Chuỗi Fourier | Toán Cho Vật Lý

Có thể bạn quan tâm

1. Các kết quả:

Biểu thức Toán học:

$F_n(x) = A_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} {(A_{k} cos(kx) + B_{k} sin(kx))}$ (1)

được gọi là chuỗi Fourier nếu (1) hội tụ.

1.1 Định nghĩa. Một đa thức Fourier là biểu thức có dạng:

$F_n(x) = A_0 + \sum\limits_{k=1}^{k=n} {(A_{k} cos(kx) + B_{k} sin(kx)).}$

Các hệ số a0, ai và bi, i = 1,2,…, n, được gọi là hệ số của Fn(x).

Đa thức Fourier là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π. Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản ta có:

Chúng ta có thể chứng minh dễ dàng các công thức sau: (1) Với n ≥ 0, ta có:

$\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx)} \, dx = 0$ và $\int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)} \, dx = 0$

(2) Với mọi m , n ta có:

$\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx).sin(mx)} \, dx = 0$

(3) Với n ≠ m, ta có:

$\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx).cos(mx)} \, dx = 0$ và $\int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin(nx).sin(mx)} \, dx = 0$

(4) Với n ≥ 1, ta có:

$\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos^{2}(nx)} \, dx = \pi$ và $\int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin^{2}(nx)} \, dx = \pi$

Sử dụng các công thức trên, chúng ta có kết quả sau:

1.2 Định lý: Cho

$F_n(x) = a_0 + \sum\limits_{k=1}^{k=n} {(a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx)).}$

Ta có:

Định lý trên giúp ta có thể tìm được hệ số Fourier của các hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π.

2. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier:

Định nghĩa. Cho f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π và khả tích trên đoạn [- π ; π]. Đặt:

Khi đó, chuỗi lượng giác:

$a_0 + \sum {(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)).}$

được gọi là khai triển Fourier của hàm số f(x) tương ứng. Ký hiệu:

$F_n(x) \sim a_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} {(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)).}$

Đánh giá:

Chia sẻ:

Email
In
Facebook

Thích Đang tải... Trang: 1 2

24 responses to “Chuỗi Fourier”

Thưa thầy sao giáo trình ở trường em có công thức Ao là Ao=1/p …(p=T/(2pi)) chứ ko như công thức của thầy Ao= 1/(2pi))…Xin thầy giải thích
- Em chú ý xem lại 2 công thức xác định hệ số a0, an, bn là trong trường hợp hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ $2{\pi}$ (tức khai triển trên đoạn $[-{\pi};{\pi}]$ hay là tuần hoàn với chu kỳ T (tức là khai triển trên đoạn [-T;T]) nhé.
Ah em biết rồi công thức khai triển fourier ở trường em là f(t)=a0/2 +…. còn ở công thức cúa thầy đã chia 2 từ lúc tính a0. Em cảm ơn thầy. Sẵn đây em cũng xin hỏi thầy cách biến đổi fourier f(t)=/\(t/T) ra F(W) như thế nào ? (trong cuốn giáo trình của em có chỉ là dùng Định Lý Vi Phân miền thời gian nhưng em tính hoài cũng ko ra )
- Vì phần xây dựng biến đổi Fourier khá dài, nên Thầy sẽ viết ở 1 trang riêng. Do đó, trước mắt, em có thể xem thêm trong giáo trình Toán Cao cấp 4 – Phần chuỗi và phương trình vi phân – của trường ĐH Bách Khoa TpHCM, do Thầy Đỗ Công Khanh làm chủ biên nhé
Thầy ơi, thầy giúp em giải thích kĩ hơn phần tổng của những điểm gián đoạn tại sao lại có F(1), F(pi/2) với
Thưa thầy, cho em hỏi cách làm Khai triển chuỗi Fourier trên 1 khoảng ạ? VD: Khai triển hàm f(x)= sinx, 0<x<pi thành chuỗi Fourier Cosine Thầy làm mẫu cho em một bài được không ạ
trên 1 khoảng bất kỳ chu kì 2l thì ta có công thức như sau: $f(x)= \dfrac{a_{0}}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}.cos \dfrac{n\pi x}{l}+b_{n}.sin \dfrac{n\pi x}{l})$

