3 \sqrt{6}\)                                   D. \mathrm{MN}=2 \sqrt{13}\(D. \mathrm{MN}=2 \sqrt{13}\)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:

Ta có 

MN = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2}}\(MN = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2}}\)

= \sqrt {{{( - 3 - 1)}^2} + {{(4 - ( - 2))}^2}} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13}\(= \sqrt {{{( - 3 - 1)}^2} + {{(4 - ( - 2))}^2}} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13}\)

Đáp án D

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4), B(3; 2), C(5; 4). Chu vi P của tam giác đã cho.

A. P=4+2\sqrt{2}\(P=4+2\sqrt{2}\)                                  B. P=4+4\sqrt{2}\(P=4+4\sqrt{2}\)

C. P = 8 + 8\sqrt{2}\(P = 8 + 8\sqrt{2}\)                                 D. P=2+2\sqrt{2}\(P=2+2\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

A B=\sqrt{(3-1)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\(A B=\sqrt{(3-1)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

\mathrm{AC}=\sqrt{(5-1)^{2}+(4-4)^{2}}=\sqrt{4^{2}}=4\(\mathrm{AC}=\sqrt{(5-1)^{2}+(4-4)^{2}}=\sqrt{4^{2}}=4\)

\mathrm{BC}=\sqrt{(5-3)^{2}+(4-2)^{2}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\(\mathrm{BC}=\sqrt{(5-3)^{2}+(4-2)^{2}}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

Chu vi tam giác ABC là:

\mathrm{P}=\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=2 \sqrt{2}+4+2 \sqrt{2}=4+4 \sqrt{2}\(\mathrm{P}=\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=2 \sqrt{2}+4+2 \sqrt{2}=4+4 \sqrt{2}\)

Đáp án B

Ví  dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tọa độ A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)\(A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)\) . Một điểm M \in Ox\(M \in Ox\) bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \right| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right|\(T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \right| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right|\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có: M \in Ox \Rightarrow M(x;0)\(M \in Ox \Rightarrow M(x;0)\)

Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} \right.\(\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} \right.\)

Suy ra \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} \right.\(\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} \right.\)

Ta có:

T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \right| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right|\(T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} \right| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right|\)

= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}\(= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}\)

= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} \right) = 6(ME + MF)\(= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} \right) = 6(ME + MF)\)

(Với E(3;2),F(2; - 1)\(E(3;2),F(2; - 1)\) )

Lại có: \overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} \right| = \sqrt{10}\(\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} \right| = \sqrt{10}\)

Mà ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}\(ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => M\left( \frac{7}{3};0 \right)\(M\left( \frac{7}{3};0 \right)\)

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là 6\sqrt{10}\(6\sqrt{10}\) .

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(-1; 1), B(0; 2), C(3; 1) và D(0; -2). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành                             

B. Tứ giác ABCD là hình thoi

C. Tứ giác ABCD là hình thang cân

D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn

Hướng dẫn giải:

Ta có: \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right) \hfill \\ \overrightarrow {DC} = \left( {3;3} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {AB}\(\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right) \hfill \\ \overrightarrow {DC} = \left( {3;3} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {AB}\)

Suy ra DC // AB

Do đó từ giác ABCD là hình thang (1)

Lại có: \left\{ \begin{gathered} AC = \sqrt {{{\left( {3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}} = 4 \hfill \\ BD = \sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\(\left\{ \begin{gathered} AC = \sqrt {{{\left( {3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}} = 4 \hfill \\ BD = \sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Suy ra AC = BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình thang cân (hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân).

Đáp án C

Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(4;2). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và B.

