Phương Pháp Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số Trên Tập Xác định

1. Phương pháp

+ Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

+ Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Ví dụ. Tìm \(m\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}}{\rm{ khi }}x \ne 1\\ 3m - 2{\rm{ khi }}x = 1 \end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

A. \(m=1\)                         

B. \(m=\frac{4}{3}\)    

C. \(m=2\)                    

D. \(m=0\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Với \(x\ne 1\) ta có \(f(x)=\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}\) nên hàm số liên tục trên khoảng \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Do đó hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \(x=1\)

Ta có: \(f(1)=3m-2\)

\(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}\)

    \(=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ 1+\frac{{{x}^{3}}+x-2}{(x-1)\left( {{x}^{2}}-x\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{{{(x-2)}^{2}}} \right)} \right]\)

    \(=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ 1+\frac{{{x}^{2}}+x+2}{{{x}^{2}}-x\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{{{(x-2)}^{2}}}} \right]=2\)

Nên hàm số liên tục tại \(x=1\Leftrightarrow 3m-2=2\Leftrightarrow m=\frac{4}{3}\)

Vậy \(m=\frac{4}{3}\) là những giá trị cần tìm.

2. Bài tập

Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

\(\left( I \right)\)\(f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

\(\left( II \right)\)\(f\left( x \right)=\frac{\sin x}{x}\) có giới hạn khi \(x\to 0.\)

\(\left( III \right)\)\(f\left( x \right)=\sqrt{9-{{x}^{2}}}\) liên tục trên đoạn \(\left[ -3;3 \right]\).

A. Chỉ \(\left( I \right)\)và \(\left( II \right)\).              

B. Chỉ \(\left( II \right)\)và \(\left( III \right)\).     

C. Chỉ \(\left( II \right)\).                  

D. Chỉ \(\left( III \right)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết.

Hàm số:\(f\left( x \right)=\sqrt{9-{{x}^{2}}}\) liên tục trên khoảng\(\left( -3;3 \right)\). Liên tục phải tại \(3\) và liên tục trái tại \(-3\).

Nên \(f\left( x \right)=\sqrt{9-{{x}^{2}}}\) liên tục trên đoạn \(\left[ -3;3 \right]\).

Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

\(\left( I \right)\). \(f\left( x \right)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}\) liên tục với mọi \(x\ne 1\).

\(\left( II \right)\). \(f\left( x \right)=\sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

\(\left( III \right)\). \(f\left( x \right)=\frac{\left| x \right|}{x}\) liên tục tại \(x=1\).

A. Chỉ \(\left( I \right)\) đúng.    

B. Chỉ \(\left( I \right)\) và \(\left( II \right)\).    

C. Chỉ \(\left( I \right)\)và \(\left( III \right)\). 

D. Chỉ \(\left( II \right)\) và \(\left( III \right)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(\left( II \right)\) đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

Ta có \(\left( III \right)\) đúng vì \(f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{x}{\rm{ , khi }}x \ge 0\\ - \frac{x}{x}{\rm{ , khi }}x < 0 \end{array} \right.\).

Khi đó \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=1\).

Vậy hàm số \(y=f\left( x \right)=\frac{\left| x \right|}{x}\)liên tục tại \(x=1\).

Câu 3. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}{\rm{ , }}x \ne \sqrt 3 \\ 2\sqrt 3 {\rm{ , }}x = \sqrt 3 \end{array} \right.\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

\(\left( I \right)\). \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x=\sqrt{3}\).

\(\left( II \right)\). \(f\left( x \right)\) gián đoạn tại \(x=\sqrt{3}\).

\(\left( III \right)\). \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

A. Chỉ \(\left( I \right)\) và \(\left( II \right)\).                  

B. Chỉ \(\left( II \right)\) và \(\left( III \right)\).

C. Chỉ \(\left( I \right)\) và \(\left( III \right)\).                

D. Cả \(\left( I \right)\),\(\left( II \right)\),\(\left( III \right)\) đều đúng.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Với \(x\ne \sqrt{3}\) ta có hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-3}{x-\sqrt{3}}\) liên tục trên khoảng \(\left( -\infty ;\sqrt{3} \right)\) và \(\left( \sqrt{3};+\infty  \right)\), \(\left( 1 \right)\).

Với \(x=\sqrt{3}\) ta có \(f\left( \sqrt{3} \right)=2\sqrt{3}\) và \(\underset{x\to \sqrt{3}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to \sqrt{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3}{x-\sqrt{3}}=2\sqrt{3}=f\left( \sqrt{3} \right)\)nên hàm số liên tục tại \(x=\sqrt{3}\), \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Câu 4. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

\(\left( I \right)\). \(f\left( x \right)={{x}^{5}}{{x}^{2}}+1\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

\(\left( II \right)\). \(f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\) liên tục trên khoảng \(\left( 1;1 \right)\).

\(\left( III \right)\). \(f\left( x \right)=\sqrt{x-2}\) liên tục trên đoạn \(\left[ 2;+\infty  \right)\).