với : $a_{0}= \dfrac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)dx$ $a_{n}= \dfrac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)cos \dfrac{n\pi x}{l}dx$ $b_{n}= \dfrac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)sin \dfrac{n\pi x}{l}dx$
- em có bài này muốn hỏi thầy ạ khai triển hàm f(x)=x thành chuỗi fourier trong khoảng (0,pi) thầy giúp em dc hem ạ
  - Em xem ví dụ 1 ở trang 2 phía trên nhé.
e chào thầy ạ! thầy giải giùm e bài này ạ khai triển chuỗi Fourier: f(x)=xcosx trong [0,Pi] theo cosin.
- Để khai triển hàm f(x) = xcosx trong [0; Pi] thành chuỗi cosin Fourier, em cần mở rộng hàm f(x) thành hàm g(x) là hàm chẵn trong [-Pi; Pi]. Như vậy: g(x) =|x|.cosx trong [-Pi;Pi] Khi đó, với x thuộc [0;Pi] thì g(x) chính là hàm f(x). Khi đó: $b_n = 0 , \forall n \ge 1$ $a_0 = { \dfrac{1}{\pi}} \int\limits_0^{\pi} xcosx \, dx = -2$ $a_k = { \dfrac{2}{\pi}} \int\limits_0^{\pi} xcosx.cos(kx) \, dx$
Thưa thầy! Cho em hỏi khai triển fourier của hàm y=x tuần hoàn $2 \pi$ , em cảm ơn thầy!
- Bài này là ví dụ 1 ở trang 2 của phần trên đó em.
em thưa thầy, thầy có thể giải hộ em bài tập này được không ạ: khai triển bậc 3 của hàm ẩn y = f(x) xác định bởi phương trình: $y + x^2+ y^2 +y^3 + x^3=0$ trong lân cận điểm 0 tại lân cận của x=0.
- Chào bạn Winter, Cái này bạn nên đưa vào trang đạo hàm hàm ẩn thì đúng chủ đề hơn, Bài này có 2 ý. Đầu tiên ta cần xác định công thức khai triển bậc 3 là: $y(0) + \dfrac{y'(0)}{1!}x + \dfrac{y''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{y'''(0)}{3!}x^3$ Để tính đạo hàm, bạn cần sử dụng kiến thức đạo hàm hàm ẩn. Ở đây để tìm y(0) , bạn thế x = 0 vào pt sẽ được: $y + y^2 + y^3 = 0 \Rightarrow y = 0$ Đề tìm y’ bạn dùng công thức đạo hàm hàm ẩn: nếu F(x,y) = 0 thì $y_x^{'} = - \dfrac{F_x^{'}}{F_y^{'}}$ Do đó: $y' = - \dfrac{2x+3x^2}{1+2y+3y^2} (1) \Rightarrow y'(0) = - \dfrac{2.0+3.0^2}{1+2.0+3.0^2} = 0$ Để tính y” ta lấy đạo hàm của (1), bạn lưu ý y là hàm theo x thì sẽ có: $y'' = - \dfrac{(2+6x)(1+2y+3y^2)-(2x+3x^2)(2y'+6yy')}{(1+2y+3y^2)^2} (2)$ Từ đó bạn có y”(0) = -2 Tiếp tục lấy đạo hàm của (2), bạn sẽ tính được y”'(0)
Thầy có thể giúp dùm em bài này được không, em không hiểu khai triển này là khai triển nào, tính hệ số k1 ra làm sao( biết: hàm sin là hàm lẻ, n=11, k1=0.451) $sin^n(w.t+i)+k_3sin[3(w.t+i)]+..+k_nsin[n(w.t+i)]$ Hệ số k1=A.B với A= $\dfrac{-1^{n-1}}{2^{n-1}}$ B= $\left(\begin{array}{c} n \\ (n-1)/2 \\ \end{array} \right)$
- Bài này thật tình Thầy không hiểu rõ đề bài của em. Em có thể viết đề bài bằng file Word rồi gửi qua email cho Thầy được không?
Thay co the giup em giai bai toan nay dc ko? Cho hinh tron tam O,ban kinh la 2.Giai bai toan DIRICHLE trong hinh tron tam O co phuong trinh la delta u=0; u|s=x^2-xy^2+2;
Thưa thầy sao VD2 An= 1/2pi… ? Trong ct TQ trang 1 chỉ là 1/pi .
- Cảm ơn em đã giúp thầy chỉnh lại chỗ sai
Thầy ơi, giúp giùm em bài này: Cho hàm số: $\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0, - \pi \le t \le 0 \\ \sin t,0 \le t \le \pi \\ \end{array} \right.$ Tìm khai triển Fourier của f và từ đó chứng minh rằng: $\dfrac{{\pi - 2}}{4} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{(2n - 1)(2n + 1)}}}$
Thầy ơi, nếu khai triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier trên (0, 2Pi) thì em phải làm thế nào ạ?
Hello Sir,