A. C\left( { - \frac{5}{3};0} \right)\(C\left( { - \frac{5}{3};0} \right)\)        B. \left( {\frac{5}{3};0} \right)\(\left( {\frac{5}{3};0} \right)\)            C. C\left( { - \frac{3}{5};0} \right)\(C\left( { - \frac{3}{5};0} \right)\)                 D. C\left( {\frac{3}{5};0} \right)\(C\left( {\frac{3}{5};0} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: C \in Ox\(C \in Ox\) nên C(x; 0)

Do đó: \left\{ \begin{gathered} AC = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \hfill \\ BC = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\(\left\{ \begin{gathered} AC = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \hfill \\ BC = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Vì C cách đều hai điểm A và B nên 

CA = CB ⇔ AC2 = BC2

⇔ (x - 1)2 + (-3)2 = (x - 4)2 + (-2)2

⇔x2 - 2x + 1 + 9 = x2 - 8x + 16 + 4

⇔ (x2 - x2) + (-2x + 8x) = 16 + 4 - 1 - 9

⇔ 6x = 10 ⇔ x = 10/6

Vậy \left( {\frac{5}{3};0} \right)\(\left( {\frac{5}{3};0} \right)\)

Đáp án B

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= √5 ,AC=2√5.

a) Độ dài vectơ \overrightarrow{AB}\(\overrightarrow{AB}\) + \overrightarrow{AC}\(\overrightarrow{AC}\) bằng:

A. √5                      B. 5√5                     C. 25                       D. 5

b) Độ dài vectơ \overrightarrow{AC}\(\overrightarrow{AC}\) - \overrightarrow{AB}\(\overrightarrow{AB}\) bằng:

A. √5                 B. 15                 C. 5                D. 2

Ví dụ 10. Cho parabol như hình vẽ:

Biết G là đỉnh parabol cách AB một khoảng bằng 6, CD = 4;DE = \frac{10}{3}\(CD = 4;DE = \frac{10}{3}\) . Tính khoảng cách giữa hai điểm A,B\(A,B\) ?

Hướng dẫn giải

Xét hệ tọa độ Oxy với O là trung điểm AB, tia Ox là tia OB.

Khi đó tọa độ E\left( 2;\frac{10}{3} \right),G(0;6)\(E\left( 2;\frac{10}{3} \right),G(0;6)\)

Gọi biểu thức hàm số có đồ thị là hình parabol là y = ax^{2} + bx + c\(y = ax^{2} + bx + c\)

Có G là đỉnh parabol suy ra c = 6;b = 0\(c = 6;b = 0\)

Có E\left( 2;\frac{10}{3} \right) \in (P)\(E\left( 2;\frac{10}{3} \right) \in (P)\) suy ra \frac{10}{3} = 4a + 6 \Rightarrow a = - \frac{2}{3}\(\frac{10}{3} = 4a + 6 \Rightarrow a = - \frac{2}{3}\)

Biểu thức hàm số là y = - \frac{2}{3}x^{2} + 6\(y = - \frac{2}{3}x^{2} + 6\)

Hoành độ giao điểm với trục hoành: - \frac{2}{3}x^{2} + 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3\(- \frac{2}{3}x^{2} + 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3\)

Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B là 6\(6\) .

C. Bài tập tự rèn luyện tính độ dài vectơ

Bài 1: Cho tam giác ABC. Vectơ \overrightarrow{AB}\(\overrightarrow{AB}\)+\overrightarrow{AC}\(\overrightarrow{AC}\) có giá chứa đường thẳng nào sau đây?

A. Tia phân giác của góc A

B. Đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC

C. Đường trung tuyến qua A của tam giác ABC

D. Đường thẳng BC

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 8. Vectơ \overrightarrow{CB}\(\overrightarrow{CB}\)+\overrightarrow{AB}\(\overrightarrow{AB}\) có độ dài là:

A. 4                B. 5                C. 10                      D.8

Bài 3: Cho hình thang có hai đáy là AB = 3a và CD = 6a. Khi đó | \overrightarrow{AB}\(\overrightarrow{AB}\)+\overrightarrow{CD}\(\overrightarrow{CD}\) | bằng bao nhiêu?

A. 9a                   B. 3a                     C. – 3a                 D. 0

Bài 4: Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Tính |

Từ khóa » độ Dài Vecto Có Hướng