Chéo Hóa Ma Trận - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (58 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Khoa học tự nhiên
>>
3. Toán học

Chéo hóa ma trận

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (459.48 KB, 58 trang )

Lời cảm ơnTrước hết, em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm Khoa toán và Tổ hình học cùngvới các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em hoàn thànhluận văn tốt nghiệp.Đặc biệt, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất củamình tới cô Đinh Thị Kim Thúy, người đã hướng dẫn tận tình và thườngxuyên động viên em trong quá trình hoàn thành đề tài.Em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bèđã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập vàthực hiện khóa luận này.Do thời gian có hạn, kiến thức của bản thân còn hạn chế nên trongnội dung khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhậnđược sự đóng góp ý kiến và tiếp tục xây dựng đề tài của quý thầy cô vàbạn đọc.Em xin chân thành cảm ơn!Hà Nội, tháng 5 năm 2013Sinh viênTrịnh Thị LệLời cam đoanEm xin cam đoan khóa luận được hoàn thành là kết quả nghiêncứu và tìm hiểu của bản thân, cùng với sự hướng dẫn tận tình của côĐinh Thị Kim Thúy.Khóa luận với đề tài: Chéo hóa ma trận này không trùng với kếtquả của bất kì công trình nghiên cứu nào khác. Nếu sai em xin hoàn toànchịu trách nhiệm.Hà Nội, tháng 5 năm 2013Sinh viênTrịnh Thị LệMục lụcA. mở đầu .............................................................................................. 11. Lý do chn ti ................................................................................... 12. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 13. Đối tượng nghiên cứu ............................................................................ 14. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 15. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................... 1B. nội dung ........................................................................................... 2Chương 1: kiến thức chuẩn bị.................................................... 21.1.Ma trận ................................................................................................ 21.2. Ma trận của đồng cấu tuyến tính. ....................................................... 51.3. Cơ sở trực chuẩn ................................................................................. 61.4. Vectơ riêng giá trị riêng .................................................................. 81.5. Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồngcấu f ....................................................................................................... 11Chương 2: chéo hóa ma trận ................................................... 232.1. Chéo hóa ma trận của tự đồng cấu ................................................... 232.2. Chéo hóa trực giao............................................................................ 292.3. Phương pháp chéo hóa ma trận ........................................................ 