Chương 4: Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Trong Miền Tần Số Rời Rạc

Trang chủ Tìm kiếm Trang chủ Tìm kiếm Chương 4: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số rời rạc ppt 50 3 MB 0 10 4 ( 13 lượt) Xem tài liệu Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu Tải về Đang chuẩn bị: 60 Bắt đầu tải xuống Để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên Chủ đề liên quan Xử lý tín hiệu số Biểu diễn tín hiệu hệ thống miền tần số rời rạc khái niệm DFT Biến đổi Fourier rời rạc

Nội dung

Chương 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC 4.1 KHÁI NiỆM DFT 4.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) 4.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT 4.4 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI Z & FT TỪ DFT 4.5 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)  1 4.1 KHÁI NiỆM DFT  Biến đổi Fourier dãy x(n): X ( e j )   x( n )e  jn n  X() có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:   Tần số  liên tục Độ dài x(n) là vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞ Khi xử lý X() trên thiết bị, máy tính cần:  Rời rạc tần số  ->  K  Độ dài x(n) hữu hạn là N: n = 0  N -1  Biến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần số rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFT (Discrete Fourier Transform)  2  DFT của x(n) có độ dài N định nghĩa: 2 N  1  j kn   x(n)e N : 0 k  N  1 X (k )  n 0 0 : k còn lại  WN  N  1 kn x ( n ) W  N : 0 k  N  1 X (k )  n0 0 : k còn lại  2  j e N WN tuần hoàn với độ dài N: WN( r mN ) e  j 2 ( r mN ) N e  j 2 r N WNr  3  X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument: X (k )  X (k ) e j ( k ) Trong đó:   X (k ) - phổ rời rạc biên độ  (k ) arg[ X (k )] - phổ rời rạc pha 1  IDFT: x(n)  N 0  N1  X ( k )e j 2 kn N : 0 n  N  1 k 0 : n còn lại Cặp biến đổi Fourier rời rạc: N1  kn X ( k )  x ( n ) W : 0 k  N  1  N   n 0  N1 1  x( n)  X (k )WN kn : 0 n  N  1   N k 0   4   Ví dụ 4.2.1: Tìm DFT của dãy: x(n)  1 ,2,3,4 3 X ( k )   x( n)W n 0 kn 4 1 4 W e  j 2 4 2 4 3 4  j; W  1;W  j 3 X (0)  x(n)W40  x(0)  x(1)  x(2)  x(3) 10 n 0 3 X (1)  x(n)W4n  x(0)  x(1)W41  x(2)W42  x(3)W43  2  j 2 n 0 3 X (2)  x(n)W42 n  x(0)  x(1)W42  x(2)W44  x(3)W46  2 n 0 3 X (3)  x(n)W43 n  x(0)  x(1)W43  x(2)W46  x(3)W49  2  j 2 n 0  5 Ví dụ: 4.2.2: a) Tìm FT của dãy x(n)=an u(n), với /a/m:  Xác định x2(-m)4:  14 x2(m) x2(-m) 4 3 2 1 4 3 2 1 m 0 1 2 x~ 2 (  m ) -3 -2 -1 0 3 m -3 -2 -1 0 x2 (  m )4  x~2 (  m )rect4 ( n) 4 3 2 1 m 1 2 3 4 4 3 2 1 0 m 1 2 3  15  Xác định