CD CAP SO CONG CAP SO NHAN - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.docx) (22 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Toán học

CD CAP SO CONG CAP SO NHAN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (267.34 KB, 22 trang )

Cấp số cộng – Cấp số nhânCHUYÊN ĐỀCẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC................................................................................21.1. Tóm tắt kiến thức SGK1.2. Ví dụ1.3. Bài tập đề nghị§2.CẤP SỐ CỘNG..........................................................................................................................52.1. Tóm tắt kiến thức SGK2.2. Ví dụ2.3. Bài tập đề nghị§3.CẤP SỐ NHÂN.........................................................................................................................103.1. Tóm tắt kiến thức SGK3.2. Ví dụ3.3. Bài tập đề nghị§4.XÁC ĐỊNH SHTQ CỦA DÃY TRUY HỒI BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ CẤP SỐ NHÂN.........144.1. Dạng:u1  a, u n  u n 1.q  b, n �24.2. Dạng:u1  a, u n  u n 1.q  f  n  , n �24.3. Dạng:u1  a, u n  u n 1.q  b. n , n �24.4. Dạng:u1  a, u n  u n 1.q  b. n  f  n  , n �24.5. Dạng:u1  A, u 2  B, u n  a.u n 1  b.u n  2 , n �4.6. Dạng:u1  A, u 2  B, u n  a.u n 1  b.u n  2  f  n  , n �4.7. Dạng:u1  A, u 2  B, u n  a.u n 1  b.u n  2  c. n , n ��u1  A, u n  a.u n 1  b.v n 1�, n ��v1  B, v n  c.v n 1  d.u n 1�4.8. Dạng:a.u n 1  bu1  A, u n , n �2c.udn14.9. Dạng:-1- Cấp số cộng – Cấp số nhân§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC-2- Cấp số cộng – Cấp số nhânI. TÓM TẮT GIÁO KHOA:Để chứng minh một mệnh đề A(n) nào đó làđúng với mọi số tự nhiên n ≥ p bằng quy nạp, tatiến hành:1.Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.VD2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho2 n  2n  1 1Lời giải.Ta thấy- Với n = 0, 1, 2 thì (1) khơng đúng.- Với n = 3, 4, 5, 6, 7 thì (1) đúng.Ta sẽ chứng minh (1) đúng với mọi n ≥ 3.2.Giả thiết mệnh đề đúng với một số tựnhiên bất kì n = k ≥ p và chứng minh rằng nócũng đúng với n = k +1.+ Giả sử (1) đúng với n = k (với k ≥ 3), tức là:2k  k  1.3.Kết luận: mệnh đề đã cho luôn đúng vớimọi số tự nhiên n ≥ p.+ Cần chứng minh (1) đúng với n = k +1, tức là:2k 1  2(k  1)  1  2k  3.Thật vậy: theo bước 2 ta cóNếu A(p) đúng thì A(p + 1) đúng,Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có2 k 1  2.2k  2.(2k  1)  4k  2 với k ≥ 3.A(p + 1) đúng thì A(p + 2) đúng,Mặt khác (4k  2)  (2k  3)  2k  1  0k 1suy ra 2  4k  2  2k  3 với k ≥ 3.A(p + 2) đúng thì A(p + 3) đúng,tiếp tục quá trình này thì A(n) đúng  n ≥ p.Do đó ta có (2) đúng, tức là (1) cũng đúngvới n = k + 1.II. VÍ DỤ:VD1.Tính tổng sau1  3  5  ...  (2n  1), n �1.+ Vậy (1) đúng với mọi n ≥ 3.(tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên)VD3. Chứng minh rằng: tích của ba số tựnhiên liên tiếp bất kì ln chia hết cho 3.Lời giải.+ Gọi tổng này là S ( n) , ta có:S (1)  1S (2)  1  3  4S (3)  1  3  5  9S (4)  1  3  5  7  16S (5)  1  3  5  7  9  25Lời giải.Tích của ba số tự nhiên liên tiếp bất kì có dạng:(n  1).n.(n  1)  n 3  n, n ��.Như thế ta cần chứng minh mệnh đề sau là đúngn 3  n M3, n ��.  13+ Với n = 0 thì rõ ràng 0  0M3.3+ Giả sử k  k M3 với k ≥ 1.Từ đó dự đốnS (n)  1  3  5  ..  (2n  1)  n 2 ,n �1 (1) k  1   k  1+ Thế thì k 3  3k 2  2k3Bây giờ ta chứng minh công thức (1) đúng.+ Giả sử (1) đã đúng khi n=k (với k là một số nàođó ≥ 1). Tức là:S (k )  1  3  5  ..  (2k  1)  k 2 ,k �1+ Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1.Tức là cần chứng minh:S (k  1)  1  3  5  ..  (2k  1)  (2k  1)  ( k  1) 2  k 3  k   3k 2  3k. k  1   k  1 chia hết cho 3, tức (1)suy rađúng với n = k +1.3+ Vậy (1) đúng. Ta có điều phải chứng minh.-3- Cấp số cộng – Cấp số nhânThật vậy, dễ thấyS (k  1)  [1  3  5  ..  (2k  1)]  (2k  1) S ( k )  2k  1  k 2  2k  1   k  12Chú ý. (Định lý Fermat)Nếu p là một số nguyên tố thìn p  n Mp, n ��.Như vậy (1) cũng đúng với n = k + 1.+ Bây giờ công thức (1) mới được xem là đúng.III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:-4- Cấp số cộng – Cấp số nhân1. Sử dụng PP quy nạp, chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:n(n  1)A n  1  2  ...  n .2a.n(n  1)(2n  1)Bn  12  22  ...  n 2 .6b.3332c. C n  1  2  ...  n  (1  2  ...  n) .2. Dùng kết quả bài 1a), hãy tính các tổng sau:a. A 2n  1  2  3  ...  2n.b. A c  2  4  6  ...  2n.c. A l  1  3  5  ...  (2n  1).3. Dùng kết quả bài 1b), hãy tính các tổng sau:2222a. B2n  1  2  3  ...  (2n) .2222b. Bc  2  4  6  ...  (2n) .2222c. Bl  1  3  5  ...  (2n  1) .4. Dùng kết quả bài 1c), hãy tính các tổng sau:3333a. C 2n  1  2  3  ...  (2n) .3333b. Cc  2  4  6  ...  (2n) .3333c. Cl  1  3  5  ...  (2n  1) .5. Dùng kết quả bài 2, 3, 4 hãy tính các tổng sau:a. D n  1  2  3  4  ...  (2n  1)  2n.222222b. E n  1  2  3  4  ...  (2n  1)  (2n) .333333c. Fn  1  2  3  4  ...  (2n  1)  (2n) .6. Tính các tổng sau:n 1a. G n  1  2  3  4  ...  ( 1) n.2222n 1 2b. H n  1  2  3  4  ...  ( 1) n .3333n 1 3c. K n  1  2  3  4  ...  ( 1) n .Gợi ý. Xét hai trường hợp: n chẵn và n lẻ.7. Cho tổngSn 1111 ... ,  n ��*  .1.2 2.3 3.4n(n  1)Tính S1 ,S2 ,S3 ,S4 . Từ đó, hãy dự đốn và chứng minh cơng thức tính Sn bằng quy nạp.8. Chứng minh rằng với mọi n ��5a. n  n chia hết cho 5.b. Tổng các lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9.-5- Cấp số cộng – Cấp số nhân9. Cho a, b là hai số khác 0 tùy ý. Chứng minh rằng ta có các hằng đẳng thức sau:nn 1n 2*a. a  1  (a  1)(a  a  ....  a  1) , với mọi n �� .nnn 1n 2n 3 2n2n 1*b. a  b  (a  b)(a  a .b  a .b  ....  a.b  b ) , với mọi n �� .nnn 1n 2n 3 2n2n 1c. a  b  (a  b)(a  a .b  a .b  ....  