302.4. ứng dụng chéo hóa ma trận .............................................................. 462.7. Bài tập áp dụng ................................................................................. 47C. kết luận ......................................................................................... 54Tài liệu tham khảo ....................................................................... 55Chộo húa ma trnKhúa lun tt nghipA. mở đầu1. Lý do chn tiCó thể nói Đại số tuyến tính là môn học khá quan trọng của sinhviên ngành Toán. Nó được coi là môn học cơ sở cho tất cả các môn toánmà sinh viên được học. Trong đó ma trận và các bài toán liên quan đếnma trận là phần kiến thức cơ bản, gây được nhiều hứng thú trong nộidung môn học này. Có nhiều vấn đề khó liên quan đến ma trận, và chéohóa ma trận là một trong những vấn đề như thế. Do đó em muốn đi sâuvào tìm hiểu vấn đề này. Được sự hướng dẫn nhiệt tình của cô Đinh ThịKim Thúy cùng với lòng yêu thích môn học này em đã lựa chọn nghiêncứu đề tài Chéo hóa ma trận.2. Mục đích nghiên cứuTìm hiểu và khắc sâu những kiến thức về ma trận chéo và phươngpháp chéo hóa ma trận.3. Đối tượng nghiên cứuCác vấn đề về chéo hóa ma trận.4. Nhiệm vụ nghiên cứuNghiên cứu một số kiến thức liên quan đến vấn đề chéo hóa matrận và hai bài toán chéo hóa ma trận.5. Phương pháp nghiên cứuTìm và tham khảo tài liệu, phân tích và tổng hợp bài tập minh họa,tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.Trnh Th L1K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghipB. nội dungChương 1: kiến thức chuẩn bị1.1.Ma trận1.1.1. Định nghĩaCho là một trường tùy ý. Một bảng gồm mn phần tử aij có dạng: a11 a12a 21 a22 ... ... am1 am 2... a1n ... a2 n ... ... ... amn được gọi là một ma trận kiểu (m,n). Mỗi aij được gọi là thành phần củama trận.Vectơ dòng (hay hàng) ai1ai 2 ... ain được gọi là dòng (hayhàng) thứ i của ma trận. a1 j a 2j Vectơ cột ... được gọi là cột thứ j của ma trận. amj Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A,B,Ma trận còn có thể kíhiệu đơn giản bởi: A=( aij )mn. Ta cũng nói A là ma trận có m dòng, n cột.Khi m = n thì ma trận ( aij )mn được gọi là ma trận vuông cấp n. Kíhiệu A=( aij )nn hoặc A=( aij )n .Tập hợp tất cả các ma trận kiểu (m,n) với các phần tử thuộc trường được kí hiệu là Mat(mn,).1.1.2. Các kiểu ma trậna. Ma trận đơn vịTrnh Th L2K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghipPhần tử đơn vị của vành Mat(nn,) là ma trận: 1 0 ... 0 0 1 ... 0 En = ... ... ... ... 0 0 ... 1 Ta gọi En là ma trận đơn vị cấp n.b. Ma trận chuyển vịCho a11 a12a 21 a22A=( aij )mn = ...... am1 am 2... a1n ... a2 n ... ... ... amn Ma trận a11a 12( aij )nm = ... a1na21 ... am1 a22 ... am 2 ... ... ... a2 n ... amn được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A , kí hiệu là At .c. Ma trận nghịch đảoTa gọi ma trận vuông AMat(nn,) là một ma trận khả nghịch(hay ma trận không suy biến) nếu có ma trận vuông BMat(nn,) saocho A.B B. A En . Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và kíhiệu là B A1 .d. Ma trận chéoTrnh Th L3K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghipĐường chéo chứa các phần tử a11 , a22 ,..., ann của ma trận vuôngA=( aij )n được gọi là đường chéo chính của ma trận A, đường chéo còn lạiđược gọi là đường chéo phụ.Ma trận vuông A=( aij )n có tất cả các phần tử nằm ngoài đườngchéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận chéo.e. Ma trận đối xứng.Ma trận A được gọi là đối xứng nếu At Ag. Ma trận trực giaoMa trận thực A vuông cấp n được gọi là ma trận trực giao nếuAt . A En , trong đó At là ma trận chuyển vị của A , hay nói cách khácnếu hệ vectơ cột của A là một hệ trực chuẩn trong n với tích vô hướngchính tắc thì A là ma trận trực giao.Ví dụ: Xét ma trận cosA= sin sin ,cos cos sin Khi đó: At = sin cos cosAt.A = sin sin cos.cos sin sin 1=cos 00= E21 Vậy A là ma trận trực giao.Nhận xét: Nếu Alà ma trận trực giao thì A khả nghịch vàAt A1 .h. Ma trận đồng dạngTrnh Th L4K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghipCho hai ma trận A v A ' cùng thuộc Mat(nn,). Hai ma trận Av A ' là đồng dạng nếu có một ma trận khả nghịch CMat(nn,) saocho: A ' C 1. A.C .1.2. Ma trận của đồng cấu tuyến tínhĐịnh nghĩaGiả sử V, W là những - không gian vectơ hữu hạn chiều, e e1 , e2 ,..., en là một cơ sở của V, 1 , 2 ,..., m là một cơ sởcủa W. Mỗi đồng cấu tuyến tính f :V W được xác định duy nhất bởihệ vectơ f e1 , f e2 ,..., f en . Các vectơ f e j lại được biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở 1 , 2 ,..., m của W:mf e j aij i, j=1,2,,ni 1Trong đó các aij đều thuộc trường . Nói tóm lại, đồng cấu tuyếntính f được xác định một cách duy nhất bởi hệ thống duy nhất bởi hệthống các vô hướng aij 1 i m,1 j n . Ta sắp xếp chúng thành matrận: a11a 21A= ... am1a12a22...am 2... a1n ... a2 n ... ... ... amn Và gọi là ma trận của đồng cấu tuyến tính f :V W đối với cặp cơsở e và .Khi f :V V là một tự đồng cấu tuyến tính, thì ma trận của ftrong cơ sở e được xác định như sau: Cột thứ j của ma trận là tọa độTrnh Th L5K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghipcủa vectơ f e j , j = 1,2,,n trong chính cơ sở e đó. Ma trận của phépbiến đổi tuyến tính là ma trận vuông.1.3. Cơ sở trực chuẩn1.3.1. Cơ sở trực chuẩnĐịnh nghĩa a) Cho một cơ sở gồm n vectơ e1 , e2 ,..., en của không gian Euclidn chiều được gọi là một cơ sở trực giao nếu các vectơ của cơ sở đôi một vuông góc với nhau, tức là ei , e j 0 nếu ij. b) Cho một cơ sở gồm n vectơ e1 , e2 ,..., en của không gian Euclidn chiều gọi là một cơ sở trực chuẩn nếu nó là một cơ sở trực giao vàchuẩn của mọi vectơ trong cơ sở đều bằng 1. 0ei ,ej 1Nếu ijNếu i=j1.3.2. Phương pháp trực giao trực chuẩn hóa SchmidtPhương pháp trực giao hóa Schmidt là phương pháp chuyển một hện vectơ độc lập tuyến tính của không gian vectơ Euclid sang hệ n vectơkhông chứa vectơ 0 , trực giao với nhau từng đôi một và mỗi vectơ nàybiểu diễn tuyến tính qua hệ đã cho. Giả sử có một cơ sở bất kì e1 , e2 ,..., en của không gian Euclid n chiều E. Ta xây dựng hệ n vectơ trực giao 1 , 2 ,..., n như sau: Đặt : 1 e1 và k 1 b11 ... bk k ek 1 , k 1, n 1 ek 1 , itrong đó: bi , i 1, ki ,i Thì nhận được cơ sở trực giao 1 , 2 ,..., n của hệ e1 , e2 ,..., en trong E bằng phương pháp trực giao hóa Schmidt.Trnh Th