x2(n-m) là dịch vòng của x2(-m) đi n đơn vị với 3  n  0 x2(-m)4 x2(1-m)4 4 3 2 1 0 m 1 2 4 3 2 1 3 0 1 x2(2-m)4 m 2 2 3 x2(3-m)4 4 3 2 1 0 1 m 3 4 3 2 1 m 0 1 2 3  16 Nhân các mẫu x1(m) & x2(n-m) và cộng lại:   n=0: 3 x3 ( n )4   x1 ( m )4 x2 ( n  m )4 : 0 n 3 m 0 3 x3 ( 0 )4   x1 ( m )4 x2 ( 0  m )4 26 m 0  n=1: 3 x3 (1 )4   x1 ( m )4 x2 (1  m )4 23 m 0  n=2: 3 x3 ( 2 )4   x1 ( m )4 x2 ( 2  m )4 16 m 0  n=3: 3 x3 ( 3 )4   x1 ( m )4 x2 ( 3  m )4 25 m 0 Vậy:  17 Ví dụ 4.3.3: Tìm chập vòng 2 dãy x1(n)=x2(n)=rectN(n) N1  Biến đổi DFT 2 dãy: X 1 (k )  X 2 (k )   x1 (n)W n 0 k 0 : kn N1   WNkn n 0 N1 X 1 (0)   W 0  N n 0 N1 k 0 : X 1 (k )   WNkn n 0 1  WNkN  0 k 1  WN  N : k 0 X 1 (k )   0: k   N 2 : k 0 X 3 (k )  X 1 (k ) X 2 (k )  0: k  1 x3 (n)  x1 (n)  x2 (n)  N N1  kn N  X 3 (k )W k 0  N : n 0   0: n   18 d) Tính đối xứng:   DFT x ( n )     X ( k )N Nếu: N Thì: DFT x ( n )N     X (  k )N e) Quan hệ Parseval:   DFT x ( n )     X ( k )N Nếu: N Thì: N1  n 0 x( n )N 2 1  N N1  X ( k )N 2 k 0  19 f) Chập tuyến tính sử dụng DFT:  Kết quả phép chập tuyến tính của 2 dãy x1(n)N1 và x2(n)N2 sẽ giống với chập vòng nếu thêm các mẫu 0 vào sau các dãy x1(n) và x2(n) để có chiều dài tối thiểu là N1+N2 - 1: x1(n)N1 * x2(n)N2 = x1(n)N1+N2 -1  x2(n) N1+N2 -1  Lưu đồ phép chập tuyến tính thông qua DFT được mô tả: x1(n)N1+N2 -1 DFT X1(k) x x2(n)N1+N2 -1 DFT X3(k) IDFT x3(n)N1+N2 -1 X2(k)  20  Ví dụ 4.3.4: Cho 2 dãy x1(n)=x2(n)=rect3(n)  Hãy tìm x3(n)=x1(n)*x2(n) và x3(n)=x1(n)5  x2(n)5  Chập tuyến tính của 2 dãy: x3 (n)  x1 (n)  x2 (n) {1,2,3,2,1}   Kết quả sẽ tương tự đối với phép chập vòng nếu thêm vài mẫu 0 vào sau 2 dãy x1(n) và x2(n) để có độ dài tối thiểu là 5: x1 (n)5 {1,1,1,0,0} và x2 (n)5 {1,1,1,0,0}   x3 (n)5  x1 (n)5  x2 (n)5 {1,2,3,2,1}   21 4.4.1 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI Z   N1 Biến đổi Z của dãy x(n) có độ dài N: X ( z )   x ( n) z  n n 0 1 Biến đổi IDFT của X(k) là: x(n)  N N1 X ( z )   x ( n) z n 0 1 X ( z)  N n N1 1   n 0  N N1 N1 k 0 n 0 N1  X (k )W k 0  k 1 n N  X (k ) N  W z  kn N  1  N N1 N1  kn X ( k ) W  N k 0  n z    k 1 N N  k 1 N 1 W z  X (k ) N 1  W z k 0  (1  z  N ) N  1 X (k ) N X ( z)   (1  W  k z  1 ) N k 0 N  22 4.4.2 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI FOURIER  Mối quan hệ giữa biến đổi Z & FT: X (e j )  X ( z ) z e j  Theo mối quan hệ giữa ZT & DFT: (1  z  N ) N  1 X (k ) X ( z)   (1  W  k z  1 ) N k 0 N (1  e  jN ) N  1 X (e )   N k 0 X (k ) N j  Do: 1  e  jx e  j x 2 (e j x 2 (1  e e  j j( x 2 2 k ) N ) )  j 2e  j x 2 sin x 2 N  N1   