A. Chỉ \(\left( I \right)\) đúng.    

B. Chỉ \(\left( I \right)\) và \(\left( II \right)\).    

C. Chỉ \(\left( II \right)\) và \(\left( III \right)\). 

D. Chỉ \(\left( I \right)\) và \(\left( III \right)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(\left( I \right)\) đúng vì \(f\left( x \right)={{x}^{5}}-{{x}^{2}}+1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(\left( III \right)\) đúng vì \(f\left( x \right)=\sqrt{x-2}\) liên tục trên \(\left( 2;+\infty  \right)\) và \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=0\) nên hàm số liên tục trên \(\left[ 2;+\infty  \right)\).

Câu 5. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}{\rm{ , }}0 < x < 9\\ m{\rm{ , }}x = 0\\ \frac{3}{x}{\rm{ , }}x \ge 9 \end{array} \right.\). Tìm \(m\) để \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;+\infty  \right)\) là.

A. \(\frac{1}{3}\).             

B. \(\frac{1}{2}\).             

C. \(\frac{1}{6}\).             

D. \(1\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

TXĐ: \(D=\left[ 0;+\infty  \right)\).

Với \(x=0\) ta có \(f\left( 0 \right)=m\).

Ta có \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}\)\(=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{3+\sqrt{9-x}}\)\(=\frac{1}{6}\).

Vậy để hàm số liên tục trên \(\left[ 0;+\infty  \right)\) khi \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=m\)\(\Leftrightarrow m=\frac{1}{6}\).

Câu 6. Cho hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}\). Khi đó hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?

A. \(\left( -3;2 \right)\).    

B. \(\left( -2;+\infty  \right)\).

C. \(\left( -\infty ;3 \right)\).  

D. \(\left( 2;3 \right)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Hàm số có nghĩa khi \({x^2} + 5x + 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 3\\ x \ne - 2 \end{array} \right.\).

Vậy theo định lí ta có hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+5x+6}\) liên tục trên khoảng \(\left( -\infty ;-3 \right)\);\(\left( -3;-2 \right)\) và \(\left( -2;+\infty  \right)\).

Câu 7. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2{x^3} - 16}}\,\,\,\,\,khi\,x < 2}\\ {\,\,2 - x\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2} \end{array}} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm

C. Hàm số không liên tục trên \(\left( 2:+\infty  \right)\)

D. Hàm số gián đoạn tại điểm \(x=2\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

TXĐ : \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

\(\bullet \) Với \(x2\Rightarrow f(x)=2-x\Rightarrow \) hàm số liên tục

\(\bullet \) Tại \(x=2\) ta có : \(f(2)=0\)

\(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2-x \right)=0\) ;

\(\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-2)(x-3)}{2(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)}=-\frac{1}{24}\ne \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\)

Hàm số không liên tục tại \(x=2\).

Câu 8. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt x - 1}}{\rm{ khi }}x > 1\\ \frac{{\sqrt[3]{{1 - x}} + 2}}{{x + 2}}{\rm{ khi }}x \le 1 \end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)

B. Hàm số không liên tục trên \(\mathbb{R}\)

C. Hàm số không liên tục trên \(\left( 1:+\infty  \right)\)

D. Hàm số gián đoạn tại các điểm \(x=1\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Hàm số xác định với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\)

\(\bullet \) Với \(x1\Rightarrow f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}\Rightarrow \) hàm số liên tục

\(\bullet \) Tại \(x=1\) ta có : \(f(1)=\frac{2}{3}\)

\(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+\sqrt[3]{x}+1)}=\frac{2}{3}\) ;

\(\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1-x}+2}{x+2}=\frac{2}{3}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(1)\)

Hàm số liên tục tại \(x=1\).

Vậy hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Câu 9. Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{\tan x}{x}\text{ , }x\ne 0\wedge x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \\ & 0\text{ , }x=0 \\ \end{align} \right.\). Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?

A. \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\).                             

B. \(\left( -\infty ;\frac{\pi }{4} \right)\). 

C. \(\left( -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right)\).   

D. \(\left( -\infty ;+\infty  \right)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\).

Với \(x=0\) ta có \(f\left( 0 \right)=0\).

\(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan x}{x}\)\(=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}.\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\cos x}\)\(=1\) hay \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne f\left( 0 \right)\).

Vậy hàm số gián đoạn tại \(x=0\).

Câu 10. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {a^2}{x^2}{\rm{ , }}x \le \sqrt 2 ,a \in R\\ \left( {2 - a} \right){x^2}{\rm{ , }}x > \sqrt 2 \end{array} \right.\). Giá trị của \(a\) để \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) là:

A. \(1\) và \(2\).                 

B. \(1\) và \(1\).                 

C. \(1\) và \(2\).                 

D. \(1\) và \(2\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\).

Với \(x>\sqrt{2}\) ta có hàm số \(f\left( x \right)={{a}^{2}}{{x}^{2}}\) liên tục trên khoảng \(\left( \sqrt{2};+\infty  \right)\).

Với \(x