Cho Khai Triển ( 1 + X )^n Với N Là Số Nguyên Dương. Tìm Hệ Số Của Số

Có thể bạn quan tâm

KHỞI ĐỘNG CHO MÙA THI ĐẠI HỌC 2026

Ôn đúng trọng tâm – Học chắc từ hôm nay

BẮT ĐẦU NGAY

Cho khai triển ( 1 + x )^n với n là số nguyên dương. Tìm hệ số của số

Câu hỏi

Nhận biết

Cho khai triển \({ \left( {1 + x} \right)^n} \) với \(n \) là số nguyên dương. Tìm hệ số của số hạng \({x^3} \) trong khai triển biết \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ....... + C_{2n + 1}^n = {2^{20}} - 1. \)

A. 480 B. 720 C. 240 D. 120

Đáp án đúng: D

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

Xét khai triển: \({\left( {x + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}.} \)

Xét khai triển: \({\left( {x + 1} \right)^{2n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^k{x^k}} = C_{2n + 1}^0{x^0} + C_{2n + 1}^1{x^1} + ..... + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.\)

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}C_{2n + 1}^0 = C_{2n + 1}^{2n + 1}\\C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n}\\.....\\C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1}\end{array} \right. \Rightarrow C_{2n + 1}^0{x^{2n + 1}} + C_{2n + 1}^1{x^{2n}} + ..... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 2\left( {C_{2n + 1}^0{x^{2n + 1}} + C_{2n + 1}^1{x^{2n}} + .... + C_{2n + 1}^n} \right)\)

Chọn \(x = 1\) ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ..... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + .... + C_{2n + 1}^n} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + .... + C_{2n + 1}^n} \right)\\ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + .... + C_{2n + 1}^n = {2^{2n}}.\end{array}\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ....... + C_{2n + 1}^n = {2^{20}} - 1\\ \Leftrightarrow 1 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ....... + C_{2n + 1}^n = {2^{20}}\\ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ....... + C_{2n + 1}^n = {2^{20}}\\ \Rightarrow {2^{2n}} = {2^{20}} \Leftrightarrow 2n = 20 \Leftrightarrow n = 10\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) hệ số chứa \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {x + 1} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^k}} \) là: \(C_{10}^3 = 120.\)

Chọn D.

Ý kiến của bạn Hủy

Luyện tập

Phòng tự luyện, thi thử
Khóa học, tài liệu
Cách tự học

Câu hỏi liên quan

Giải phương trình 31 – x – 3x + 2 = 0.
Chi tiết
câu 7

Chi tiết
câu 2

Chi tiết
Giải phương trình : z3 + i = 0
Chi tiết
Giải phương trình (1 – i)z + (2 – i) = 4 – 5i trên tập số phức.
Chi tiết
Câu 2: Đề thi thử THPT Hà Trung - Thanh Hóa

Chi tiết
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho z1 = là số thực và z2 = là số ảo.
Chi tiết
Giải phương trình: (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0
Chi tiết
Giải phương trình 72x + 1 – 8.7x + 1 = 0.
Chi tiết
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d: = = và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
Chi tiết