N1  j  k  1 j 2 N  2  X (e )   X ( k ) N e   N k 0 sin(  k ) 2 N sin  23 4.5.1 KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT  Vào những năm thập kỷ 60, khi công nghệ vi xử lý phát triển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trên máy tương đối chậm, do số phép nhân phức tương đối lớn. N1  kn DFT của x(n) có độ dài N: X (k )   x(n)WN : 0 k  N  1 n 0  Để tính X(k), ứng với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và (N-1) phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N2 phép nhân và N(N-1) phép cộng.  Để khắc phục về mặt tốc độ xử lý của phép tính DFT, nhiều tác giả đã đưa ra các thuật tóan riêng dựa trên DFT gọi là FFT (Fast Fourier Transform).  24 a. THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN  Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2M, nếu không có dạng lũy thừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n).  Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy vào x(n) thành các dãy nhỏ, do biến n biểu thị cho trục thời gian nên gọi là phân chia theo thời gian. N1 N1 N1 n 0 n 0 ,2,4... n 1,3,5... X ( k )   x( n )WNkn   kn x ( n ) W  N  kn x ( n ) W  N Thay n=2r với n chẵn và n=2r+1 với n lẽ: ( N / 2 ) 1 X( k )   r 0 x( 2r )WN2 kr ( N / 2 ) 1   x( 2r  1 )WNk ( 2 r 1 ) r 0  25 Do: WNk 2 r e j 2 k 2r N ( N / 2 ) 1 X( k )   e j 2 kr N/2 ( N / 2 ) 1 x( 2r )WNkr/ 2  WNk . r 0 ( N / 2 ) 1 Đặt: X 0 ( k )   WNkr/ 2  x( 2r  1 )WNkr/ 2 r 0 x( 2r )WNkr/ 2 ( N / 2 ) 1 X 1( k )  r 0  x( 2r  1 )WNkr/ 2 r 0 X ( k )  X 0 ( k )  W Nk . X 1 ( k )  X0(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n chẵn  X1(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n lẽ  Lấy ví dụ minh họa cho x(n) với N=8  26  Phân chia DFT- N điểm -> 2 DFT- N/2 điểm; X0(0) x(0) n chẵn x(2) x(4) x(6) DFT N/2 điểm n lẽ x(5) x(7) X0(2) X0(3) X1(0) x(1) x(3) X0(1) DFT N/2 điểm X1(1) X1(2) X1(3) W4 W5 W6 W7 W 0 W 1 W 2 W 3 X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) Qui ước cách tính X(k) theo lưu đồ: - Nhánh ra của 1 nút bằng tổng các nhánh vào nút đó - Giá trị mỗi nhánh bằng giá trị nút xuất phát nhân hệ số   27   Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu x(n), tiếp tục phân chia DFT của N/2 điểm thành 2 DFT của N/4 điểm theo chỉ số n chẵn và lẽ và cứ thế tiếp tục phân chia cho đến khi nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại. Ví dụ X0(k) được phân chia: ( N / 2 ) 1 X 0( k )   ( N / 2 ) 1 x( 2r )WNkr/ 2  r 0 r 0 ( N / 2 ) 1   r 0 ,2 ,4... ( N / 4 ) 1    g ( r )WNkr/ 2 g( r )WNkr/ 2 ( N / 2 ) 1   g ( r )WNkr/ 2 r 