L6K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghip Chuẩn hóa bằng cách đặt i i ta nhận được hệ 1, 2 ,..., ni là một cơ sở trực chuẩn của hệ e1 , e2 ,..., en trong E bằng phương pháptrực chuẩn hóa Schmidt.Ví dụ: Hãy trực giao, trực chuẩn hóa hệ ba vectơ sau trong khônggian vectơ Euclid 4: 1 1,1,0,0 2 1,0,1,0 3 1,0,0,1Lời giải: Dễ dàng chứng tỏ hệ vectơ 1 , 2 , 3 là hệ vectơ độc lập tuyếntính.Xét hệ: e1 1 1,1,0,0 e1 , 21.1 1.0 0.1 0.01 e2 b1e1 2 , với b1 e1 , e111 0 0211 1 e2 .1,1,0,0 1,0,1,0 , ,1,0 22 2 e3 b1e1 b2e2 3 ,với: e1 , 31.(1) 1.0 0.0 0.1 1b1 e1 , e111 0 021 1 .(1) .0 1.0 0.1e ,12 2b2 2 3 1 1e2 , e23 1 04 4 11 1 1 1 1 1 e3 .(1,1,0,0) .( , ,1,0) 1,0,0,1 , , ,123 2 2 3 3 3 Ta nhận được cơ sở trực giao e1 , e2 , e3 của hệ 1 , 2 , 3 trong 4. Chuẩn hóa hệ e1 , e2 , e3 như sau:Trnh Th L7K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghipe2 11 2 e1 1 1 ,,,0 ;1 ,,0,0 ; 2 e2 6e1 2 26 6 e3 1 113 3 ,,,e3 2 3 2 3 2 3 2 3 Vậy hệ vectơ trực chuẩn từ ba vectơ 1,2,3 là: 1 , 2 , 31.4. Vectơ riêng giá trị riêng1.4.1. Không gian con bất biếnnh nghaCho một không gian vectơ V trên trường và f là một tự đồngcấu của V. Không gian vectơ con U của V được gọi là một không giancon bất biến đối với f (hay một không gian con f - bất biến) nếuf (U) U.Ví dụ: Đối với một tự đồng cấu f bất kì, các không gian con sauđây đều là không gian con f - bất biến: { 0 }; V; Ker f ; Im f .1.4.2. Vectơ riêng - giá trị riêngĐịnh nghĩaGiả sử f : VV là một tự đồng cấu của - không gian vectơ V. Nếu có vectơ 0 của V và vô hướng sao cho f ( )=. thì được gọi là một giá trị riêng còn được gọi là một vectơ riêng của fứng với giá trị riêng .Nhận xét:a. Vectơ riêng phải là vectơ khác 0 .b. Nếu là vectơ riêng của tự đồng cấu f thì giá trị riêng tươngứng với nó là duy nhất.Trnh Th L8K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghip c. Nếu , là các vectơ riêng ứng với giá trị riêng thì u. + (u) cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng .1.4.3. Đa thức đặc trưngĐịnh nghĩa 1Giả sử là một giá trị riêng của tự đồng cấu f :VV. Khi đó,không gian vectơ Ker( f -.idV) gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng củaf ứng với giá trị riêng được gọi là không gian con riêng ứng với giá trịriêng và được kí hiệu là P.Định nghĩa 2Đa thức bậc n với một ẩn X với hệ số trong :Pf (X) = det( f - X.idv)được gọi là đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f .Mệnh đề 1Vô hướng là một giá trị riêng của tự đồng cấu f :VV nếuvà chỉ nếu là một nghiệm của đa thức đặc trưng det( f -.idv) của f .Định nghĩa 3Cho ma trận AMat(nn, ) của tự đồng cấu f . a thức bậc ntheo xác định bởi:a11 det(A - .En) =a21...an1a12...a1na22 ... a2n... ... ...an2 ... ann được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.