a.b  b ) , với mọi số tự nhiên n lẻ.d. Dùng các hằng đẳng thức trên để viết khai triển của các biểu thức sau:a 5  1, a 5  b5 , a 5  b5 .10. Chứng minh công thức nhị thức Niutơn: a  bnn �C kn a n  k b k  C 0n a n  C1n a n 1b  C2n a n  2 b 2  ...  C nn b n ,  n ��*  .k 011. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho2n  n 2  4n  5.12. Chứng minh bất đẳng thức:na n  bn �a  b ��, a, b  0, n ��*.2�2 �Gợi ý. X ét hai trường hợp a = b và a  b.13. Cho n sốa1 ,a 2 ,...., a n  n �2 tùy ý. Chứng minh rằng:a1  a 2  ....  a n �a1  a 2  ....  a n .Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?14. Cho n số thựca1 , a 2 ,..., a n �0. Chứng minh rằng với mọi n ��* ta có: a1  a 2 .... a n  �1  a1  a 2  ...  a nDấu đẳng thức xảy ra khi nào ?15. Cho số thực a ≥ - 1. Chứng minh rằng với mọi n ��* ta có:1  a n �1  n.a(bất đẳng thức Becnuli)Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?16. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC vuông tại A, có số đo các cạnh là a, b, cnnnthì với mọi số tự nhiên n �2 , ta có bất đẳng thức : b  c �a .Gợi ý. Để ý rằng b  a, c  a.17. a) Chứng minh rằng: một đa giác lồi có n cạnh được chia bởi tất cả các đường chéo không cắtnhau sẽ tạo ra n – 2 tam giác.b) Gọi N là số đường chéo không cắt nhau dùng chia một n-giác thành các tam giác.Chứng minh rằng: N = n – 3.-6- Cấp số cộng – Cấp số nhân§2.CẤP SỐ CỘNGI. TĨM TẮT GIÁO KHOA:ĐịnhnghĩaCẤP SỐ CỘNGDãy (un) là cấp số cộng ↔ u n 1  u n  d, n �1trong đó d là một hằng số.Tổng nsố hạngđầuLưu ýu n  u1  (n 1).d, n �1uk u k 1  u k 1, k �22nSn  �u k  u1  u 2  ...  u nk 18,5, 2, 1,.....  d  3  0 1,1,1,1,.....  d  0 Hệ quả: Công sai d = un+1 – un.Số hạngtổngquátTínhchấtVí dụ1, 2,3, 4,.....  d  1  0 n(u1  u n ) n[2u1  (n  1)d]22Khi giải các bài toán về CSC, ta thường gặp 5u , d , un , n, S nđại lượng: 1. Nếu biết ít nhất 3trong 5 đại lượng đó thì sẽ tìm được 2 đại lượngcịn lại.II. VÍ DỤ:-7-CSC (u n ) :1,3, 5, 7,....� u n  1  (n  1).2  2n  1, n �15  10  15  ...  100 5(1  2  3  ...  24) 5.24.(1  24)  1500.2 Cấp số cộng – Cấp số nhânVD1. Chứng minh rằng dãy số (un) là mộtcấp số cộng khi và chỉ khi tồn tại các a và bkhông đổi sao cho u n  a.n  b, n �1.VD2. Xác định các số hạng của một cấp số�u2  u3  7��u  u 5  19cộng có 6 số hạng biết � 4Lời giải.Lời giải.Gọi u1 là số hạng đầu, gọi d là cơng sai của cấpsố cộng cần tìm.Ta có�) Giả sử dãy số (u ) là một cấp số cộng. Khinđó gọi u1, d lần lượt là số hạng đầu và cơng saicủa cấp số, ta có:��u 2  u3  7u1  d  u1  2d  7��u 4  u 5  19u1  3d  u1  4d  19��u n  u1  (n  1)d, n �1.� u n  d.n  (u1  d), n �1.trong đó d,u1  d�2u  3d  7�u  1�� 1� �1d32u1  7d  19��Vậy cấp số cộng cần tìm là: - 1, 2, 5, 8, 11, 14.là các hằng số.