Thanks for uploading the Fourier Problem set. I was going through the problem set – thunhan.files.wordpress.com/2007/10/problemsfourier.pdf.

In the following problem Problem 1 (g) I think the asnwer is 2*pi.

Here is my understanding.

x(t) = 5*Cos(3*x) + 2*Cos(2*x) Fundamental Period of 5*Cos(3*x) is T1 = 2*pi/3. Fundamental Period of 2*Cos(2*x) is T2 = pi

Hence the Fundamental Period of x(t) is LCM (T1, T2) = T1*m = T2*k. where m and k are smallest possible integers so as to make LCM a integer.

(2*pi/3)*m = pi*k

Hence m is 3 and k is 2.

LCM is 2*pi.

Logically also period of 3 fundamental wave of 1st wave = period of 2 fundamentel wave of 2nd wave.

— – Harish Be exhilarated forever
E cảm ơn bài giảng của thầy. Nhờ nó mà e đã hiểu!!!!! Cảm ơn thầy rất nhiều!

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Translators & RSS

Toán cho Vật lý

Trắc nghiệm online

1. Trắc nghiệm Giải tích 1 biến.

2. Trắc nghiệm chuỗi số – chuỗi hàm

3. Trắc nghiệm phương trình vi phân

4. 20 câu trắc nghiệm về định thức.

5. 12 câu trắc nghiệm ánh xạ tuyến tính

Theo dõi blog qua email

Nhập địa chỉ email của bạn để đăng ký theo dõi blog này và nhận thông báo về các bài mới qua email.

Tham gia cùng 39 người đăng ký khác Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Các địa chỉ thay thế khi bạn không vào được website này:

1. toanchovatly.byethost11.com

2. toanchovatly.wordpress.com

Bài viết mới

Vẻ đẹp của Toán học
KenKen – trò chơi giải trí thú vị
Tem thư và toán học
Các vấn đề lịch sử của chuỗi số – chuỗi hàm
7 bài toán thiên niên kỷ (Millennium Problems)
Các bài giảng về hàm nhiều biến
Mẹo phân tích nhanh 1 phân thức
Những mốc quan trọng nhất của Lịch sử Lý thuyết xác suất
Theo dòng lịch sử của định thức
Hệ thống toán học Aztec cổ được giải mã
Toán học trong các ngôi đền Nhật Bản
Mẹo tính nhanh tích phân từng phần
Thuật toán chia đa thức bậc n cho tam thức bậc 2.
Giải phương trình bậc 4 tổng quát
Ứng dụng số phức, giải phương trình bậc ba
Điều bí mật quanh sự ra đời của Công thức L'Hospital
Ai là người tìm ra công thức Taylor – Maclaurin?

