Cách Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số Và Các Dạng Bài Tập Về ... - CMath

Xét tính liên tục của hàm số là một dạng toán quan trọng trong chương trình toán Phổ thông. Bài viết dưới đây sẽ Cmath sẽ giúp các bạn học sinh biết cách xét tính liên tục của hàm số, đồng thời từ đó vận dụng giải các dạng bài tập về tính liên tục của hàm số như: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm (x-H0), trên một đoạn hay trên một khoảng, tìm các điểm có tính gián đoạn của hàm số, hay chứng minh cho phương trình f(x)=0 có nghiệm.

I. Lý thuyết về hàm số liên tục (tóm tắt) – xét tính liên tục của hàm số

Cách xét tính liên tục của hàm số

1. Lý thuyết về hàm số liên tục tại 1 điểm

– Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) đã xác định trên khoảng (a;b) và xo E (a;b). Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số liên tục tại xo nếu:

– Xét tính liên tục của hàm số: Hàm số f(xo) nếu không liên tục tại điểm xo thì được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

2. Hàm số fx liên tục trên một khoảng

– Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

– Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và:

Đồ thị mô tả xét tính liên tục của hàm số

3. Một số định lý cơ bản về xét tính liên tục của hàm số

• Định lý 1 xét tính liên tục của hàm số:

1. a) Hàm số đa thức trên liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
2. b) Hàm số phân thức hữu tỉ ( là thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác khác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

• Định lý 2:

– Giả sử hàm số f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm xo. Khi đó:

1. a) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) – g(x) và f(x).g(x) liên tục tại xO.
2. b) hàm số liên tục tại xọ nếu g(xo) ± 0.

• Định lý 3:

– Nếu mà hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì hàm số tồn tại ít nhất một điểm ce (a;b) sao cho f(c) = 0.

II. Các dạng bài tập kinh điển về xét tính liên tục của hàm số 

• Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm x.

Phương pháp làm dạng xét tính liên tục của hàm số tại điểm x:

• Bước 1: Tính f(xo)

Ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Hãy dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x³ + 2x – 1 tại điểm xo=3.

Lời giải cho ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

– Ta có: f(x) = x³ + 2x – 1

  = f(3) = 33 + 2.3 – 1 = 32

 = f(x) liên tục tại xo = 3.

Ví dụ 2 (Bài 2 SGK trang 140 Đại số 11):

1. a) Hãy xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x, = 2, biết:
2. b) Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại xo = 2.

Lời giải cho ví dụ 2 (Bài 2 SGK Đại số 11 trang 140):

Dạng 2: Bài tập xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn.

* Phương pháp:

– Sử dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó.

– Nếu hàm số đã cho xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó.

Ví dụ 1: Cho hàm số

Chứng minh rằng hàm số fx đã cho ở trên liên tục trên khoảng (-7;+).

Dạng 3: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

* Phương pháp:

1) Chứng minh cho phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

– Tìm hai số a, b sao cho biểu thức f(a).f(b) < 0

– Hàm số f(x) đã cho là hàm số liên tục trên đoạn [a,b]

– Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xo E (a;b).

2) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất số k nghiệm

– Tìm k cặp số a, b; sao cho các khoảng (a; b) là khoảng rời nhau và:

f(a;).f(b;) < 0, i =1, 2,… , k

– Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x; (a;; bi).

3) Khi phương trình f(x) = 0 đã cho có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho:

– f(a), f(b) không còn chứa tham số hoặc là còn chứa tham số nhưng dấu của chúng không đổi.

– Hoặc f(a), f(b) còn chứa tham số nhưng biểu thức tích f(a).f(b) luôn âm.

Kết luận

Hy vọng cách xét tính liên tục của hàm số trên đây sẽ giúp ích phần nào cho các bạn học sinh trong kỳ thi sắp tới. CMath chúc các bạn thi tốt!

>>> Có thể bạn quan tâm:

Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số đơn giản, dễ hiểu

Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2

Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa

THÔNG TIN LIÊN HỆ

• CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
• Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
• Hotline: 0973872184 – 0834570092
• Email: clbcmath@gmail.com
• FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
• Website: cmath.vn