Định lý 1Trnh Th L9K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghipSố thực là giá trị riêng của A Mat(nn, ) khi và chỉ khi lànghiệm của đa thức đặc trưng det(A-.En) .1.4.4. Định lý Cayley - HamiltonĐịnh lý: Mỗi ma trận vuông A đều là một nghiệm của đa thức đặctrưng của chính nó.Chứng minh:Gọi B(X) là ma trận phụ hợp của ma trận (A - X.En). Vì phần bùđại số của mọi phần tử trong (A - X.En) đều là một đa thức của X có bậckhông vượt quá (n-1), nên ta có thể viết:B(X) = Bn-1.Xn-1 + .. + B1.X+ B0trong đó B0,,Bn-1 là những ma trận vuông cấp n với các phần tử trong (không phụ thuộc X)Mà ta có: (A - X.En).B(X) = det(A - X.En).En = PA(X).EnThay X = A vào đẳng thức ta được:PA(A).En = (A - A.En).B(A) = 0.B(A) = 0Điều đó có nghĩa là: PA(A) = 01.4.5. Đa thức tối tiểua. Đa thức tối tiểu của ma trận A được kí hiệu A X là đa thứcvới hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong những đa thức khác 0nhận A làm nghiệm.b. Đa thức tối tiểu của tự đồng cấu f được kí hiệu f X là đathức với hệ số bậc cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong những đathức khác 0 nhận f làm nghiệm.1.5. Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồngcấu f1.5.1. Phương pháp 1Trnh Th L10K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghip Bước 1: Lấy một cơ sở {e} = ( e1 , e2 ,..., en ) trong V và tìm ma trậnA của f trong cơ sở đó.Bc 2: Lập đa thức đặc trưng det(A-.En) của ma trận A.Bc 3: Giải phương trình đa thức bậc n đối với ẩn : det(A-.En) = 0Bc 4: Với mỗi nghiệm của phương trình. Giải hệ phương trìnhtuyến tính thuần nhất suy biến: a11 .x1 a12x2 ... a1nxn 0 a22 .x2 ... a21xn 0 a21x1............ ... an1x1an2x2 ... ann xn 0Với mỗi nghiệm không tầm thường (c1,c2,..,cn) của hệ này ta có: =c1. e1 +..+cn. en là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng .Ví dụ: Cho tự đồng cấu f : VV có ma trận trong cơ sở { e1 , e2 , e3 } của V là: 1 2 2 A= 1 0 3 1 3 0 Hãy tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận A?Lời giải:Ta có phương trình đặc trưng của ma trận A là:1 2 2det(A-.E3) = 1 3 01Ta được phương trình:Trnh Th L3 3 2 9 9 011K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghip 3 . 1 . 3 0Phương trình này có các nghiệm: 1 3; 2 1; 3 3 . Vậy matrận A có các giá trị riêng là 1 3; 2 1; 3 3 .Với 1 = -3 ta giải hệ phương trình:4 x1 2 x2 x1 3x2 x 3x2 1 2 x3 0 3x3 3x3 0 06xx217 x 5 x2 37Hệ phương trình có nghiệm không tầm thường là: x1, x2 , x3 6a, 7a,5a , a0, a.Vậy vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng 1 = -3 có dạng: 6a, 7a,5a , a0, a.Chọn a=1 ta được vectơ riêng 1 6, 7,5 ứng với giá trị riêng 1 = -3.Với 2 = 1 ta giải hệ phương trình:2 x2 x1 x2 x 3x2 1 2 x3 0 3x3 x3 0 x2 x3 x1 2 x3 0Hệ phương trình có nghiệm không tầm thường là: x1, x2 , x3 2a, a, a , a0, a.Vậy vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng 2 = 1 có dạng 2a, a, a ,a0, a.Chọn a=1 ta được vectơ riêng 2 2,1,1 ứng với giá trị riêng 2 = 1.Với 3 = 3 ta giải hệ phương trình:Trnh Th L12K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghip2 x1 2 x2 3 x2 x1 x 3 x2 1 2 x3 3 x3 3 x3 0 x x3 0 2 x1 0 0Hệ phương trình có nghiệm không tầm thường là: x1, x2 , x3 0, a, a , a0, a.Vậy vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng 3 = 3 có dạng 0, a, a , a0,a.Chọn a=1 ta được vectơ riêng 3 0,1,1 ứng với giá trị riêng 3 = 3.Vậy ma trận A có các vectơ riêng 1 6, 7,5 , 2 2,1,1 , 3 0,1,1 tương ứng với các giá trị riêng 1 3; 2 1; 3 3 .1.5.2. Phương pháp 2 (Phương pháp Krylow)Trước hết xác định các giá trị riêng của ma trận A = (aij)nn chotrc. Xét En là ma trận đơn vị cấp n. Khi đó phương trình ẩn sau đâylà phương trình đặc trưng của ma trận A:det(A - .En) = 0Nếu khai triển det(A - .En) theo lũy thừa thì ta có det(A - .En)là đa thức đặc trưng của ma trận A:nn 1D() = (-1)n.