�) Giả sử dãy số (u ) có tính chấtnu n  a.n  b, n �1Cách khác. Mỗi số hạng của cấp số có dạngu n  a.n  b, a, b là hằng số.với a, b là các hằng số.Thế thì u n 1  a(n  1)  b  a.n  a  bSuy ra u n 1  u n  a, n �1, chứng tỏ dãy số (un)là một cấp số cộng có cơng sai bằng a.�u 2  u3  75a  2b  7a 3��9a  2b  19b  4u  u 5  19��Từ đó � 4Vậy u n  3n  4 từ đó tính được u1 , u 2 ,..., u 8 .-8- Cấp số cộng – Cấp số nhânVD3. Xác định cấp số cộng (un) biết rằngSn  u1  u 2  ...  u n  3n 2  4nTrường hợp 1:Cấp số cộng lập từ các nghiệm là dãy số tăng t 2 ,  t1 ,với mọi số tự nhiên n.Lời giải.t1 ,t2Dãy này là một cấp số cộngĐiều kiện cần: giả sử cấp số cộng u1 , u 2 , u 3 ,...thỏa mãn yêu cầu đề bài.Nói riêng, với n = 1, = 2 ta có:S1  u1  3.12  4.1  7.S2  u1  u 2  3.2  4.2  202� u 2  S2  u1  13Vậy CSC thỏa yêu cầu đề bài nếu có chỉ có thểlà: 7, 13, 19, .... với công sai d = 6.Điều kiện đủ: ngược lại, xét CSC: 7, 13, 19, ....Khi đó với mọi n ≥ 1 ta có:[2u1  (n  1)].nSn 2[14  6(n  1)].n 3n 2  4n.2Vậy cấp số cộng đang xét thỏa yêu cầu đề bài.Tóm lại có duy nhất một CSC: 7, 13, 19,...thỏayêu cầu đề bài.� t 2  t1  2 t1� t 2  3 t1 � t 2  9t1 .Kết hợp điều này với định lý Viet ta có:�t 2  9t1��t1  t 2  2(2m  1)��t1 t 2  3m�10t1  2(2m  1)��29t1  3m�2m  1��t1   5��2�2m  1 ��9. �� 3m (*)�� 5 �Giải (*) ta tìm được1m   �0, 083.m  3 hoặc12Giá trị m = -1/12 không thỏa mãn (*).Vậy trường hợp này chỉ có m = - 3 thỏa yêu cầu.VD4. Tìm tham số m để phương trìnhx 4  2(2m  1)x 2  3m  0.  1có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.Lời giải.2Đặt t  x �0 . Phương trình (1) trở thànht 2  2(2m  1)t  3m  0.  2 Trước hết ta thấy (1) có 4 nghiệm phân biệt� (2) có hai nghiệm dương t1, t2 phân biệtVới m = - 3 thì (2) có các nghiệm t1  1, t 2  9.Cịn (1) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng là:3;  1; 1; 3.Trường hợp 2:Cấp số cộng lập từ các nghiệm là dãy số giảmt2 ,t1 ,  t1 ,  t 2Dãy này là một cấp số cộng� t1  t 2  2 t1� t 2  3 t1 � t 2  9t1 .Đến đây chúng ta lại tìm được m = - 3 như ởtrường hợp 1.Tóm lại m = - 3 là giá trị duy nhất thỏa yêu cầu.-9- Cấp số cộng – Cấp số nhân2� '   2m  1  3m  0�� t1 .t 2  3m  0��t1  t 2  2(2m  1)7  33�-1,59 (*)8Khi đó giả sử t1  t 2 thế thì các nghiệm của (1)�msẽ làt1 ,  t 1 ,t2 ,  t2- 10 - Cấp số cộng – Cấp số nhânVD6. Tính tổng sau:A n  1  2  3  ...  n.VD5. Chứng minh rằng 2, 3, 5 khôngthể là ba số hạng của bất kì cấp số cộng nào.Lời giải.Giả sử ngược lại rằng là 2, 3, 5 ba số hạngcủa một cấp số cộng. Giả sử chúng lần lượt là sốhạng thứ m, n, p của cấp số. Thế thì:2  u1  (m  1).dLời giải.Ta có:An  1 2 ...  n.A n  n  (n  1)  ...  1.� 2A n  (n  1)  (n  1)  ...  (n  1) n(n  1).3  u1  (n  1).d5  u1  (p  1).dtrong đó d là cơng sai của cấp số cộng.3 2 nmpn .53Từ đó� An n(n  1).2VD7. Tính tổng sau:1111S ... .1.3 3.5 5.797.99Vế phải đằng thức này rõ ràng là một số hữu tỉ.3 2Lời giải.Ta sẽ chứng minh 5  3 khơng phải là số hữu Xét bài tốn tổng qt: Cho cấp số cộng (un) cósố hạng đầu u1, cơng sai d và các số hạng đềutỉ để dẫn tới điều vơ lý.khác 0. Tính tổng sau theo u1, un và d:Thật vậy1113 23 6Sn  .... , n �2r�ru1 .u 2 u 2 .u 3u n 1u n5 315  3� r. 15  6  3(r  1)r là số hữu tỉ nên 3(r + 1) = s là số hữu tỉ.� r. 15  6  s  1Ta cóTừ (1) suy rar. 15  6 r. 15  6  s r. 15  6 Ta giải BT tổng quát này như sau:dddd.Sn  ... u1 u 2 u 2 u 3u n 1u nMàdu u1 1 2 1   .u1 u 2u1 u 2u1 u 215r 2  6 s '  2ss’ cũng là số hữu tỉ vì r và s đều là số hữu tỉ.u  u2 1 1d 3 .u 2u3u 2u3u 2 u3� 15  6 Từ (1) và (2) ta có:2r 15  s  s ' � 15 u  u3 1 1d 4  .u 3u 4u 3u 4u3 u4s s'2r....................................dVậy 15 là số hữu tỉ: vô lý !u n 1u nTóm lại 2, 3, 5 khơng thể là ba số hạng củacùng một cấp số cộng được.u n  u n 111u n 1u nu n 1 u nCộng theo vế tất cả các đẳng thức trên rồi rútdSn gọn ta có- 11 -1 11 �1 1� Sn  � u1 u nd �u1 u n�.�� Cấp số cộng – Cấp số nhânSuy raS- 12 -11111�1 1 � ...  � �.1.3 3.5 5.797.99 2 �1 99 � Cấp số cộng – Cấp số nhânIII. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:1. Cho cấp số cộng: – 1, 18, 37, ….a) Tìm số hạng tổng quát của cấp số. Số 1899 là số hạng thứ mấy của CSC trên ?b) Biết Sn  1  18  ...  u n  2567 , tìm n.c) Tìm một số hạng của cấp số mà khi viết ta chỉ dùng toàn chữ số 5.ĐS: a)u101  1899c) n  17.2. Hãy xen vào giữa hai số 2, 37 sáu số, để dãy tám số ấy lập thành một cấp số cộng.ĐS: sáu số xen vào là: 7, 12, 17, 22, 27, 32.3. Tam giác ABC có số đo (độ) của các góc lập thành một CSC theo thứ tự A, B, C.Biết rằng góc C gấp 7 lần góc A. Tìm các góc của tam giác.A  150 , B  600 , C  1050.ĐS:4. Tìm  �(0; ) để dãy số: sin, sin2, sin3 lập thành một cấp số cộng.   / 2.ĐS:5. Tìm tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng:x 4  (3m  5)x 2  (m  1) 2  0.m  5, m  25 / 9.ĐS:2226. Chứng minh rằng: ba số a , b , c (với abc �0 ) theo thứ tự lập thành một CSC khi và chỉ khi111,,ba số b  c c  a a  b theo thứ tự lập thành một CSC.ABC, tan , tan222 theo thứ tự lập thành một CSC khi và chỉ khi ba số7. a) Chứng minh rằng:cos A, cos B, cos C theo thứ tự lập thành một CSC.ABCcot , cot ,cot222 theo thứ tự lập thành một CSC khi và chỉ khi ba sốb) Chứng minh rằng:sin A,sin B,sin C theo thứ tự lập thành một CSC.tan8. Cho a, b, c lần lượt là số hạng thứ m, n, p của một CSC. Chứng minh rằng:a  n  p   b  p  m   c  m  n   0.Gợi ý. biểu thị a, b, c qua số hạng đầu và công sai của cấp số.1| x m  n  x m  x n |, m, n �1mn9. (*) Chứng minh dãy (xn) thỏalà một cấp số cộng.10. Tính S  1  2  3  4  ....  98  99  100.11. Các số tự nhiên lẻ được sắp xếp như sau:- 13 - Cấp số cộng – Cấp số nhân 1 3,5  7,9,11 13,15,17,19 .............................Hãy tìm tổng các số ở hàng thứ n.12. Đặt Tn  1  2  3  ...  n vàP1991.Hãy tìmPn TT2TT. 3 . 