Căn Bậc Ba

Căn bậc ba

I . Lí thuyết :

    1 . Định nghĩa : căn bậc ba của một số a là một số x sao cho \[{{x}^{3}}=a\]. Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba.

Nhận xét:

- Căn bậc ba của một số dương là một số dương;

- Căn bậc ba của một số âm là một số âm;

- Căn bậc ba của số 0 là số 0;

- Căn bậc ba của số a được kí hiệu là \[\sqrt[3]{a}\].

      Vậy \[\sqrt[3]{a}=x\Leftrightarrow {{x}^{3}}=a\].

    2 . Tính chất :

- Liên hệ giữa thứ tự và căn bậc ba: nếu a < b thì \[\sqrt[3]{a}\frac{1}{8}\]thì x là số nguyên dương.

               b, Giải phương trình \[\sqrt[3]{x+24}+\sqrt{12-x}=6\].

                                                       Giải

a, Xét \[{{x}^{3}}=2a+3x.\sqrt[3]{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a+1}{3} \right)}^{2}}.\left( \frac{8a-1}{3} \right)}\]

\[\Leftrightarrow {{x}^{3}}=2a+3x.\frac{\sqrt[3]{{{(1-2a)}^{3}}}}{3}\]

\[\Leftrightarrow {{x}^{3}}=2a+x.(1-2a)\Leftrightarrow (x-1)({{x}^{2}}+x+2a)=0\Leftrightarrow x=1\]

 

Vì \[{{x}^{2}}+x+2a={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+2a-\frac{1}{4}={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{8a-1}{4}>0\,\,\,\,\,\,\left( a>\frac{1}{8} \right)\]

Vậy x = 1 là số nguyên.

b, ĐKXĐ : \[x\le 12\]. Đặt \[a=\sqrt[3]{x+24};b=\sqrt[3]{12-x}\]

Ta có : a + b = 6 và \[{{a}^{3}}+{{b}^{2}}=36\]

Do đó \[{{a}^{3}}+{{\left( 6-a \right)}^{2}}=36\Leftrightarrow {{a}^{3}}+{{a}^{2}}-12a=0\]

      \[S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-24;-88;3\}\]

III . Bài tập tự luyện :

      Bài 1: Tính giá trị của biểu thức \[A={{\left( 3{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+2 \right)}^{1998}}\]

Với \[x=\frac{(\sqrt{5}+2).\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}}{\sqrt{5}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}}\]

      Bài 2: Cho \[x=\frac{2}{2\sqrt[3]{2}+2+\sqrt[3]{4}}\] và \[y=\frac{6}{3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{4}}\]. Tính giá trị của \[A=x{{y}^{3}}-{{x}^{3}}y\]

      Bài 3: Tính : \[S=\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}(2-\sqrt{3})+\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\].

      Bài 4: Tính:

\[a,\sqrt[3]{15\sqrt{3}-26};\]

\[b,\sqrt[3]{10-6\sqrt{3}}-\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}.\]

     Bài 5: So sánh :

a, \[2\sqrt[3]{3}\] và \[3\sqrt[3]{2}\];

b, \[4\sqrt[3]{1730}\,\] và 48.

     Bài 6: Tìm tập hoợp các giá trị của x thỏa mãn điều kiện sau và biểu diễn tập hợp đó trên trục số :

a, \[\sqrt[3]{x}\,\,\le -2\];

b, \[\sqrt[3]{x}\,\,>5\].

     Bài 7: Tính:

a, \[\sqrt[3]{36}.\sqrt[3]{162}\];

b, \[\frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{5}}-\sqrt[3]{128}.\sqrt[3]{4}\].

Bài viết gợi ý:

1. Liên hệ giữa phép chia và khai phương

2. Rút gọn biểu thức căn bậc hai

3. Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai

4. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

5. căn bậc hai số học

6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

7. Phương pháp chứng minh tiếp tuyến của đường tròn