Trị Riêng, Vectơ Riêng Của Ma Trận (Eigenvalues And Eigenvectors)

Có thể bạn quan tâm

1.6. Tính chất:

Hệ các VTR ứng với các GTR đôi một khác nhau thì độc lập tuyến tính

Chứng minh

Giả sử A có m GTR khác nhau từng đôi một là ${\lambda}_1 , {\lambda}_2 , ... , {\lambda}_m$ . Ứng với m GTR là các VTR: $U = \left\{u_1 ; u_2 ; ... ; u_m \right\}$ .

Giả sử số vectơ độc lập tuyến tính tối đại trong U là r. Khi đó $r \le m$

Ta cần chứng minh r = m.

Thật vậy, giả sử r < m . Không mất tính tổng quát, giả sử hệ độc lập tuyến tính là r vectơ đầu.

Khi đó: $u_m$ là tổ hợp tuyến tính của hệ r vectơ trên. Hay: $u_m = \sum\limits_{i=1}^r {\alpha}_iu_i$

Suy ra: $A.u_m = A. \left(\sum\limits_{i=1}^r{\alpha}_iu_i\right) = \sum\limits_{i=1}^r {\alpha}_i.Au_i = \sum\limits_{i=1}^r{\alpha}_i{\lambda}_iu_i (*)$

Mặt khác: $Au_m = {\lambda}_mu_m={\lambda}_m{\sum\limits_{i=1}^r{\alpha}_iu_i }= {\sum\limits_{i=1}^r{\alpha}_i}{\lambda}_mu_i (**)$

Lấy (*) – (**) ta có: $0 = \sum\limits_{i=1}^r{\alpha}_i.({\lambda}_m - {\lambda}_i)u_i$

Do hệ $\left\{u_1, u_2, ..., u_r\right\}$ độc lập tuyến tính nên: $0 = {\alpha}_i.({\lambda}_m-{\lambda}_i) , \forall i = \overline{1, r}$

Mặt khác: các GTR khác nhau từng đôi một nên: ${\lambda}_m - {\lambda}_i \ne 0$

Do đó: ${\alpha}_i =0 , \forall i = \overline{1,r}$

Suy ra: $u_m = 0 (!)$

Vậy điều giả sử sai. Hay ta có r = m

Nghĩa là hệ gồm m VTR ứng với m GTR đôi một khác nhau có số vectơ độc lập tuyến tính là m nên hệ đã cho là đltt.

II. Chéo hóa ma trận:

2.1. Ma trận đồng dạng:

Hai ma trận A, B vuông cấp n được gọi là đồng dạng nếu tốn tại 1 ma trận không suy biến S sao cho: $B = S^{-1}A.S$ . Ký hiệu A ~ B

2.2. Tính chất:

Hai ma trận đồng dạng có cùng 1 đa thức đặc trưng

Chứng minh:

Do: $B = S^{-1}AS$ nên ta có:

$det(B-{\lambda}I_n) = det(S^{-1}AS-{\lambda}I_n) = det(S^{-1}AS-{\lambda}SI_nS^{-1})$

$= det(S^{-1}(A-{\lambda}I)S) = det(S^{-1}).det(A-{\lambda}I_n).detS = det (A-{\lambda}I_n)$

2.3. Ma trận chéo hóa được:

Ma trận A được gọi là ma trận chéo hóa được nếu nó đồng dạng với ma trận chéo. (nghĩa là: A được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận không suy biến P sao cho: $P^{-1}AP = D$ , với D là 1 ma trận chéo).

Khi đó, P được gọi là ma trận làm chéo hóa ma trận A, D là dạng chéo của ma trận A.

Ví dụ: Cho $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{array} \right]$ . Ma trận $C = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 9 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{array} \right]$ là ma trận không suy biến có: $C^{-1} = \left[\begin{array}{rrr} 1 & -2 & { \dfrac{3}{2}} \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & { \dfrac{1}{2}}\\ \end{array} \right]$

Khi đó, ta dễ dàng có được: $C^{-1}.A.C = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\\ \end{array} \right]$

$\Rightarrow$ Khi nào ma trận A chéo hóa được? Làm sao tìm được ma trận C làm chéo hóa ma trận A?

2.4. Định lý:

Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính

2.5. Hệ quả:

1. Nếu ma trận A vuông cấp n có đủ n GTR đôi một khác nhau thì A chéo hóa được.

2. Ứng với mỗi GTR bội k phải có đủ k VTR độc lập tuyến tính (Cơ sở của không gian con riêng ứng với GTR đó phải có k vecto)

2.6. Ma trận làm chéo hóa ma trận A. Và dạng chéo của ma trận A:

Nếu ma trận A chéo hóa được thì tồn tại ma trận P làm chéo hóa ma trận A, nghĩa là: $P^{-1}AP = D \Rightarrow AP = PD$

Mà D là ma trận chéo nên D có dạng: $\left[\begin{array}{cccc} {\lambda}_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & {\lambda}_2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & {\lambda}_n \\ \end{array} \right]$

Bây giờ, ta ký hiệu cột thứ i của ma trận P là $P_i$ thì ta dễ dàng nhận thấy cột thứ i của ma trận tích AP sẽ là $AP_i$ và cột thứ i của ma trận PD sẽ là ${\lambda}_iP_i$

Mà 2 ma trận bằng nhau khi các phần tử tương ứng bằng nhau. Do đó, ta có: $AP_i = {\lambda}_iP_i$

Do đó, theo định nghĩa của GTR, VTR ta có $P_i$ là VTR ứng với GTR ${\lambda}_i$

Vậy P là ma trận gồm các VTR và D là ma trận gồm các GTR được xác định như sau:

Cột thứ i của ma trận P là VTR ứng với GTR thứ i.