4 ... n .T2  1 T3  1 T4  1 Tn  113. Tính các tổng sau:1111S .... .1.2 2.3 3.499.100a)1111P .... .1.4 4.7 7.1031.34b)SĐS:14. a) Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1, cơng sai d và các số hạng đều khác 0.111Sn  .... , n �2u.uu.uuu1223n1nTínhtheo u , d và n.9912; P .100371b) Giả sử có dãy số (un) với các số hạng đều khác 0, thỏa mãn điều kiện:111 .... , k �u1 .u 2 u 2 .u 3u k 1u kchứng tỏ dãy số (un) là một CSC.Gợi ý. d.Sn rồi suy ra15. TínhSSn n 1.u1 u n1111 ... .1.4.7 4.7.10 7.10.1325.28.3111 �11 � 11 �11 � � , � ,...��1.4.761.44.74.7.1064.77.10��Gợi ý.16. Cho cấp số cộng (un), đặt Sk  u1  u 2  ...  u k , k � .S  3  S2n  Sn  .a) Chứng minh rằng: 3nb) Tính Sm  n biết rằng Sm  Sn với m  n.c) Tính Sm  n biết rằng Sm  n, Sn  m với m  n.SmSS n  k   n  k  m   k  m  n   0.nkd) Chứng minh rằng: m- 14 - Cấp số cộng – Cấp số nhânSm m  m  1Snn  n  1um mun với m  n.ne) Chứng minh rằng:nếuu m 2m  1Sm m 2 2u2n1Sn với m  n.nnf) Chứng minh rằng:nếuSn17. Xác định tất cả các cấp số cộng (un) sao cho tỉ số S2n khơng phụ thuộc vào n.Gợi ý. đó là các cấp số cộng cód  0 or d  2.u1 .§3.CẤP SỐ NHÂNI. TĨM TẮT GIÁO KHOA:ĐịnhNghĩaCẤP SỐ NHÂNu  u n .q, n �1Dãy (u ) là cấp số nhân ↔ n 1ntrong đó q là hằng số.qHệ quả: Cơng bộiSố hạngtổngqtTínhchấtTổng nsố hạngđầuu n 1(khi u n �0).unCSN (u n ) : 3, 6,12, 24,....u n  u1.q n 1, n �1� u n  3.2n 1 , n �1u k  u k 1.u k 1 , k �2nSn  �u k  u1  u 2  ...  u n1  10  102  ...  10100k 1u1 (q  1)q 1n(q �1)Khi giải các bài toán về CSN, ta thường gặp 5 đại lượng:Lưu ýVí dụ2, 4,8,16,....(q  2  1)2, 2, 2, 2,.....(q  1)2, 2, 2, 2,...(q  1)2, 0, 0, 0,....(q  0)u1 , q, un , n, Sn. Nếu biết ít nhất 3 trong 5 đại lượng đó thìsẽ tìm được 2 đại lượng cịn lại.II. VÍ DỤ:- 15 - 1.10101  1 10101  1.10  19 Cấp số cộng – Cấp số nhânq8  1 225(q  1)2. 85q 2  1 (q 4  1)2VD1. Tìm một cấp số nhân có tổng 4 sốhạng đầu là 15 và tổng các bình phương củachúng bằng 85.Lời giải.Gọi q là công bội của cấp số nhân ấy, thế thì�u1  u 2  u 3  u 4  15��2u1  u 22  u 32  u 42  85��u1  1  q  q 2  q 3   15  1��u12  1  q 2  q 4  q 6   85  2 ��u1  15 / 4�� 2u1  85 / 4�+ Nếu q = 1 thì (1), (2)vơnghiệm. Do đó q  1.�u1 (q 4  1)� q  1  15  3�� 2 8�u1 (q  1)  85  4 2�� q 1+ Nếu q  1 thì (1), (2)15(q  1)u1  4q  1 thế vào (4) ta cóTừ (3) suy ra�225(q 4  1)(q  1) 85(q  1)(q 4  1)�q4 1 17(q 2  1)(q  1) 2� 14q 4  17q 3  17q 2  17q  14  0�2 1 � � 1 �� 14 �q  2 � 17 �q  � 17  0� q � � q�2� 1�� 1�� 14 �q  � 17 �q  � 45  0� q�� q�1 519� q   �q   q 2q71� q  2 �q  .2Với q = 2 thì u1  1 .Với q = ½ thì u1  8.Vậy CSN thỏa yêu cầu là:1, 2, 4, 8,.... hoặc 8, 4, 2, 1,.....- 16 - Cấp số cộng – Cấp số nhânVD2. Ba số dương mà tổng là 114 có thểcoi là ba số hạng liên tiếp của một cấp sốnhân, hoặc là số hạng thứ nhất, số hạng thứ tưvà thứ hai mươi lăm của một cấp số cộng.Tìm ba số ấy.Lời giải.Gọi d là cơng sai của CSC nói trong đề bài, khiVD4. Tính tổng sau:A  1  11  111  ....  