Top RatedTrang

Bài viết
Bài giảng
- Giải tích 1
  - Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol
  - Chia một đa thức cho tam thức bậc 2
  - Giới hạn của hàm số (Limit of a function)
  - Vô cùng bé (infinitesimal)
  - Đạo hàm và vi phân của hàm số (derivative and differential of a function)
  - Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)
  - Khảo sát đường cong tham số
  - Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)
  - Tích phân hàm vô tỉ (Integrals involving roots)
  - Tích phân suy rộng (Improper Integrals)
  - Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)
  - Chuỗi số dương (Infinitive Series)
  - Chuỗi Fourier
  - Chuỗi Fourier Sine và Cosine
- Giải tích 2
  - Khái niệm mở đầu về hàm nhiều biến
  - Giới hạn của hàm hai biến số
  - Đạo hàm riêng
  - Hàm số khả vi và vi phân toàn phần
  - Đạo hàm của hàm hợp
  - Đạo hàm hàm số ẩn
  - Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến
  - Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)
  - Các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân
  - Phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp cấp 1
  - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (linear second-order ordinary differential equation)
  - Ứng dụng chuỗi số giải phương trình vi phân
  - Tích phân hai lớp (Tích phân kép)
  - Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến
  - Tích phân đường theo tọa độ (Tp đường loại 2)
  - Số phức (Complex Number)
- Đại số tuyến tính (Linear Algebra)
  - Tập hợp
  - Khái niệm về ma trận
  - Ma trận bậc thang (Echelon matrix)
  - Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)
  - Thuật toán tìm ma trận bậc thang
  - Định thức (Determinants)
  - Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)
  - Khái niệm về ánh xạ tuyến tính
  - Không gian vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)
  - Trị riêng, vectơ riêng của ma trận (Eigenvalues and Eigenvectors)
  - Dạng toàn phương
- Xác suất thống kê
  - Bổ túc về Giải tích Tổ hợp
  - Biến cố và quan hệ giữa các biến cố
  - Các định nghĩa của xác suất
  - Xác suất có điều kiện
  - Đại lượng ngẫu nhiên 1 chiều
  - Một số quy luật phân phối xác suất rời rạc
  - Ước lượng tham số của tổng thể
  - Kiểm định giả thiết
Bài tập
Trắc nghiệm
Video bài giảng
- Bài giảng sơ lược về đường cong tham số
- Video Bài giảng sơ lược về tọa độ cực
- Video Bài giảng sơ lược về đạo hàm riêng
Thảo luận
- Thảo luận (tiếp theo)
- Thảo luận chung (tt)
- Thảo luận về giải tích
  - Thảo luận Giải tích – Trang 2
- Thảo luận ĐSTT
  - Trang 2
  - Trang 3
- Thảo luận XSTK
  - Trang 2
- Thảo luận về tích phân bội
Ebooks
- Maths Ebooks
  - Giải tích – Đại số
  - XSTK – Phương pháp tính
  - Hàm phức – PDEs
  - Tài liệu khác
Softwares
Sitemap

Tìm Sổ blog

Discuss
Get Inspired
Get Polling
Get Support
Learn WordPress.com
WordPress Planet
WordPress.com News

Chuỗi Fourier | Toán Cho Vật Lý

1. Các kết quả:

2. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier:

Đánh giá:

Chia sẻ:

24 responses to “Chuỗi Fourier”

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Chuỗi Fourier – Wikipedia Tiếng Việt

Biến đổi Fourier – Wikipedia Tiếng Việt

Chuỗi Fourier Là Gì? Chi Tiết Về Chuỗi Fourier Mới Nhất 2021

Sự Khác Biệt Giữa Fourier Series Và Fourier Transform - Khoa HọC

Fourier Là Gì

Loạt Fourier Là Gì? Xem Xong 5 Phút Hiểu Luôn. - Tintuctuyensinh

Chuỗi Fourier: Lịch Sử Và ảnh Hưởng Của Một Cơ Chế Toán Học đối ...

BIẾN ĐỔI FOURIER - TickLab

[PDF] Chuỗi Fourier Và Tích Phân Fourier - DANG TUAN HIEP

Fourier Là Gì - Tại Sao Biến Đổi Fourier Lại Quan Trọng Như Vậy

Chuỗi Fourier | Maths 4 Physics & More...

Chuỗi Fourier - Wiki Tiếng Việt - Du Học Trung Quốc

[PDF] Phần 1: Giải Tích Fourier

Định Nghĩa Fourier Series Là Gì?

Liên Hệ