Chứng Minh Rằng Các Phương Trình Sau Luôn Có Nghiệm Với Mọi Giá ...

Câu 4.55. trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao. b. Ta có. Bài 6. Dấu của tam thức bậc hai

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

a. \({x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - \dfrac{1}{3} = 0;\)

b. \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0;\)

c. \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{1}{2} = 0;\)

d. \(\left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {3m - 2} \right)x + 3 - 2m = 0.\)

:

a. Ta có biệt thức \(\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - \dfrac{1}{3}} \right) = {m^2} - 2m + \dfrac{7}{3}.\)

Xét tam thức \(f\left( m \right) = {m^2} - 2m + \dfrac{7}{3},\) có \(a = 1\) và biệt thức \(\Delta ‘ =  - \dfrac{4}{3} < 0\) nên \(f(m) > 0\) với mọi m. Vậy phương trình luôn có nghiệm.

Chú ý: Ta có thể xét

\(\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - \dfrac{1}{3}} \right) \)

\(= {\left( {m - 1} \right)^2} + \dfrac{4}{3} \ge \dfrac{4}{3}.\)

b. Ta có

Advertisements (Quảng cáo)

\(\Delta ‘ = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 3} \right)\)

\(= {\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0,\) nên phương trình luôn luôn có nghiệm.

Chú ý : Ta có thể sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai để làm bài tập này, học sinh tự làm.

c. Ta có

\(\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {\dfrac{3}{4}m + \dfrac{1}{2}} \right)\)

\(= {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0,\) nên phương trình này luôn có nghiệm.

d. *) Nếu \(m = 1\) phương trình có nghiệm \(x = -1.\)

*) Nếu \(m ≠ 1\) ta có

\(\begin{array}{l}\Delta  = {\left( {3m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {3 - 2m} \right)\\ = 17{m^2} - 32m + 16\\ = {m^2} + 16{\left( {m - 1} \right)^2} > 0,\end{array}\)

Nên phương trình luôn có nghiệm.

Tóm lại với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có nghiệm.