Chứng Minh đường Thẳng Tiếp Xúc Với Parabol Cố định

Các bạn đã nghe tới dạng toán tìm điểm cố định của họ đường cong $C_m$ và trong blog của thầy cũng đã có bài giảng khá chi tiết về vấn đề này. Vẫn nói tới khái niệm cố định ở đây nhưng bài giảng hôm nay thầy muốn chia sẻ với các bạn một dạng toán mới, đó là: Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với parabol cố định.

Đây là một dạng toán rất được quan tâm đối với họ đường thẳng, đó là:

“Cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số $m$ có phương trình: $f_{(x,y,m)}=0$, gọi là họ $d_m$.

Hãy tìm một đường cong cố định luôn tiếp xúc với họ đường thẳng $d_m$.”

Để làm được dạng toán này thầy sẽ hướng dẫn các bạn làm theo 2 cách sau:

Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với parabol cố định

Cách 1: Sử dụng trực tiếp điều kiện tiếp xúc giữa Parabol và đường thẳng để tìm ra Parabol cố định.

Bước 1: Định dạng cho đồ thị cố định, thí dụ: Parabol là $(P): y=ax^2+bx+c$

Bước 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị với mọi giá trị của tham số, ta xác định được $y=g_{(x)}$

Ở bước này chính là các bạn lập phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và Parabol $(P)$. Ta sẽ được một phương trình bậc 2 ẩn $x$ với tham số có thể là $m$. Điều kiện tiếp xúc ở đây chính là phương trình bậc 2 có nghiệm kép hay $\Delta \leq 0$ với mọi giá trị tham số $m$.

Cách 2: Tìm cụ thể được Parabol, đi chứng minh parabol đó cố định và tiếp xúc với đường thẳng.

Bước 1: Tìm tập hợp các điểm mà họ $d_m$ không đi qua. Tập hợp đó được xác định bởi bất phương trình có dạng: $h{(x,y)}<0$.

Bước 2: Ta đi chứng minh họ $d_m$ luôn tiếp xúc với đường cong $(C)$ có phương trình:$h{(x,y)}=0$.

Để hiểu rõ hơn hai phương pháp tìm ra một parabol cố định luôn tiếp xúc với họ đường thẳng $d_m$, chúng ta sẽ đi xem và xét ví dụ sau:

Bài tập 1: Cho họ đường thẳng $d_m$ có phương trình: $(2m+1)x-y-m^2=0$. Chứng minh rằng $d_m$ luôn tiếp xúc với một Parabol cố định.

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Giả sử Parabol $(P)$ có dạng: $y=ax^2+bx+c$, $a\neq 0$

Điều kiện để $d_m$ tiếp xúc với Parabol là phương trình:

$ax^2+bx+c=(2m+1)x-m^2$ có nghiệm kép $\forall m$

$\Leftrightarrow ax^2-(2m+1-b)x+m^2+c=0$ có nghiệm kép $\forall m$

$\Leftrightarrow \Delta=0, \forall m$

$\Leftrightarrow (2m+1-b)^2-4a(m^2+c)=0, \forall m$

$\Leftrightarrow 4(1-a)m^2+4m(1-b)+(1-b)^2-4ac=0, \forall m$          (*)

Để phương trình (*) có nghiệm với mọi giá trị của $m$ thì các hệ số phải bằng $0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll}1-a=0\\1-b=0\\{(1-b)^2}-4ac=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll}a=1\\b=1\\c=0\end{array}\right.$

Do đó Parabol $(P)$ có dạng: $ y= x^2+x$

Vậy, mọi đường thẳng của họ $d_m$ luôn tiếp xúc với Parabol $(P): y= x^2+x$

Cách 2:

Bước 1: Tìm những điểm trên mặt phẳng mà không thuộc họ $d$

Gọi $M(x;y)$ là điểm không thuộc bất cứ đường thẳng nào của họ $d$

Khi đó ta có:

$(2m+1)x-y-m^2=0$ vô nghiệm $\forall m$

$\Leftrightarrow m^2-2xm+y-x=0$ vô nghiệm $\forall m$  (phương trình ẩn là m)

$\Leftrightarrow \Delta'<0$

$\Leftrightarrow x^2-(y-x)<0$

$\Leftrightarrow x^2+x-y<0$

Vậy tập hợp các điểm $M(x;y)$ thỏa mãn $x^2+x-y<0$ (các điểm thuộc miền trong của $(P): y=x^2+x$) không thuộc bất cứ đường thẳng nào của họ $d$

Bước 2: Ta đi chứng minh $d$ luôn tiếp xúc với Parabol $(P): y=x^2+x$

Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và Parabol $(P): y= x^2+x$ là:

$x^2+x = (2m+1)x-m^2$

$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2=0$   (*)

Phương trình (*) có: $\Delta = m^2-m^2=0$. Do đó phương trình (*) có nghiệm kép.

Vậy,mọi đường thẳng của họ $d_m$ luôn tiếp xúc với Parabol $(P)$

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho họ đường thẳng $d_m$ có phương trình: $4x-2my+m^2=0$. Chứng minh rằng họ đường thẳng $d_m$ luôn tiếp xúc với một Parabol cố định.

Bài 2: Chứng minh rằng họ đường thẳng $d_m: y=2mx-m^2+2m+2$  luôn tiếp xúc mới một parabol cố định

Bài 3: Cho điểm $A(0;2); B(m;-2)$.

a. Hãy viết phương trình đường trung trực $d$ của $AB$

b. Chứng minh rằng đường thẳng $d$ luôn tiếp xúc với đường cong cố định khi $m$ thay đổi.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