Chứng Minh Tập Số Hữu Tỷ Trù Mật Trong Tập Số Thực Như Thế Nào? | TTC

Có thể bạn quan tâm

Đây là vấn đề cơ bản, tuy nhiên theo như ghi nhận thì không phải sinh viên nào cũng biết chứng minh. Tôi gõ lại đoạn chứng minh để các bạn có thể bổ sung kiến thức nếu hổng. Mệnh đề cần chứng minh là:

Tập số hữu tỷ $\mathbb{Q}$ trù mật trong $\mathbb{R}.$

1) Giải thích thuật ngữ.

– tập $A$ đc gọi là trù mật trong tập $B$ nếu $A$ là tập con của $B$ và nếu bao đóng của $A$ bằng cả tập $B.$ Ở đây $B$ phải là không gian metric, hoặc topo thì mới có thể lấy bao đóng.

– cũng có thể định nghĩa khác, trong trường hợp cụ thể là mệnh đề phải chứng minh: nói tập số hữu tỷ là trù mật trong tập số thực, tức là, mọi số thực là giới hạn của một dãy số hữu tỷ nào đó.

2) Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh mệnh đề sau

Với $a<b$ là hai số thực bất kỳ, luôn tồn tại số hữu tỷ $q$ sao cho $a<q<b.$

Bạn đọc hãy thử giải thích vì sao mệnh đề này là đủ để suy ra mệnh đề ở trên. Gợi ý: hãy nghĩ tới $\frac{a+b}{2},$ tức là cách chia đôi khoảng cách các số thực.

Chứng minh mệnh đề này như sau. Đặt $c = b - a>0.$ Khi đó tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $0< 1/n<c.$ Điều này không phải là điều hiển nhiên, nếu không có tiên đề Archimede sau:

Cho $x, y$ là hai số thực dương, khi đó tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $mx>y.$

Chọn $x = c$ và $y = 1,$ bạn sẽ có c/m cho khẳng định trên.

Bây giờ bạn xét các số hữu tỷ có dạng $m/n$ với $m\in \mathbb{Z}$ với $n$ là số nguyên dương cố định ở trên. Cũng lại theo tiên đề Archimede, luôn tồn tại số hữu tỷ $m_1/n<a$ và số hữu tỷ $m_2/n >b.$

Vậy ta xét các số hữu tỷ $\frac{m_1}{n}, \frac{m_1+1}{n},\ldots, \frac{m_2-1}{n},\frac{m_2}{n}.$ Đặt $p$ là số nguyên lớn nhất (trong các số $m_1, m_1+1,\ldots, m_2$ ) sao cho $\frac{p}{n}\leq a.$