[ P1. ... Pn 1. Pn ]nNếu (A) = a0 . A a1. An 1 ... an .En = 0 ta nói rằng đa thức() = a0 . n a1. n1 ... an1. an nhận ma trn A làm nghiệm.Theo định lý Cayley - Hamilton thì đa thức đặc trưng D() của ma trận Anhận A làm nghiệm, đồng thời nó còn nhận ma trận chuyển vị của là A lAt làm nghiệm, nghĩa là:nn 1D(A) = (-1)n.[ A P1. A ... Pn 1. A Pn .En ] = 0Trnh Th L13K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghipt nt n 1D(At) = (-1)n.[ ( A ) P1.( A ) ... Pn1.( At ) Pn .En ] = 0Trong tập hợp các đa thức nhận A làm nghiệm sẽ tồn tại duy nhấtđa thức () có hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong các đathức khác không nhận A làm nghiệm là đa thức tối tiểu của ma trận A.(0)(0)(0)Với vectơ bất kì C (C1 ,..., Cn ) xác định hệ vectơ bất kìC in. bi C ACii 0i 1, i= 0,1,2,nTừ định lý Cayley - Hamilton ta có D(A).C(0)=0, nghĩa là :An .C P1.An1.C ... Pn .En .C = 000Ai .C C , i= 1,2,nn 1i0Chú ý rằng :C0 P1.C n 2 ... Pn .C C 0n(1)Hệ phương trình (1) là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất ẩnP1,,Pn.0 Nếu hệ C ,..., C n1độc lập tuyến tính thì hệ sẽ có duy nhấtnghiệm P1,,Pn 0 Nếu hệ C ,..., C n1là phụ thuộc tuyến tính và cóC ,..., C , (1mn-1) là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ này,0mkhi đó ta không xác định được các hệ số của đa thức D() mà chỉ xácđịnh hệ số của đa thức tối tiểu của ma trận A là :mm 1() = 1. ... m 1. mTừ đó ta có:Vậy:Am.C 1.Am1.C ... n .AC. m.C 000001.C m1 ... m1.C 1 m .C 0 C mTrnh Th L14K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghipĐây chính là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất ẩn là 1,,mcó định thức của ma trận hệ số khác không nên có nghiệm duy nhất làcác hệ số của đa thức () đồng thời cũng là các giá trị riêng của A.Tiếp theo tìm các vectơ riêng của ma trận A. 0Giả sử hệ C ,..., C n 1là hệ vectơ độc lập tuyến tính (trongtrường hợp ngược lại, chúng ta lấy C0,..., C mlà hệ vectơ độc lậptuyến tính tối đại của hệ trên). Khi đó vectơ riêng x i của ma trận A ứngvới giá trị riêng i sẽ tìm được ở dạng sau đây:x i = d1C n1 d 2 .C n 2 ... d n .C 0 Chú ý rằng : A.xi i .xi , C(i) = A.C(i-1) , i = 1,2,,n.Từ đó rút ra:d1.C d 2 .C nn 1 ... d n .C1 i . d1.C Mặt khác: D(A).C(0)=0 (-1)n. C nn 1 P1.C d 2 .C n 1n20 ... d n .C 0 ... Pn .C = 0Kết hợp hai hệ thức trên ta có:nn 10n 11d1. C P1.C ... Pn .C d 2 .C ... d n .C = i. d1C n1 d 2 .C n 2 0 ... dn .C Từ đó ta có: d1.P1 i .d1 d2 .C n1 d1.P2 i .d2 d3 .C n2 ...10 d1.Pn1 i .dn1 dn .C d1.Pn i .dn .C 0Vì hệ C ,..., C 0Trnh Th Ln 1là hệ độc lập tuyến tính nên ta có:15K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghip d1.P1 i .d1 d 2 0 d .P .d d 0i 23 1 2......d .P .d d 0n 1 n1 i n1 d1.Pn i .d n 0(2)Chọn d1 bất kì khác 0, từ đó ta tính được các di ,i= 2, n , và hiểnnhiên tìm được các vectơ x i .Tóm lại phương pháp