Chia đa Thức Cho đa Thức: Lý Thuyết, Ví Dụ Và Bài Tập - DINHNGHIA.VN

Lý thuyết chia đa thức cho đa thức

Chia đa thức A cho đa thức B. Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến số \(B\neq 0\), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho \(A=B.Q+R\), trong đó R=0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

Q được gọi là đa thức thương, R được gọi là dư trong phép chia A cho B.

Nếu \(R=0\)thì phép chia A cho B là phép chia hết.

Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia

\((A^{3}+B^{3}):(A+B)=A^{2}-AB+B^{2}\)

\((A^{3}-B^{3}):(A-B)=A^{2}+AB+B^{2}\)

\((A^{2}-B^{2}):(A+B)=A-B\)

Ví dụ: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

1. \((125x^{3} + 1) : (5x + 1)\)
2. \((x^{2} –2xy + y^{2}) : (y – x)\)

Hướng dẫn giải:

1. \((125x^{3} + 1) : (5x + 1) = [(5x)^{3} + 1] : (5x + 1) =(5x)^{2}-5x+1 = 25x^{2}-5x+1\)
2. \((x^{2}-2xy+y^{2}) : (y-x) = (x-y)^{2}: [-(x-y)] =-(x-y)=y-x\)

Hoặc \((x^{2}–2xy+y^{2}):(y-x) = (y^{2}-2xy+x^{2}) : (y-x)\)

Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

Tìm thương và dư trong phép chia đa thức

Phương pháp giải: từ điều kiện đề bài đã cho, đặt phép chia A:B được kết quả là thương Q và dư R.

Tìm điều kiện của m để đa thức A chia hết cho đa thức B

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức \(4n^{3}-4n^{2}-n+4\) chia hết cho biểu thức \(2n+1\)

Hướng dẫn giải:

Thực hiện phép chia\( 4n^{3}-4n^{2}-n+4\) cho \(2n+1\) ta được:

\(4n^{3}-4n^{2}-n+4=(2n+1)(n^{2}+1)+3\)

Từ đó suy ra, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho \(2n+1\), tức là cần tìm giá trị nguyên của n để \(2n+1\) là ước của 3, ta được:

\(2n+1=3\Leftrightarrow n=1\)

\(2n+1=1\Leftrightarrow n=0\)

\(2n+1=-3\Leftrightarrow n=-2\)

\(2n+1=-1\Leftrightarrow n=-1\)

Vây \(n=1;n=0;n=2\)thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ứng dụng định lý Bezout khi giải

Ngoài ra còn có các dạng toán liên quan như: chia đa thức chứa tham số; chia đa thức với đa thức nguyên hàm.

Bài tập chia đa thức cho đa thức lớp 8

Giải câu 67 sgk Toán 8 tập 1 Trang 31

1. \((x^3 – 7x + 3 – x^2) : (x – 3).\)
2. \((2x^4 – 3x^2 – 3x^2 – 2 + 6x) : (x^2 – 2).\)

Hướng dẫn giải:

1. (\(x^3 – 7x + 3 – x^2) : (x – 3)\)

2.\( (2x^4 – 3x^2 – 3x^2 – 2 + 6x) : (x^2 – 2)\)

Giải câu 69 sgk Toán 8 tập 1 Trang 31

Cho hai đa thức \(A = 3x^{4}+ x^{3} + 6x-5\) và \(B = x^{2}+1\). Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng \(A = B . Q + R\)

Hướng dẫn giải:

Để có thể tìm được dư R và Q thì ta cần đặt phép tính và thực hiện phép chia đa thức:

Phép chia đa thức \(A = 3x^{4}+ x^{3} + 6x-5\) cho \(B = x^{2}+1\) được thực hiện như sau:

Suy ra \(Q = 3x^{2}+ x-3 ; R = 5x – 2\)

Kết luận: \(3x^{4}+ x^{3}+ 6x- 5 = (x^{2}+ 1)(3x^{2} + x-3) + 5x – 2\)

Giải câu 71 sgk Toán 8 tập 1 Trang 32

Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không?

1. \(A = 15x^{4}-8x^{3}+x^{2}\)

\(B=\frac{1}{2}x^{2}\)

2. \(A = x^{2}-2x+1\)

\(B=1-x\)

Hướng dẫn giải:

1. Ta thấy từng hạng tử của \(A : 15x^{4} ; 8x^{3} ; x^{2}\) đều chia hết cho\(x^{2}\)

Suy ra đa thức A chia hết cho đa thức B.

2. Ta có: \(A = x^{2}-2x+1=(1-x)^{2}\)chia hết cho \(1-x\)

Suy ra đa thức A chia hết cho đa thức B.

Giải câu 73 sgk Toán 8 tập 1 Trang 32

Tính nhanh:

1. \((4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y)\)
2. \((27x^{3}-1) : (3x-1)\)
3. \((8x^{3}+1) : (4x^{2}-2x+1)\)
4. \((x^{2}- 3x + xy -3y) : (x + y)\)

Hướng dẫn giải:

1. \((4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y) = [(2x)^{2}–(3y)^{2}] : (2x-3y)=2x+3y\)
2. \((27x^{3}-1) : (3x-1) = [(3x)^{3}-1] : (3x-1) = (3x)^{2} + 3x + 1 = 9x^{2} + 3x + 1\)
3. \((8x^{3}+1):(4x^{2}–2x+1)=[(2x)^{3}+1]:(4x^{2}-2x+1)=(2x+1)[(2x)^{2}–2x+1]:(4x^{2}–2x+1)=(2x+1)(4x^{2}–2x+1):(4x^{2}–2x+1)=2x+1\)
4. \((x^{2}-3x + xy -3y) : (x + y) = [(x^{2}+ xy)-(3x+3y)] : (x + y) = [x(x + y)-3(x + y)] : (x + y) = (x + y)(x-3) : (x + y) = x-3\)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề chia đa thức cho đa thức: lý thuyết, ví dụ và cách làm. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản và mở rộng

Xem thêm >>> Định lý Talet trong tam giác, trong hình thang

Xem thêm >>> Quy tắc nhân đơn thức với đa thức và Một số dạng bài tập

Xem thêm >>> Chuyên đề dấu của tam thức bậc hai và Một số dạng bài tập