Cấp Số Cộng

CẤP SỐ CỘNG

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

• Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
• Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
• Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau)

Nhận xét: Từ định nghĩa ta có:

1. Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d ta có công thức truy hồi

2. Cấp số cộng (un) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0

3. Cấp số cộng (un) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0

II. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát  un được xác định bởi công thức :  

III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Trong một cấp số cộng , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

\[{{u}_{k}}=\frac{{{u}_{k-1}}+{{u}_{k+1}}}{2}\] với \[k\ge 2\]

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng (un) .đặt \[{{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+.......+{{u}_{n}}\]. Khi đó:

\[{{S}_{n}}=\frac{n({{u}_{1}}+{{u}_{n}})}{2}\]  hoặc  \[{{S}_{n}}=n{{u}_{1}}+\frac{n(n-1)}{2}d\].

B. Bài tập minh họa

Giải:

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

• Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 2,4,8.

Ba số này không lập thành cấp số cộng vì $4-2=2\ne 4=8-4$

• Phương án B: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 1,3,7.

Ba số này không lập thành cấp số cộng vì $3-1\ne 7-3$

• Phương án C: Ta có ${{c}_{n}}=912n,\forall n\in {{N}^{*}}$

Do đó ${{c}_{n+1}}-{{c}_{n}}=-12,\forall n\in {{N}^{*}}$ nên $\left( {{c}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng

• Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 1,1009, $\frac{1009}{505}$ . Ba số này không lập thành cấp số cộng.

Chọn C

Giải

Chọn B

Giải:

Giả sử bốn nghiệm phân biệt của phương trình : ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$.

Đặt ${{x}^{2}}=y\ge 0$, ta được phương trình :

$\Leftrightarrow {{y}^{2}}-\left( 3m+5 \right)y+{{\left( m+1 \right)}^{2}}=0\quad \left( 1 \right)$

Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt : $0