Chuỗi Lũy Thừa Hình Thức – Wikipedia Tiếng Việt

Giải tích toán học → Giải tích phức
Giải tích phức
Số phức
Số thực Số ảo Mặt phẳng phức Số phức liên hợp Số phức đơn vị
Hàm số phức
Hàm giải tích Hàm chỉnh hình Phương trình Cauchy–Riemann Chuỗi lũy thừa hình thức
Lý thuyết cơ bản
Không điểm và cực điểm Định lý tích phân Cauchy Nguyên hàm địa phương Công thức tích phân Cauchy Số quấn Chuỗi Laurent Điểm kỳ dị cô lập Định lý thặng dư Ánh xạ bảo giác Bổ đề Schwarz Hàm điều hòa Phương trình Laplace
Nhân vật
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Bernhard Riemann Karl Weierstrass
Cổng thông tin Toán học
x t s

Trong toán học, một chuỗi lũy thừa hình thức là một sự khái quát của đa thức, trong đó số các số hạng có thể là vô hạn mà không có yêu cầu nào về sự hội tụ.

Vành các chuỗi lũy thừa hình thức

[sửa | sửa mã nguồn]

Vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến X với hệ số trong vành giao hoán R được ký hiệu là R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} .

Cấu trúc vành

[sửa | sửa mã nguồn]

Một phần tử của R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} có thể được coi như một phần tử của R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} . Ta định nghĩa phép cộng

( a n ) n ∈ N + ( b n ) n ∈ N = ( a n + b n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}

và phép nhân

( a n ) n ∈ N × ( b n ) n ∈ N = ( ∑ k = 0 n a k b n − k ) n ∈ N . {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.}

Phép nhân này khác với phép nhân từng số hạng. Nó được gọi là tích Cauchy của hai chuỗi hệ số, và là một loại tích chập rời rạc. Với các phép toán này, R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} trở thành một vành giao hoán với phần tử không ( 0 , 0 , 0 , … ) {\displaystyle (0,0,0,\ldots )} và đơn vị ( 1 , 0 , 0 , … ) {\displaystyle (1,0,0,\ldots )} .

Cấu trúc tô pô

[sửa | sửa mã nguồn]

Theo qui ước

( a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , … ) = ∑ i = 0 ∞ a i X i , ( 1 ) {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\qquad (1)}

một cấu trúc tô-pô trên vành các chuỗi lũy thừa hình thức được xác định bởi một cấu trúc tô-pô trên R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} . Có nhiều định nghĩa tương đương.

• Chúng ta có thể gán cho R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} tô pô tích, với mỗi bản sao của R {\displaystyle R} mang tô pô rời rạc.
• Ta cũng có thể gán cho nó tô-pô cảm sinh từ metric sau. Khoảng cách hai chuỗi phân biệt ( a n ) , ( b n ) ∈ R N , {\displaystyle (a_{n}),(b_{n})\in R^{\mathbb {N} },} được định nghĩa là

d ( ( a n ) , ( b n ) ) = 2 − k , {\displaystyle d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},} với k {\displaystyle k} là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho a k ≠ b k {\displaystyle a_{k}\neq b_{k}} .

Ví dụ

[sửa | sửa mã nguồn]

Lưu ý rằng trong R [ [ X ] ] {\displaystyle \mathbb {R} [[X]]} giới hạn

lim n → ∞ ( 1 + X n ) n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {X}{n}}\right)^{\!n}}

không tồn tại, vì vậy, nó không hội tụ tới

exp ⁡ ( X )   =   ∑ n ∈ N X n n ! . {\displaystyle \exp(X)\ =\ \sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {X^{n}}{n!}}.}

Các phép toán khác

[sửa | sửa mã nguồn]

Lũy thừa

[sửa | sửa mã nguồn]

Với một số tự nhiên n ta có

( ∑ k = 0 ∞ a k X k ) n = ∑ m = 0 ∞ c m X m , {\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{\!n}=\,\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m},}

trong đó

c 0 = a 0 n , c m = 1 m a 0 ∑ k = 1 m ( k n − m + k ) a k c m − k ,       m ≥ 1. {\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=a_{0}^{n},\\c_{m}&={\frac {1}{ma_{0}}}\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k},\ \ \ m\geq 1.\end{aligned}}}

Nghịch đảo

[sửa | sửa mã nguồn]

Chuỗi

A = ∑ n = 0 ∞ a n X n ∈ R [ [ X ] ] {\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}

là khả nghịch trong R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} hệ số hằng a 0 {\displaystyle a_{0}} là khả nghịch. Chuỗi nghịch đảo B {\displaystyle B} có thể được tính qua công thức đệ quy tường minh

b 0 = 1 a 0 , b n = − 1 a 0 ∑ i = 1 n a i b n − i ,       n ≥ 1. {\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\ \ \ n\geq 1.\end{aligned}}}

Một trường hợp đặc biệt là công thức chuỗi cấp số nhân được thỏa mãn trong R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} :

( 1 − X ) − 1 = ∑ n = 0 ∞ X n . {\displaystyle (1-X)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}.}

Hợp

[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hai chuỗi lũy thừa hình thức

f ( X ) = ∑ n = 1 ∞ a n X n = a 1 X + a 2 X 2 + ⋯ {\displaystyle f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots } g ( X ) = ∑ n = 0 ∞ b n X n = b 0 + b 1 X + b 2 X 2 + ⋯ , {\displaystyle g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots ,}

ta có thể định nghĩa phép hợp

g ( f ( X ) ) = ∑ n = 0 ∞ b n ( f ( X ) ) n = ∑ n = 0 ∞ c n X n , {\displaystyle g(f(X))=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(f(X))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}

với

c n := ∑ k ∈ N , | j | = n b k a j 1 a j 2 ⋯ a j k . {\displaystyle c_{n}:=\sum _{k\in \mathbb {N} ,|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j_{k}}.}

Tổng này được lấy trên tất cả các cặp (k,j) với k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } và j ∈ N + k {\displaystyle j\in \mathbb {N} _{+}^{k}} sao cho | j | := j 1 + ⋯ + j k = n . {\displaystyle |j|:=j_{1}+\cdots +j_{k}=n.}

Đạo hàm hình thức

[sửa | sửa mã nguồn]

Cho một chuỗi lũy thừa hình thức

f = ∑ n ≥ 0 a n X n ∈ R [ [ X ] ] , {\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}

ta có thể xác định đạo hàm hình thức của nó, ký hiệu là Df hoặc f' , bởi

D f = f ′ = ∑ n ≥ 1 a n n X n − 1 . {\displaystyle Df=f'=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.}

Tính chất

[sửa | sửa mã nguồn]

Tính chất đại số của vành các chuỗi lũy thừa hình thức

[sửa | sửa mã nguồn]

Tính chất tô pô

[sửa | sửa mã nguồn]

Không gian metric ( R [ [ X ] ] , d ) {\displaystyle (R[[X]],d)} là hoàn chỉnh

Vành R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} là compact khi và chỉ khi R là hữu hạn.

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

• Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 137. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007.
• Nicolas Bourbaki: Đại số, IV, §4. Springer-Verlag 1988.

Đọc thêm

[sửa | sửa mã nguồn]

• W. Kuich. Springer, Berlin, 1997, ISBN 3-540-60420-0
• Droste, M., & Kuich, W. (2009). doi:10.1007/978-3-642-01492-5_1