Krylow gồm các bước sau:Bước 1: Lấy vectơ C (0) (C1(0) ,..., Cn (0) ) bất kì, xác định hệ vectơ C ini 0bởi công thức Ci A.C i 1, i = 0, n , trong đó A là ma trậnbiểu thị một cơ sở nào đó của f .Bước 2: Xác định được Pi theo hệ phương trình:Cn 1 P1.C n2 ... Pn .C C 0nBước 3: Từ đó lập được đa thức đặc trưng của A là:D (1) n . n P1. n1 .... Pn1. Pn Từ đó ta tìm được các giá trị riêng.Bước 4: Xác định các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêngdựa vào hệ (2).Chú ý: Phương pháp Krylow chỉ được áp dụng để tính giá trịriêng - vectơ riêng của ma trận đối xứng.Ví dụ: Hãy xác định giá trị riêng của ma trận A và vectơ riêng ứngvới giá trị riêng theo phương pháp Krylow.Trnh Th L16K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghip1A= 1012101 1 Lời giải: Lấy C(0)=(1,0,0)1 C(1) = A.C(0) = 1012101 .(1,0,0)1 C(1) = (1,1,0)Tương tự ta có: C(2) = A.C(1)=(2,3,1) ; C(3) =A.C(2) = (5,9,4) ;Vậy:P1.C P2 .C P3.C C 2103 P1.( 2,3,1) + P2.( 1,1,0) + P3.(1,0,0) = (5,9,4)(2.P1 + P2 + P3 , 3P1 + P2 , P1) = (5,9,4)2.P1 P2 3.P1 P2 P 1 P3 5 9 4 P1 P2P 34 3 0Từ đó ta có phương trình đặc trưng của A là: 3 4 2 3 0.(2 - 4 +3) = 01 0 2 1 3 3Vậy ma trận A có các giá trị riêng là : 1=0, 2=1, 3=3Trnh Th L17K35C SP ToỏnChéo hóa ma trậnKhóa luận tốt nghiệpVíi 1= 0, xÐt hÖ: Pd1 1 P2 d1P d 3 11d1  d 2  0  4d1  0.d1  d 2  0 1d 2  d3  0   3d1  0.d 2  d 3  0 1d3 0  0d1  0.d 3 0Chän d1=1 ta cã: d2 = - 4 , d3 = 3VËy vect¬ riªng 1 cã d¹ng: 1 = 1.C(2) + (-4).C(1) + 3.C(0) 1 = (2,3,1) - 4.(1,1,0) + 3.(1,0,0) 1 = (1,-1,1)Víi 2 = 1, xÐt hÖ: Pd1 1 P2 d1P d 3 1 2 d1 2 d 2 2 d 3 d2 d3 0  4d1 0   3d1 0  0d1 1.d1 d2 0 1.d 2 1.d3 d3 0 0Chän d1 = 1 ta cã : d2 = -3 , d3 = 0VËy vect¬ riªng  2 cã d¹ng:  2 = 1.C(2) + (-3).C(1) + 0.C(0)  2 = (2.3,1) - 3(1,1,0) + 0.(1,0,0)  2 = (-1,0,1)Víi 3 = 3, xÐt hÖ: 3d1 Pd1 1 P2 d1  3d 2P d   d3 3 3 1 d2 d3 0  4d1 0   3d1 0  0d1 3d1 3d 2 d2 d3 3d3 0 0 0Chän d1 = 1 ta cã: d2 = -1 , d3 = 0VËy vect¬ riªng  3 cã d¹ng:  3 = 1.C(2) + (-1).C(1) + 0.C(0)  3 = (2,3,1) - 1(1,1,0) + 0.(1,0,0)  3 = (1,2,1)Trịnh Thị Lệ18K35C SP ToánChộo húa ma trnKhúa lun tt nghipVậy ma trận A có các giá trị riêng là 1=0,2=1,3=3 và các vectơriêng ứng với các giá trị riêng là : 1 = (1,-1,1) , 2 = (-1,0,1) , 3 = (1,2,1)1.5.3. Phương pháp 3 (Phương pháp Leverie)nn 1Giả sử () = P1. ... Pn 1. Pn có các nghiệm là1,2,,n (kể cả nghiệm bội)nkĐặt S n i,(k = 0,1,..,n)i 1Theo định lý Vi-et và nhị thức Newton ta có: P1 P2 ... Pn S11 ( S 2 PS1 1)2(3)1 ( S n PS1 n 1 ... Pn 1S1 )nNếu () là đa thức đặc trưng của ma trận A thì Sk chính là vếtkTr( Ak ) của ma trận A .Tóm lại phương pháp Leverie gồm các bước:kBước 1: Tính A (k=1,2,..,n) sau đó tìm vết của ma trận Ak là:nSk = Tr(Ak) =(k )iia k k, A aiji 1n nBước 2: Tính Pi (i=1,2,..,n) theo công thức (3) từ đó rút ra được đathức đặc trưng của ma trận A .Nhận xét: Phương pháp Leverie là phương pháp dùng để tìm đathức đặc trưng của ma trận A . Từ đa thức đặc trưng của ma trận đó ta tìmđược các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận bằng phương phápđã biết. Phương pháp Leverie là phương pháp đơn giản nhất về mặt lýtưởng để có thể áp dụng cho mọi trường hợp.Trnh Th L19K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghipVí dụ: Hãy tìm đa thức đặc trưng của ma trận A bằng phương phápLeverie, từ đó xác định giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận A: 1 4 2 A= 3 4 0 3 1 3 Lời giải: Ta có: 1 4 2 1 4 A2= 3 4 0 . 