Cách Xác định Thiết Diện Hay Nhất - TopLoigiai

Thiết diện là gì? Xác định thiết diện như thế nào? Cần lưu ý những gì khi xác định thiết diện. Tất cả điều bạn thắc mắc về thiết diện sẽ được trình bày trong bài viết này:

Mục lục nội dung 1. Thiết diện của một hình là gì?2. Cách để xác định thiết diện làm như thế nào?3. Một số phương pháp tìm thiết diện nhanh nhất4. Bài tập có lời giải

1. Thiết diện của một hình là gì?

Định nghĩa: Thiết diện (hay mặt cắt) của hình H khi cắt bởi mặt phẳng (P) là phần chung nhau của mặt phẳng (P) và hình H. Tìm thiết diện tức là tìm hình dạng mặt cắt này, thường là một đa giác như tam giác, tứ giác… Như trong hình vẽ sau thì thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) chính là ngũ giác MKNPQ (được tô màu xanh lá cây).

2. Cách để xác định thiết diện làm như thế nào?

Để xác định thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng, ta có hai phương pháp tìm thiết diện chính là phương pháp giao tuyến gốc và phương pháp phép chiếu xuyên tâm.

Với các bài toán liên quan thiết diện, học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản như sau:

- Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T và mặt phẳng (P), phần mặt phẳng của (P) nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (P) cắt một số mặt của T được gọi là thiết diện (mặt cắt).

- Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng ấy hoặc trùng một trong hai đường thẳng đó.

- Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song một đường thẳng thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với đường thẳng đó.

Các cách xác định mặt phẳng: Biết ba điểm không thẳng hàng; hai đường thẳng cắt nhau; một điểm nằm ngoài một đường thẳng; hai đường thẳng song song.

Lưu ý.

- Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T. Dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và phần biện luận nếu có.

- Đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình T nên việc dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnh của T.

- Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt của T. Các phương pháp dựng thiết diện được đưa ra tùy thuộc dạng giả thiết của đầu bài.

Các bài toán liên quan thiết diện thường là: Tính diện tích thiết diện; tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất; thiết diện chia khối đa diện thành 2 phần có tỉ số cho trước.(hoặc tìm tỉ số giữa 2 phần).

3. Một số phương pháp tìm thiết diện nhanh nhất

Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt nhau hoặc một điểm nằm ngoài một đường thẳng…

Phương pháp giao tuyến gốc.

- Trước tiên, tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T (giao tuyến này thường được gọi là giao tuyến gốc).

- Trên mặt phẳng này của T, tìm thêm giao điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung.

- Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết diện.

4. Bài tập có lời giải

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M ở trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt hình chóp theo thiết diện là

A. tam giác      

B. Tứ giác      

C. hình bình hành      

D. ngũ giác

Lời giải

Chọn B

   + Trong mp(ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD

   + Trong mp(SBD) gọi H là giao điểm của SO và DM

   + Trong mp(SAC) gọi K là giao điểm của AH và SC

   + Ta tìm giao tuyến của mp (ADM) với các mặt của hình chóp:

(ADM) ∩ (SAD) = AD

(ADM) ∩ (SDC) = DK

(ADM) ∩ (SCB) = KM

(ADM) ∩ (SAB) = AM

⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(ADM) là tứ giác ADKM

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là hình gì?

A. Tam giác      

B. Tứ giác      

C. Hình thang      

D. Hình bình hành

Lời giải

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AB ∩ CD

Trong mặt phẳng (SCD) gọi Q = SC ∩ EP

Ta có E ∈ AB nên EP ⊂ (ABP) ⇒ Q ∈ (ABP), do đó Q = SC ∩ (ABP)

   + Giao tuyến của mp (PAB) với các mặt của hình chóp:

(PAB) ∩ (SAB) = AB

(PAB) ∩ (SBC) = BQ

(PAB) ∩ (SCD) = QP

(PAB) ∩ (SAD) = PA

Thiết diện là tứ giác ABQP

Chọn B

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; BC. Thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP) là hình gì?

A. Ngũ giác      

B. Tứ giác      

C. Hình thang        

D. Hình bình hành

Lời giải

   + Trong mặt phẳng (ABCD) gọi F và G lần lượt là các giao điểm của MN với AD và CD.

   + Trong mặt phẳng (SAD) gọi H = SA ∩ FP

   + Trong mặt phẳng (SCD) gọi K = SC ∩ PG

Ta có F ∈ MN ⇒ F ∈ (MNP)

⇒ FP ⊂ (MNP) ⇒ H ∈ (MNP)

 

 

 

Tương tự K = SC ∩ (MNP)

   + Giao tuyến của mp (MNP) với các mặt của hình chóp:

(MNP) ∩ (SAB) = HM

(MNP) ∩ (ABCD) = MN

(MNP) ∩ (SBC) = NK

(MNP) ∩ (SCD) = KP

(MNP) ∩ (SAD) = PH

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MNP) là ngũ giác HMNKP

Chọn A

Bài 4: Cho tứ diện ABCD; gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (HKM) là:

A. Tứ giác HKMN với N thuộc AD

B. Hình thang HKMN với N thuộc AD và HK // MN

C. Tam giác HKL với L là giao điểm của KM và BD

D. Tam giác HKT với T là giao điểm của HM và AD

Lời giải

   + Trong mặt phẳng (BCD), do KM không song song với CD nên gọi L là giao điểm của KM và BD.

   + Ta có: (HKM) ∩ (ABC) = HK

(HKM) ∩ (BCD) = KL

(HKM) ∩ (ABD) = HL

Vậy thiết diện là tam giác HKL.

Chọn C

Một số bài tập có hướng dẫn 

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Trên các đoạn CA, CB, BD cho lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với AB, NP không song song với CD. Gọi (a) là mp xác định bởi ba điểm M, N, P nói trên. Tìm thiết diện tạo bởi (a) và tứ diện ABCD.

Hướng dẫn

Trong mp(ABC), đường thẳng MN cắt AB tại I

Trong mp(ABD), đường thẳng IP cắt AD tại Q.

Ta có: MN =(a)Ç(ABC)

           NP =(a) ∩ (BCD)

           PQ =(a) ∩ (ABD)

           QM =(a) ∩ (ACD)

Ta được thiết diện cắt tứ diện ABCD bởi mp(a) là tứ giác.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, E là ba điểm lần lượt lấy trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mp (MNE).

Hướng dẫn

Gọi I = MN ∩ BD

Trong mp(SBD): IE cắt SB tại Q

MN cắt BC tại H và MN cắt AB tại K

Ta có: HQ = (SBC) ∩ (EMN)

Các đoạn MN, NP, PQ, QR, RM là các đoạn giao tuyến của mp(MNE) với đáy và các mặt bên của hình chóp.

Thiết diện là ngũ giác MNPQR.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của

AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).

HD: Thiết diện là 1 ngũ giác.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD.

a. Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).

b.  DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.

c.  Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).

HD:

a. Gọi O=AC ∩ BD thì I=SO ∩ BN, J=AI ∩ MN

b. J là điểm chung của (SAC) và (SDM)

c.  Nối CI cắt SA tại P. Thiết diện là tứ giác BCNP.