11...1{n s�Lời giải.Ta có:9.A  9  99  999  99...9  10  1   100  1  ...   10n  1  10  102  ...  10n   nđó ba số cần tìm có dạng u1 , u1  3d, u 1  24d .(u1 là số hạng đầu của CSC nói trên).Theo bài ra ta có:u1  u1  3d  u1  24d  114 10.� u1  9d  38  1Mặt khác theo giả thiết ta có CSN sau:u1 , u1  3d, u1  24d.A10n  110 n 1  9n  10n 10  1910 n 1  9n  10.81VậySuy rau 3d  u1  u1  24d21� u12  9d2  6u1 d  u12  24u1 d� 9d2  18u1 d 2d  2u1Do d �0 nênVD5. Tính tổng sau:S  1  2.4  3.42  ...  10.49.Lời giải.Ta có:S  1  2.4  3.4 2  ...  10.49.Thay (2) vào (1) ta có 19u1  38 � u1  2 .Vậy ba số phải tìm là 2, 14, 98.4.S  4  2.4 2  3.43  ...  9.49  10.410suy ra4S  S  (1  4  42  ...  49 )  10.410410  13101010.44 1�S.39� S  10.410 VD3. Tính tổng sau:1 1 11A   2  3  ...  99 .3 3 33Lời giải.Ta có:1 1 11A   2  3  ...  99 .3 3 3311 111A  2  3  ...  99  10033 333suy ra11 111A  A   100 � A  .33 32 2.399Chú ý. bằng cách làm tương tự, hãy giải bàitoán tổng quát sau:Cho CSC (un) có cơng sai d;và CSN (vn) có cơng bội q  0, q  1.Tính tổngSn  u1 .v1  u 2 .v2  ...  u n .v n  n �  Bằng kỹ thuật tương tự trên, hãy tính: P   2  1 22  1 22  1 ... 22  1 .2399- 17 - Cấp số cộng – Cấp số nhân24Q  cos .cos .cos777 .sin .Q7Gợi ý. tính (2  1).P ,- 18 - Cấp số cộng – Cấp số nhânIII. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:1. Ba số khác nhau có tổng là 6 lập thành một CSC. Bình phương các số ấy ta có một CSN.Tìm các số ấy.ĐS: 2  2 2, 2, 2  2 2 hoặc 2  2 2, 2, 2  2 2.2. Ba số có tổng là 26 lập thành một CSN. Nếu theo thứ tự ta thêm 1, 6, 3 vào ba số ấy thì đượcmột CSC. Tìm CSN đã cho.ĐS: 2, 6, 18 hoặc 18, 6, 2.3. Cho một dãy gồm 4 số nguyên. Biết rằng ba số hạng đầu lập thành một CSC, ba số hạng cuốilập thành một CSN. Tổng của số hạng đầu và cuối là 37, còn tổng hai số hạng giữa là 36.Tìm bốn số ấy.ĐS: 12, 16, 20, 25.24. Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x  3x  a  0 ; x3, x4 là hai nghiệm của phương2trình x  12x  b  0 . Biết rằng x1, x2, x3, x4 theo thứ tự trên lập thành cấp số nhân. Tìm a, b.ĐS: a = 2, b = 32 hoặc a = - 18, b = - 288.5. Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c. Hãy tìm điều kiện của công bội q để dãy số a, b, c tạothành một cấp số nhân.5 15 1q.22vì a + b > c, b + c > a, … nênGợi ý.6. Cho CSN: a, b, c, d. Chứng minh rằng: b  c2  c  a2 d  b2  a  d .22 1 2, ,7. Cho cấp số cộng: b  a b b  c . Chứng minh dãy số a, b, c lập thành một cấp số nhân.a, b, c �  k, k ��22228. ChoGiả sử sin a, sin b, sin c lập thành cấp số cộng;sin b �0 và tan a tan b  1 . Chứng minh rằng tan a, tan b, tan c lập thành cấp số nhân.9. a) Chứng minh nếu ba số x, y, z (khác 0) theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân thì: x n  yn  z n   x n  yn  z n   x 2n  y2n  z 2n , n ��.Trong trường hợp nào thì phần đảo đúng ?b) Áp dụng: xác định ba số thực khác 0 biết rằng chúng tạo thành một cấp số nhân có tổng cácnghịch đảo của chúng bằng 26 và tổng bình phương các nghịch đảo của chúng bằng 364.1 1 11 1 1, ,, , .2 6 18 hoặc 18 6 2ĐS: b)10. Tính các tổng sau2na) A  10  10  ...  