Tích Vô Hướng Hai Vectơ - Lý Văn Công Trường THPT Thanh Bình

Có thể bạn quan tâm

1. Góc giữa hai vectơ

2. Tích vô hướng của hai vectơ

1.1. Định nghĩa. Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ khác vectơ $\vec 0.$ Tích vô hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ là một số, kí hiệu $\vec a.\vec b$ , xác định bởi

$\vec a\vec b=|\vec a|.|\vec b|.\cos(\vec a,\vec b).$

Chú ý: Nếu một trong hai vectơ bằng vectơ $\vec 0$ thì quy ước

$\vec a.\vec b=0.$

* Nếu hai vectơ $\vec a$ và $\latex \vec b$ bằng nhau thì tích vô hướng của hai vectơ đó được viết:

$\vec a^2$ và gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec a.$

Như vậy: $\vec a^2=|\vec a|^2.$

1.2. Tính chất tích vô hướng của hai vect tơ

Với mọi vectơ $\vec a,\,\vec b,\,\vec c$ và số thực $k.$ ta có

– $(k\vec a).\vec b=k(\vec a.\vec b)$

– $\vec a.(\vec b+\vec c)=\vec a.\vec b+\vec a.\vec c$

– $\vec a.\vec b=\vec b.\vec a.$

1.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho vectơ $\vec a=(x_1; y_1)$ và $\vec b=(x_2; y_2).$ Khi đó, ta có

$\vec a.\vec b=x_1x_2+y_1y_2.$ (1)

Công thức (1) gọi là biểu thức tọa độ tích vô hướng hai vectơ.

* Độ dài của vectơ $|\vec a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

* Công thức tính góc giữa hai vectơ khác vectơ không:

$\cos(\vec a,\,\vec b)=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}.\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

1.4. Bất đẳng thức Bunhiacopski:

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho vectơ $\vec a=(x_1; y_1)$ và $\vec b=(x_2; y_2).$ Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, ta có

$|\vec a.\vec b|\leq |\vec a|.|\vec b|$

Nếu chúng ta sử dụng công thức biểu thức tọa độ tích vô hường và công thức tính độ dài vectơ thì chúng ta thu được bất đẳng thức bunhiacopski.

$(x_1x_2+y_1y_2)^2\leq (x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)$

2. Một số bài tâp về tích vô hướng hai vectơ

Bài 1.. Chứng minh rằng với mọi vec tơ $\vec a,\,\vec b$ ta luôn có

a. $\vec a.\vec b=\frac{1}{2}\Bigl((\vec a+\vec b)^2-\vec a^2-\vec b^2\Bigr)$

b. $\vec a.\vec b=\frac{1}{2}\Bigl(\vec a^2+\vec b^2-(\vec a-\vec b)^2\Bigr)$

c. $\vec a.\vec b=\frac{1}{4}\Bigl((\vec a+\vec b)^2-(\vec a-\vec b)^2\Bigr)$

Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\widehat{A}=120^0.$

a. Tính độ dài cạnh BC.

b. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

c. Gọi I, J là các điểm thỏa mãn điều kiện

$2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0$

$2\overrightarrow{JB}-2\overrightarrow{JC}=\vec0$

Tính độ dài vectơ IJ.

bài 3. Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 7, CA = 5. Hai điểm M, N lần lượt được xác định bởi

$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

a. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

b. Tính $\cos\,A$

c. Tính độ dài đoạn MN.

Bài 4. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A, B, đáy lớn BC. Biết AB = a, BC = b, AD = d, I là trung điểm của đoạn AB.

1. Chứng minh rằng $\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$

2. Tìm hệ thức giữa a, b, c, d để tam giác ICD vuông tại I.

Bài 5. Cho tam giác ABC đều cạnh a. M thuộc BC sao cho $BM=\frac{a}{3};$ N thuộc CA sao cho $CN=\frac{2a}{3};$ P thuộc AB sao cho AP = x (0 < x< a).