Chuyên đề 2 : Phương Trình Bậc Hai - Hệ Thức Vi-ét Và ứng Dụng

1/ Nhắc lại kiến thức. * Phương trình bậc hai là phương trình có dạng $$ax^2 + bx + c = 0 \quad (1)$$ trong đó $x$ là ẩn ; $a,b,c$ là các số cho trước gọi là hệ số và $a \ne 0$.

* Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2. Ta ký hiệu $\Delta = b^2 – 4ac$, gọi là biệt thức của phương trình.

• Nếu $\Delta > 0$, ta nói phương trình có hai nghiệm phân biệt $$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} ; x_2 = \dfrac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}$$. • Nếu $\Delta = 0$, ta nói phương trình có nghiệm kép $$x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}$$. • Nếu $\Delta < 0$, ta nói phương trình vô nghiệm.​

Ngoài ra ta còn có công thức nghiệm rút gọn, nhưng để đỡ phải nhớ thêm/đỡ phải nhầm lẫn thì mình sẽ không nhắc lại ở đây. Mình nghĩ tốt nhất ta dùng công thức nghiệm bình thường luôn nhé.

* Hệ thức Vi-ét. Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $(1)$ thì $$\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} \end{array} \right. .$$

* Để tìm hai số $u$ và $v$ khi biết tổng và tích của chúng, chẳng hạn $u+v = S$ và $uv = P$, ta giải phương trình $$x^2 – Sx + P = 0.$$ Khi đó $u$ và $v$ là hai nghiệm của phương trình trên.

* Các TH đặc biệt của phương trình bậc 2.

• Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $$x_1 = 1 ; x_2 = \dfrac{c}{a}.$$ • Nếu $a-b+c=0$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $$x_1 = -1 ; x_2 = -\dfrac{c}{a}.$$​

2/ Một số dạng toán cơ bản.

Sau đây mình xin tổng hợp một số dạng đề thường gặp trong bài thi. Sau khi đã làm quen với một số dạng đề thì ta sẽ bước vào phần bài tập nhé.

* Dạng 1. Giải phương trình với giá trị tham số $m$ nào đó.

Thông thường, dạng bài này khá dễ nên sẽ là cơ hội để các bạn ăn điểm trong đề thi. Hướng làm. Bước 1. Thay $m$ vào phương trình đã cho.

Bước 2. Giải phương trình vừa thu được bằng công thức nghiệm hoặc bằng các TH đặc biệt.​

* Dạng 2. Tìm $m$ để phương trình có một nghiệm $x$ có giá trị nào đó (và tìm nghiệm còn lại)

Hướng làm. Bước 1. Thay nghiệm $x$ đề cho vào phương trình.

Bước 2. Giải phương trình vừa thu được, tìm được $m$. Bước 3 (nếu có). Làm tương tự dạng 1 để tìm ra nghiệm còn lại.​

* Dạng 3. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm hay hai nghiệm phân biệt (và khác dấu/cùng dấu âm, dương).

– Để chứng minh phương trình luôn có nghiệm, ta sẽ tính $\Delta$ của phương trình chứng minh $\Delta \geqslant 0$. Đối vơi phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt thì ta sẽ chứng minh $\Delta > 0$. Thế chứng minh bằng cách nào ? Ta sẽ vận dụng các hẳng đẳng thức bậc $2$ để biến đổi $\Delta$ thành một bình phương cộng với một số nào đó và áp dụng tính chất bình phương của một số luôn không âm.

– Để chứng minh hai nghiệm của phương trình có hai nghiệm khác dấu/cùng dấu âm, dương/…, ta chỉ cần có vững kiến thức về mối liên hệ về dấu của hai số với tổng và tích của chúng (ví dụ, hai số khác dấu thì tích của chúng kiểu gì cũng âm ; hai số cùng dấu thì tích của chúng khi nào cũng dương, nếu chúng cùng âm thì tổng của chúng sẽ âm, còn nếu cùng dương thì tổng của chúng luôn dương, …). Cụ thể như sau :

• Khác dấu. Ta sẽ chứng minh $$P = x_1x_2 = \dfrac{c}{a} < 0$$ • Cùng dấu dương. Ta sẽ chứng minh $$\left\{ \begin{array}{l} S = x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} > 0 \\ P = x_1x_2 = \dfrac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$$ • Cùng dấu âm. Ta sẽ chứng minh $$\left\{ \begin{array}{l} S = x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} < 0 \\ P = x_1x_2 = \dfrac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$$​

* Dạng 4. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm hay hai nghiệm phân biệt (và khác dấu/cùng dấu âm, dương)

Tương tự với dạng 3, chỉ khác ở chỗ ta phải tìm $m$ để thỏa mãn $\Delta > 0; S > 0 ; P > 0 ; …$ chứ không phải chứng minh nó luôn đúng.

* Dạng 5. Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không chứa tham số

Ở dạng bài này, các bạn cần phải có kỹ năng rút $m$ ra từ hệ thức Vi-ét. Cụ thể : – