Cách Tính Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Hay, Chi Tiết - Toán Lớp 11

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ (hay, chi tiết)

• Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Cách tính tích vô hướng của hai vectơ với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tính tích vô hướng của hai vectơ.

• Cách giải bài tập tính tích vô hướng của hai vectơ
• Ví dụ minh họa bài tập tính tích vô hướng của hai vectơ
• Bài tập vận dụng tính tích vô hướng của hai vectơ
• Bài tập tự luyện tính tích vô hướng của hai vectơ

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Trong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→ . Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là một số, kí hiệu là u→. v→, được xác định bởi công thức:

Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→. v→ = 0→

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos(AB; DM) bằng :

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Giả sử cạnh của tứ diện là a.

Tam giác BCD đều ⇒ DM = (a√3)/2.

Tam giác ABC đều ⇒ AM = (a√3)/2.

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60° . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và CD→ ?

A. 60° B. 45° C . 120° D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SC→ và AB→ ?

A. 120° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Quảng cáo

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Xét:

Vậy SC và AB vuông góc với nhau

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và ∠SAC = ∠SAB . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Vậy SA ⊥ BC

Chọn D

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu

thì AB ⊥ CD , AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1:

⇔ AC ⊥ BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta được AD→ ⊥ BC→ và AB→.AC→ = AD→.AB→ ta được AB→ ⊥ CD→

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Sai ở bước 3

B. Đúng

C. Sai ở bước 2

D. Sai ở bước 1

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Chọn B

Bài giải đúng

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AC = (3/2)AD, ∠CAB = ∠DAB = 60°, CD = AD. Gọi α là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng?

A. cosα = (3/4) B. α = 60° C. α = 30° D. cosα = 1/4

Lời giải:

Chọn D

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD = 90°. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?

A. 120° B. 90° C. 60° D. 45°

Lời giải:

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD ⇒ IJ→ = (1/2)(IC→ + ID→)

Tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ CI ⊥ AB (1)

Tương tự, ta có tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB (2)

Từ ( 1) và (2) ta có

Chọn B

Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN ; SC) bằng

A. 45° B. 30° C. 90° D.60°

Lời giải:

Do ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ AC = a√2

Ta có : AC2 = 2a2= SA2 + SC2

⇒ tam giác SAC vuông taị S.

Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA ⇒ MN→ = (1/2).SA→

Khi đó

Chọn C

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính AB→.EG→

Lời giải:

Ta có: EGCA là hình bình hành nên EG→ = AC→ ⇒ AB→.EG→ = AB→.AC→

Mặt khác AC→ = AB→ + AD→ ( quy tắc hình hộp) .

Suy ra

Chọn B

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Giá trị B1M→.BD1→ là:

Lời giải:

Chọn A

Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A. 60° B. 30° C. 90° D. 45°

Lời giải:

+ Gọi M là trung điểm của CD

+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều ( vì ABCD là tứ diện đều) có AM ; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.

Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.

Chọn C

Câu 7: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ?

A. 0° B. 30° C. 90° D. 60°

Lời giải:

Câu 8: Cho hai vectơ a→ và b→ thỏa mãn: . Gọi α là góc giữa hai vectơ a→ và b→. Chọn khẳng định đúng?

Lời giải:

Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn:

A. k = 1 B. k = 2 C. k = 0 D. k = 4

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 10: Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chọn hệ thức đúng?

A. AB2 + AC2 + BC2 = 2.(GA2 + GB2 + GC2)

B. AB2 + AC2 + BC2 = GA2 + GB2 + GC2

C. AB2 + AC2 + BC2 = 4.(GA2 + GB2 + GC2)

D. AB2 + AC2 + BC2 = 3.(GA2 + GB2 + GC2)

Lời giải:

Cách 1

Ta có

Tương tự ta suy ra được GA2 + GB2 + GC2

Chọn đáp án D.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC đều cạnh a có đường cao AM. Tính các tính vô hướng AB→.AC→,AM→.BC→

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ u→=0;−5,v→=3;1. Tính tích vô hướng giữa hai vectơ trên.

Bài 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính tích vô hướng sau: AB→.AC→,AB→.BD→.

Bài 4. Cho 2 vectơ a→,b→ thỏa mãn a→=1,b→=2,a→−2b→=15. Tính a→,b→.

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD, M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) MA2 + MC2 = MB2 + MD2;

b) MA→.MC→=MB→.MD→.

Bài tập tự luyện Hai vecto nhân nhau

Bài 1. Cho hai vectơ a→,b→ khác vecto không thỏa mãn a→.b→=−a→.b→. Tính góc giữa hai vec tơ a→,b→.

Bài 2. Cho hai vectơ a→,b→. Biết Cho hai vectơ a→=2,b→=3 và a→,b→=30°. Tính a→+b→.

Bài 3. Cho tam giác ABC có ABC^=30°, AB = 5, BC = 8. Tính BA→⋅BC→.

Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Tính AB→⋅AC→.

Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC có  AB = AC = a. Tính AB→⋅AC→.

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• 30 đề DGNL Bách Khoa, DHQG Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7) (từ 119k )

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 11 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Friends Global
• Lớp 11 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 11 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 11 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 11 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 11 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 11 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - KNTT
• Giải sgk Tin học 11 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 11 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 11 - KNTT
• Lớp 11 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 11 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 11 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 11 - CTST
• Giải sgk Hóa học 11 - CTST
• Giải sgk Sinh học 11 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 11 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 11 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 11 - CTST
• Lớp 11 - Cánh diều
• Soạn văn 11 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 11 - Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 11 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 11 - Cánh diều