Chương 3: Nội Suy Và Bình Phương Cực Tiểu - Nguyễn Quốc Lân

Có thể bạn quan tâm

Trang chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Liên hệ

Thư Viện Tài Liệu, Ebook, Giáo Án, Bài Giảng

Thư viện tài liệu, giáo trình, giáo án, bài giảng, đồ án, luận văn tham khảo cho học sinh, sinh viên

Bài giảng Phương pháp tính - Chương 3: Nội suy và bình phương cực tiểu - Nguyễn Quốc Lân

1- NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE

2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE

3- NỘI SUY NEWTON (MỐC CÁCH ĐỀU)

4- NỘI SUY GHÉP TRƠN (SPLINE) BẬC BA

5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

26 trang | Chia sẻ: phuongt97 | Lượt xem: 1745 | Lượt tải: 1

Bạn đang xem trước 20 trang nội dung tài liệu Bài giảng Phương pháp tính - Chương 3: Nội suy và bình phương cực tiểu - Nguyễn Quốc Lân, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênBỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK 2 0506 CHƯƠNG 3 NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂUTS. NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006) NỘI DUNG--------------------------------------------------------------------------------------------------------------1- NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU3- NỘI SUY NEWTON (MỐC CÁCH ĐỀU)4- NỘI SUY GHÉP TRƠN (SPLINE) BẬC BABÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------xk : mốc nội suy, yk : giá trị (hàm) nội suy Từ bảng này, nội suy giá trị ybảng tại điểm x = ? Moác noäi suyx0 x1 x =   xk xn-1 xn Giaù trò noäi suyy0 y1 y = ?yn-1 yn Nội suy đa thức: Xác định đa thức y = P(x) thoả điều kiện nội suy P(xk) = yk, k = 0 n  ybảng  P() Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp dữ liệu { (xk, yk) }, k = 0  nNỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bảng chứa (n+1) cặp số liệu {(xk,yk)} , k = 0  n ! đa thức L(x), bậc  n, thoả đ/kiện nội suy L(xk) = yk, k = 0 n Cách 1: 3 mốc  n = 2  L(x) = ax2 + bx + c (3 hệ số cần tìm)Tìm đa thức nội suy Minh hoạ bảng 3 dữ liệu: {(xk,yk)} , k=02 Tại x = 3, ybảng ? Moác noäi suy xk 22.54Giaù Trò noäi suy yk 0.50.40.25ybảng  L(3) = 0.325VÍ DỤ SAI SỐ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Sai số:Giải: Kết quả: Nhắc lại: Sai số: luôn làm tròn lên! Ước lượng sai số của việc xấp xỉ giá trị bằng đa thức nội suy Lagrange bậc hai hàm y = xây dựng tại các mốc x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144. Yêu cầu: Làm tròn kết quả (sai số) đến chữ số lẻ thứ 4NHIỀU MỐC  ĐA THỨC NỘI SUY CƠ SỞ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đa thức nội suy cơ sở tại xk: Lk(xk) = 1, Lk(xi) = 0  i  kĐa thức nội suy: L(x) = 0.5L0(x) + 0.4L1(x) + 0.25L2(x)Moác NS 22.54Giaù Trò NS0.50.40.25ÑTNSCS L0(x) 100ÑTNSCS L1(x)010ÑTNSCS L2(x)001Thiết lập công thức tổng quát với (n + 1) mốc {(xk, yk)}?3 mốc  3 ĐT NSCSCÔNG THỨC TỔNG QUÁT ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(n+1) mốc  (n+1) đa thức nội suy cơ sở. Đa thức nội suy cơ sở Lk(x) tại xk (k = 0 n): Lk(xk) = 1, Lk(xi) = 0  i  k:Ưu điểm: Công thức tổng quát cho đa thức nội suy L(x)Chỉ phụ thuộc bộ mốc {xk} (0  k  n), không phụ thuộc ykVÍ DỤ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bảng 4 mốc 1, 2, 3, 4 ; 4 giá trị 5, 7, 8, 9. Viết ra biểu thức các đa thức nội suy cơ sở. Tính giá trị bảng tại x = 3.5?Viết biểu thức Lk(x) (Không tính!) Thay x  Giá trịNỘI SUY NEWTON – MỐC CÁCH ĐỀU -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bảng {(xk,yk)} , k = 0  n, mốc nội suy cách đều: x0, x1 = x0 + h, x2 = x1 + h xn = xn-1 + h. Lập bảng sai phân :Moác NSGtrò NS x0 y0 x1 y1 x2 y2 x3 y3 2yk = yk+1 – yk Cấp 1: yk = yk+1 – ykVí dụ: y0 = y1 – y0 xkyky2y122437VD: Bảng sai phân 3 mốc (cách đều) ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đa thức nội suy Newton tiến: x x0 (đầu bảng)  x = x0 +th  Đa thức nội suy tiến:Đa thức nội suy Newton lùi: x  xn (cuối bảng) x = xn + th  Đa thức nội suy lùi:Đa thức theo t & Sai phân nằm trên đường chéo tiếnSai phân nằm trên đường chéo lùi (từ cuối bảng đi lên)VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cho bảng giá trị sinx từ 15  55. Xây dựng đa thức nội suy tiến (lùi) cấp 3 & tính sin16 (sin54)xyy 2y 3y 150.2588200.3420250.4226300.5350.5736400.6428450.7071500.7660550.8192VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tất cả sai phân: Nội suy Newton  Lagrange!Đa thức nội suy tiến: x  15x = 16 t = 0.2  N1(0.2) = 0. 2756sin16 = 0. 2756Đa thức nội suy lùi: x  55x = 54 t = –0.2  N2(–0.2) = 0.80903 sin54 = 0. 8090Câu hỏi: Tính tại x = 54 với Nội suy tiến. Nhận xét?HIỆN TƯỢNG RUNGE ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nội suy hàm f(x) = 1/(1+ 25x2), x  [-1, 1] bằng đa thức nội suy, 5 mốc cách đều. Tính L(0.95), so sánh giá trị tính được với giá trị chính xác f(0.95)Lập bảng nội suy: 5 mốc cách đều trên [–1, 1] x0 = –1, x1 = –0.5, x2 = 0, x3 = 0.5, x4 = 1 & yk = f(xk) Giá trị L(0.95) = Giá trị chính xác f(0.95) = 0.04 xk–1 –0.5 0.0.51.ykKẾT QUẢ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------So sánh đồ thị hàm ban đầu f(x) và đa thức nội suy P4(x) Tăng số nút có thể khiến sai số tăng!NỘI SUY GHÉP TRƠN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nội suy Lagrange: Bậc quá lớn  Đồ thị phức tạpThay đa thức nội suy bậc n bằng đa thức nội suy bậc thấp (bậc 1, 2, 3 ) trên từng đoạn [xk, xk+1], k = 0 n – 1 Ý TƯỞNG NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------XÂY DỰNG HÀM NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tìm hàm bậc 3 trên từng đoạn, liên tục và có đạo hàm đến cấp 2 nội suy bảng số liệu sau: Hàm nội suy:Dạng thuận tiện hơn:x123y23–4 NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1/ Hàm dạng bậc 3 trên từng đoạn [xk,xk+1], k = 0  n –12/ Điều kiện nội suy: S(xk) = yk, k = 0, 1 n 3/ Ghép trơn: 4/ Điều kiện biên tự nhiên: S’’(x0) = S’’(xn) = 0 GIẢI THUẬT NỘI SUY SPLINE BẬC 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------I/ Độ dài hk = xk+1 – xk, k = 0 n –1. Hệ số ak = yk, k = 0 n Bước III:II/ c = [c0, cn]T là nghiệm (cn = S’’(xn)/2) hệ Ac = e với VÍ DỤ NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lập hàm nội suy spline bậc 3 g(x) thoả điều kiện biên tự nhiên và nội suy bảng sauBước I: Độ dài bước chia Moác NSx0 = 1 x1 = 2 x2 = 3 x3 = 4 Giaù trò NSy0 = 2 y1 = 1 y2 = 3 y3 = 2 Hàm spline Hệ số: BẢNG TÍNH NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bước II: c3 = g”(x3)/2  c = [c0, c1, c2, c3]T là nghiệm khk ak bk ek ck dk 012001112133200III/ bk, dk, 0  k  2: BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU ----------------------------------------------------------------------------------------------------------Thực nghiệm: Thống kê lượng mưa 12 tháng & vẽ đồ thịThaùng12345678Löôïng möa550665540580610605570PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU (BPCT) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nhiều dữ liệu & yk có sai số: Aùp đặt L(xk) = yk: vô nghĩa! Giải quyết: h(x) xấp xỉ bảng {(xk, yk)} theo nghĩa BPCT TRƯỜNG HỢP TUYẾN TÍNH ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------h tuyến tính: h(x) = ax + b Điểm dừng: Giải hệ 2 phương trình 2 ẩn tìm a, b. So với đường cong y = h1(x)  Tổng S =  (h1(xk) – yk)2: càng bé càng tốt VD: Tìm hàm bậc 1 xấp xỉ bảng sau theo nghĩa BPCT xk12345678910yk1.33.54.25.07.08.810.112.513.15.6ĐA THỨC BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU BẬC CAO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------h(x) = ax2 + bx + c Điểm dừng: Tổng quát: Điểm dừng hàm tổng bình phương độ lệchh = ax2 + bxHÀM MŨ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD: Xấp xỉ bảng số với p/pháp bình phương cực tiểu y = h(x) = beax  lny = ax + lnb  Tương quan bậc 1 giữa lnyk & xk. Lập bảng {(xk, lnyk)} xác định a & lnb. kxkyklnykxk2xklnyk11.005.101.6291.00001.62921.255.791.7561.56252.19531.506.531.8762.25002.81441.757.452.0083.06253.51452.008.462.1354.00004.2707.509.40411.87514.422