10 .B  9  99  ...  99...9.{n s�9b)- 19 - Cấp số cộng – Cấp số nhânc)C  5  5  ...  55...5.{n s�5Gợi ý. Tính theo thứ tự A, B, C.11. Tính tổngSn 1 3 52n  1 2  3  ...  n , n �1.2 2 2212n  3Sn  .SnSn  3 .22nTínhrồi suy raGợi ý.12. Cho CSC (un) có u1 = a, cơng sai d; cho CSN (vn) có v1 = b, công bội q và các số hạng đều khácu uuSn  1  2  ....  n , n �v1 v 2vn0. Tính tổngtheo a, b, d, q và n.1Sn  .SnqGợi ý. Tínhrồi suy ra Sn .13. Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1  0, công bội q �0, q ��1 . Gọi Sn là tổng của n số hạng đầuSn  S3n  S2n    S2n  Sn  .2tiên. Chứng minh:14. Cho CSC (an) và CSN (bn).a) Nếu a i  0, i và a1  b1 �a 2  b 2 thì hãy chứng minh rằng: a n  b n , n �3.�a k  b k , v�i 1 k  n��a  b k , v�i k  n.b) Nếu a i  0, i và a1  b1 �a n  b n , n  1 thì hãy chứng minh rằng: �k2n 2Gợi ý. a) Chứng tỏ d > 0 và q > 1 suy ra n  1  1  q  q  ...  q .- 20 - Cấp số cộng – Cấp số nhân§4.XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY TRUY HỒIBẰNG CÁCH ĐƯA VỀ CẤP SỐ NHÂN1. Tìm cơng thức của số hạng tổng qt của các dãy số (un) được xác định bởi:1.1. u1  1, u n  u n 1  2, n �2u n  2n  3, n �11.2. u1  3, u n  3u n 1 , n �2u n  3.2n 11.3. u1  2, u n  3u n 1  1, n �251u n   .3n 221.4. u1  2, u n  2u n 1  3n  1, n �2u n  5.2n  3n  51.5. u1  2, u n  u n 1  2n  1, n �2u n  n 2  2n  1n1.6. u1  1, u n  3u n 1  2 , n �2u n  5.3n 1  2 n 1nn1.7. u1  2, u n  5u n 1  2.3  6.7  12, n �2u n  157.5n 1  3n 1  3.7 n 1  3n1.8. u1  1, u n  2u n 1  3  n, n �2u n  11.2n 1  3n 1  n  21.9. u1  1, u 2  3, u n  5u n 1  6u n 2 , n �u n  5.3n  6.2n1.10. u1  1, u 2  2, u n  4u n 1  u n 2 , n �un 1.11. u1  1, u 2  3, u n  4u n 1  4u n  2  0, n �u n   n  2  .2n 121.12. u1  1, u 2  3, u n  5u n 1  6u n  2  2n  2n  1u n  15.3n  35.2n  n 2  8n  191.13. u1  1, u 2  4, u n  3u n 1  2u n 2  2n  1, n �u n  5.2 n 1  n 2  6n  9n1.14. u1  1, u 2  3, u n  4u n 1  3u n 2  5.2 , n �u n  4.3n 1  5.2 n  2  7n1.15. u1  1, u 2  3, u n  5u n 1  6u n 2  5.2 , n �u n  25.3n  2n 1  5n  13n1.16. u1  1, u 2  3, u n  4u n 1  4u n  2  3.2 , n �1.17.1.18.1�2 5�2�  2  5nu n   3n 2  2n  2  .2n 1u1  1, u n 2u n 1, n �3u n 1  4un u1  2, u n 9u n 1  24, n �5u n 1  13un 25.2n 1322.3n 1  2411.3n 1  102. Tìm cơng thức của số hạng tổng quát của các dãy số (un) và (vn) được xác định bởi:- 21 -n�� Cấp số cộng – Cấp số nhân�u1  2, u n  2u n 1  v n 1�, n �2��v1  1, v n  u n 1  2v n 1un - 22 -1  3n 11  3n 1, vn 22