3 4 3 1 3 3 1 2 5 10 4 0 = 9 4 6 3 9 5 15 1 4 2 5 10 4 13 16 2 6 = 21 14 36 A3=A.A2= 3 4 0 . 9 4 3 1 3 9 5 15 21 41 63 3S1 = Tr(A) =aii= -1+4+3 = 6i 13S2 = Tr(A2) = a = -5+4+15 = 142iii 13S3 = Tr(A3) = a = -13-14+63 = 363iii 1Ta có: P1 P2 P3 P11 ( S2 PS P21 1)21 ( S3 PS1 2 P2 S1 ) P33 S161 (14 6.6) 1121 (36 6.14 11.6) 63Vậy P1 = - 6 , P2 = 11 , P3 = -6Trnh Th L20K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghipPhương trình đặc trưng của ma trận A là: 3 6 2 11 6 0Các giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình: 3 6 2 11 6 0Phương trình có các nghiệm 1 3, 2 1, 3 2 Với 1 = 3 ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: a11 1 x1 a21x1 a x31 1a12 x2a13 x3 0 a22 1 x2a23 x3 0 (a33 1 ) x3 0a32 x24x1 4x2 2x3 0 0 3x1 x23x x 02 1 x2 3x1 x3 4 x1 Hệ này có nghiệm không tầm thường là ( a , 3 a , 4 a ) , a 0Chọn a = 1 ta được vectơ riêng ứng với giá trị riêng 1 = 3 là : 1 = (1,3,4) Với 2 = 1 ta xét hệ phương trình: a11 2 x1 a21x1 a x31 1a12 x2 a22 2 x2 a13 x3a23 x3 0 0 (a33 2 ) x3 0a32 x22x1 4x2 2x3 0 0 3x1 3x23x x 2x 023 1 x1 x2 x3 x2Trnh Th L21K35C SP ToỏnChộo húa ma trnKhúa lun tt nghipHệ này có nghiệm không tầm thường là ( a, a, a ) , a 0Chọn a = 1 ta được vectơ riêng ứng với giá trị riêng 2 = 1 là 2 (1,1,1) Với 3 = 2 ta xét hệ phương trình: a11 3 x1 a21x1 a x31 1a12 x2a13 x3 0 a22 3 x2a23 x3 0 (a33 3 ) x3 0a32 x23x1 4x2 2x3 0 0 3x1 2x23x x x 023 13 x1 x2 2 x3 x232Hệ này có nghiệm không tầm thường là a, a, a , a 0Chọn a = 2 ta được vectơ riêng ứng với giá trị riêng 3 = 2 là: 3 (3, 2,2)Vậy ma trận A có các giá trị riêng là 1=3, 2=1, 3=2 và các vectơriêng ứng với các giá trị riêng là: 1 = (1,3,4) , 2 = (1,1,1), 3 = (3,2,2).Trnh Th L22K35C SP Toỏn

Tài liệu liên quan

• Đánh giá tình hình kinh doanh bằng hình thức TMDT tại công ty Cổ Phần Tầm Cao bằng ma trận SWOT.docx
  • 39
  • 908
  • 1
• Chương 5. GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN ppt
  • 19
  • 4
  • 93
• Chương 4: Chéo hoá ma trận potx
  • 4
  • 4
  • 97
• Chương 5. GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN potx
  • 19
  • 5
  • 145
• Chéo hoá ma trận khóa luận tốt nghiệp
  • 54
  • 493
  • 1
• Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng
  • 60
  • 3
  • 20
• trình bày ma trận swot tổng công ty cổ phần may việt tiến và đưa ra ví dụ văn hóa kinh doanh 1 số nước
  • 40
  • 1
  • 0
• TÍCH cực hóa QUÁ TRÌNH học tập môn TOÁn ma trận và định thức
  • 11
  • 809
  • 2
• Đơn giản hóa ma trận phân biệt để tìm tập rút gọn (reduct) của tập thuộc tính và cài đặt chương trình thử nghiệm
  • 19
  • 1
  • 1
• SỬ DỤNG MA TRẬN SWOT PHÂN TÍCH CHIẾN LƯỢC KINH DOANH CỦA METRO CASH & CARRY BIÊN HÒA
  • 19
  • 884
  • 1

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(459.48 KB - 58 trang) - Chéo hóa ma trận Tải bản đầy đủ ngay ×