1,3 ,5... g( 2l )WNkl/ 4  WNk / 2 l 0 ( N / 4 ) 1  g ( 2l  1 )WNkl/ 4 l 0  X 00 ( k )  WNk / 2 .X 01( k )  28  Phân chia DFT- N/2 điểm -> 2 DFT- N/4 điểm của X0(k) x(0) x(4) x(2) x(6) DFT N/4 DFT N/4 X00(0) X00(1) W0N/2 X01(0) W1N/2 X01(1) X 1( k )  X 10 ( k )  WNk / 2 .X 11( k )  X0(0) W 2 W 3 X0(1) X0(2) N/2 X0(3) N/2 Phân chia X1(k) tương tự: x(1) x(5) x(3) x(7) DFT N/4 DFT N/4 X10(0) X1(0) X10(1) W0N/2 X11(0) W1N/2 X11(1) W 2 W 3 X1(1) X1(2) N/2 X1(3) N/2  29  Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 2 lần phân chia với N=8 x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7)  DFT N/4 DFT N/4 DFT N/4 DFT N/4 Lưu đồ DFT 2 điểm: X00(0) X00(1) X01(0) X01(1) X10(0) X10(1) X11(0) X11(1) W0 W 0 W2 W 1 W4 W 2 W W 3 6 W 0 W 4 W 2 W 5 W 4 W 6 W 6 W 7 x(0) x(4) X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) X00(0) W0N = 1 WN N/2 =-1 X00(1)  30  Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8 x(0) x(4) x(2) x(6) -1 -1 x(1) x(5) -1 x(3) x(7) -1 Xm(p) Xm+1(p) W 0 W 0 W 2 W 1 W 4 W 2 W 6 W 3 W 0 W W 2 W5 W W6 W 6 W7 Xm(q) Xm+1(q) WN(r+N/2) = - WNr Xm(q) X(2) X(3) X(5) X(6) X(7) Xm(p) Wr N X(1) X(4) 4 4 X(0) Xm+1(p) Wr N -1 Xm+1(q)  31 Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8  x(0) X(0) x(4) X(1) x(2) Đảo bít x(6) -1 W2 -1  X(3) -1 W0 W1 -1 x(3) x(7) X(2) -1 x(1) x(5)  W0 W2 -1 W2 W0 -1 -1 W3 -1 -1 -1 -1 X(4) X(5) X(6) X(7) Với N=2M -> M lần phân chia Số phép nhân = số phép cộng = NM/2=(N/2)log2N  32  Bảng mô tả qui luật đảo bít: Chỉ số Số nhị phân chưa đảo Số nhị phân đảo Chỉ số (n2,n1,n0) (n0,n1,n2) tự nhiên đảo 0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111 000 100 010 110 001 101 011 111 0 4 2 6 1 5 3 7  33 Ví dụ 4.5.1: Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo t/ g x(0) X(0) x(2) X(1) -1 x(1) x(3) W0 W -1 1 -1 -1 X(2) X(3)  k=0: X(0) = [x(0) + x(2)] + W0[x(1) + x(3)] = 10.  k=1: X(1) = [x(0) - x(2)] + W1[x(1) - x(3)] = - 2 + j2.  k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - W0[x(1) + x(3)] = - 2.  k=3: X(3) = [x(0) - x(2)] - W1[x(1) - x(3)] = - 2 - j2.  34 b. THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO TẦN SỐ  Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy ra X(k) thành các dãy nhỏ, do biến k biểu thị cho trục tần số nên gọi là phân chia theo tần số. X( k N1 ( N / 2 ) 1 kn )  x( n )WN  x( n )WNkn n 0 n 0  ( N / 2 ) 1   n 0 ( N / 2 ) 1    x( n )WNkn  ( N / 2 ) 1     x( n )WNkn n N / 2 x( n  N / 2 )WNk ( n N / 2 ) n 0 x( n )WNkn  WNkN / 2 n 0 ( N / 2 ) 1 N1 ( N / 2 ) 1  x( n  N / 2 )WNkn n 0   x( n )  (  1 ) x( n  N / 2 )W k kn N n 0  35  Với k chẵn, thay k=2r: ( N / 2 ) 1   x( n )  x( n  N / 2 )WNrn/ 2 X ( 2r )  n 0  Với k lẽ, thay k=2r+1 ( N / 2 ) 1 X ( 2r  1 )    x( n )  x( n  N / 2 )W W n N rn N/2 n 0  Đặt: g( n ) x( n )  x( n  N / 2 ); h( n ) x( n )  x( n  N / 2 ) ( N / 2 ) 1 X ( 2r )   n 0   g( n )WNrn/ 2 ( N / 2 ) 1 X ( 2r  1 )    h( n )W W n N rn N/2 n 0 X(2r) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k chẵn X(2r+1) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k lẽ  36  Phân chia DFT N=8 điểm -> 2 DFT N/2= 4 điểm g(0) x(0) g(1) x(1) g(3) x(3) x(5) x(6) x(7) DFT N/2 điểm g(2) x(2) x(4) X(0) -1 -1 -1 -1 h(0) W0 h(1) W1 h(2) W2 h(3) W 3 X(2) X(4) k chẵn X(6) X(1) DFT N/2 điểm X(3) X(5) k lẽ X(7)  37  Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu X(k), tiếp tục phân chia DFT của N/2 điểm thành 2 DFT của N/4 điểm theo chỉ số k chẵn và lẽ. Tiếp tục phân chia cho đến khi nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại.  Dữ liệu ra X(k) được sắp xếp theo thứ tự đảo bít, còn dữ liệu vào được sắp theo thứ tự tự nhiên.  Số phép nhân và phép cộng trong lưu đồ phân theo tần số bằng với số phép nhân và cộng trong lưu đồ phân theo thời gian.  38  Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8 x(0) X(0) x(1) X(4) W0 x(2) -1 x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) W0 -1 -1 -1 -1 -1 W2 -1 -1 X(6) X(1) W1 W2 W3 X(2) W0 -1 -1 -1 Đảo bít X(5) X(3) W2 -1 X(7)  39 Ví dụ 4.5.2: Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo t/s x(0) X(0) x(1) X(2) x(2) x(3) W -1 -1 0 -1 X(1) W1 -1 X(3)  k=0: X(0) = [x(0) + x(2)] + [x(1) + x(3)] = 10.  k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - [x(1) + x(3)] = - 2.  k=1: X(1) = [x(0) - x(2)] + W1[x(1) - x(3)] = - 2 + j2.  k=3: X(3) = [x(0) - x(2)] - W1[x(1) - x(3)] = - 2 - j2.  40 5.4.3 THUẬT TOÁN FFT VỚI N=N1N2   Giả thiết độ dài dãy x(n) có thể phân tích N=N1N2, nếu độ dài không thể biểu diễn dưới dạng trên thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n). Giả thiết dữ liệu vào được sắp xếp vào trong mảng theo thứ tự từng cột với số cột N1 và số hàng N2: n2 n1 0 1 … N1-1 0 x(0) x(N2) … x[N2(N1-1)] 1 x(1) x(N2+1) … x[N2(N2-1)+1] … … … … … N2-1 x(N2-1) x(2N2-1) … x[N1N2-1]  41   Lấy ví dụ sắp xếp dãy x(n) với N=12, chọn N1=3 và N2=4 n2 n1 0 1 2 0 x(0) x(4) x(8) 1 x(1) x(5) x(9) 2 x(2) x(6) x(10) 3 x(3) x(7) x(11) Các chỉ số n của 0x(n),  k ncủaX(k) xác định: 1  n = n1N2 + n2  k = k1 + k2N1 N1 0  n2  0  k1  N2 N1 0  N k2   42  DFT N điểm dãy x(n) được phân tích: N 2  1N1  1 X ( k )  X ( k1  k 2 N1 )    x( n2  n1 N 2 )WN( k1 k2 N1 )( n2 n1N 2 ) n2 0 n1 0 N 2  1N1  1  n k 2 1 W n1k1 N 2W n2 k 2 N1W n1k 2 N1 N 2 x ( n  n N ) W  2 1 2 N N N N n2 0 n1 0 Do : WNn1k1 N 2 WNn11k1 ;WNn22 k2 N1 WNn2 k2 ;WNn1k2 N1 N 2 1 N 2  1  N1  1  n k  n k  n1k1  X ( k )     x( n2  n1 N 2 )WN1  WN 2 1 WN 22 2  n2 0   n1 0  43 N1  1  Đặt: F ( n2 , k1 )   x( n2  n1 N 2 )WNn11k1 n1 0 G( n2 , k1 ) F ( n2 , k1 ).WNn2 k1 N2  1 X ( k )   G ( n2 , k1 )W Nn22k2 n2 0   Các bước tiến hành theo thuật tóan: Sắp xếp dữ liệu vào theo thứ tự từng cột, mảng x Tính DFT theo từng hàng mảng x, được F(n2,k1)  Tính mảng hệ số WNn2k1  Nhân mảng F(n2,k1) với WNn2k1, được G(n2,k1)  Tính DFT theo từng cột mảng G(n2,k1), được X(k)  Đọc dữ liệu ra theo thứ tự từng hàng X(k).  44 Ví dụ 4.5.3: Nêu các bước tính và vẽ lưu đồ thuật tóan FFT dãy x(n) với N=N1N2=12, chọn N1=3 và N2=4  Sắp xếp dữ liệu vào theo thứ tự từng cột như bảng: n2 n1 0 1 2 0 x(0) x(4) x(8) 1 x(1) x(5) x(9) 2 x(2) x(6) x(10) 3 x(3) x(7) x(11)  45  Tính DFT theo từng hàng mảng x, được F(n2,k1): N1  1 F ( n2 , k1 )   x( n2  n1 N 2 )WNn11k1 n1 0 n2 k1 0 1 2 0 F(0,0) F(0,1) F(0,2) 1 F(1,0) F(1,1) F(1,2) 2 F(2,0) F(2,1) F(2,2) 3 F(3,0) F(3,1) F(3,2)  46  Tính mảng hệ số WNn2k1 n2 k1 0 1 2 0 WN0 WN0 WN 0 1 WN0 WN1 WN 2 2 WN0 WN2 WN 4 3 WN0 WN3 WN 6  47  Nhân các phần tử mảng F(n2,k1) với các hệ số của mảng WNn2k1 tương ứng, được G(n2,k1) : Phần tử: G(ni,kj) = F(ni,kj). WNnikj n2 k1 0 1 2 0 G(0,0) G(0,1) G(0,2) 1 G(1,0) G(1,1) G(1,2) 2 G(2,0) G(2,1) G(2,2) 3 G(3,0) G(3,1) G(3,2)  48  Tính DFT theo từng cột mảng G(n2,k1), được X(k): N2  1 X ( k )  X ( k1  N1k 2 )   G( n2 , k1 )WNn22 k2 n2 0  k2 k1 0 1 2 0 X(0) X(1) X(2) 1 X(3) X(4) X(5) 2 X(6) X(7) X(8) 3 X(9) X(10) X(11) Đọc dữ liệu ra theo thứ tự từng hàng X(k)  49  Lưu đồ FFT dãy x(n) N=N1N2, với N1=3, N2=4: x(0) x(4) x(8) x(1) x(5) x(9) x(2) x(6) x(10) x(3) x(7) x(11) DFT N1 điểm DFT N1 điểm DFT N1 điểm DFT N1 điểm W0 DFT N2 điểm W 0 W 2 W 4 W 0 W 3 W 6 X(3) X(6) X(9) W1 W2 X(0) DFT N2 điểm X(1) X(4) X(7) X(10) X(2) DFT N2 điểm X(5) X(8) X(11)  50 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Tìm kiếm

Chủ đề

Đồ án tốt nghiệp Tài chính hành vi Bài tiểu luận mẫu Thực hành Excel Atlat Địa lí Việt Nam Đơn xin việc Giải phẫu sinh lý Đề thi mẫu TOEIC Mẫu sơ yếu lý lịch Lý thuyết Dow Hóa học 11 Trắc nghiệm Sinh 12 adblock ​ Bạn đang sử dụng trình chặn quảng cáo?

Nếu không có thu nhập từ quảng cáo, chúng tôi không thể tiếp tục tài trợ cho việc tạo nội dung cho bạn.

Tôi hiểu và đã tắt chặn quảng cáo cho trang web này