Cột thứ i của ma trận D có phần tử $a_{ii} = {\lambda}_i$

2.7. Các ví dụ ứng dụng:

Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng ma trận A chéo hóa được và tìm ma trận làm chéo hóa ma trận A và dạng chéo của nó:

$A = \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \\ \end{array} \right]$

Theo ví dụ 3, phần 1 ta có: ma trận A có các GTR lần lượt là: ${\lambda}_1=-2 ; {\lambda}_2=2 ; {\lambda}_3 = 3$

Do đó, theo hệ quả 2.5, thì ma trận A là chéo hóa được.

Khi đó: VTR ứng với giá trị riêng ${\lambda}_1 = -2$ có dạng: $u_1 = (1;-1;4)a , a \ne 0$

VTR ứng với giá trị riêng ${\lambda}_1 = 2$ có dạng: $u_2 = (-1;0;1)b , b \ne 0$

VTR ứng với giá trị riêng ${\lambda}_1 = 3$ có dạng: $u_3 = (-1;1;1)c , c \ne 0$

Vậy theo tính chất 1. 6 ma trận A có 3 VTR độc lập tuyến tính là $(1;-1;4) , (-1;0;1) ; (-1;1;1)$

Như vậy, ta có thể chọn: $P = \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$ và dạng chéo của ma trận A tương ứng là $D = \left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{array} \right]$ . Khi đó: $P^{-1} = \left[\begin{array}{rrr} { \dfrac{1}{5}} & 0 & { \dfrac{1}{5}} \\ -1 & -1 & 0 \\ { \dfrac{1}{5}} & 1 & { \dfrac{1}{5}} \\ \end{array} \right]$

Ta cũng có thể chọn: $P = \left[\begin{array}{rrr} -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{array} \right]$ và dạng chéo của ma trận A tương ứng là $D = \left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{array} \right]$

Ví dụ 2: Cho A là ma trận vuông cấp 2 có 2 GTR là 1 và – 2 và 2 VTR tương ứng là (1,0) và (1, -1). Tính: $A^2008$

Giải

Đặt $D = {\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -2 \\ \end{array}\right]} , P = {\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right]}$ .

Ta tìm được: $P^{-1} = \left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right]$

Khi đó: $P^{-1}AP = D \Rightarrow A = PDP^{-1}$

Do đó: $A^{2008} = \left(PDP^{-1}\right)^{2008} = P.D^{2008}P^{-1}$

Mặt khác: $D^{2008} = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & (-2)^{2008} \\ \end{array} \right]$ (theo tính chất của ma trận chéo)

Nên: $A^{2008} = {P = \left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right]}{\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & (-2)^{2008} \\ \end{array} \right]}{\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right]}$

Nhận xét: 1 ứng dụng của thuật toán chéo hóa ma trận là giúp chúng ta dễ dàng tính toán được lũy thừa bậc cao của ma trận.

Ứng dụng khác: 1 ứng dụng đặc biệt khác của thuật toán chéo hóa ma trận là giúp chúng ta xây dựng 1 công cụ để giải hệ phương trình vi phân: ${ \dfrac{dX(t)}{dt}} = A.X(t)$ với $X(t) = \left(X_1(t); X_2(t); ... ; X_n(t)\right)$ . Đây chính là thuật toán Euler trong việc giải hệ phương trình vi phân.

– 1 ứng dụng khác của thuật toán chéo hóa ma trận đó là giúp chúng ta có 1 công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các đường bậc 2 và mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều.

Tình huống:

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

37 bình luận về “Trị riêng, vectơ riêng của ma trận (Eigenvalues and Eigenvectors)”

Chỉ dùm bài tập:Cho ma trận thực A cấp 2 X1,X2 là hai vecto cột ĐLTT.Biết A.X1=X2,A.X2=X1.Tìm tất cả trị riêng và vecto riêng của A^100

ThíchThích
Posted by Thanh | 02/02/2015, 22:09 Reply to this comment
- Em có: $A.X_1 = X_2$ . Suy ra: $A.(A.X_1) = A.X_2$ . Hay: $A^2.X_1 = A.X_2 = X_1$ . Bằng cách quy nạp em sẽ có: $A^{100}.X_1 = X_1 = I_2.X_1$ Vậy $A^{100} = I_2$ . Từ đó dễ dàng tìm trị riêng và ve1cto riêng.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 09/03/2015, 11:15 Reply to this comment