Các file đính kèm theo tài liệu này:

bai_giang_phuong_phap_tinh_chuong_3_noi_suy_va_binh_phuong_c.ppt

Tài liệu liên quan

Giáo án Đại số lớp 9 - Tiết 38 Luyện tập
6 trang | Lượt xem: 1885 | Lượt tải: 0
Lý thuyết tổ hợp - Mô hình hồi qui đơn giản
59 trang | Lượt xem: 1053 | Lượt tải: 0
Giáo án toán học - LUYỆN TẬPCỘNG PHÂN SỐ
4 trang | Lượt xem: 1518 | Lượt tải: 0
Bài giảng toan học - Rút gọn phân số
5 trang | Lượt xem: 1658 | Lượt tải: 0
Bài giảng Tích phân mặt
38 trang | Lượt xem: 2245 | Lượt tải: 1
Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông
126 trang | Lượt xem: 1149 | Lượt tải: 0
Toán - Tập hợp
10 trang | Lượt xem: 922 | Lượt tải: 1
Giáo án hình học lớp 7 -Tiên đề ơ-clit về đường thẳng song song
6 trang | Lượt xem: 1534 | Lượt tải: 0
Giáo án hình học - Tiết 22,23:bảng sốliệu thống kê và các số đặc trưng
4 trang | Lượt xem: 1356 | Lượt tải: 0
HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI
7 trang | Lượt xem: 1634 | Lượt tải: 0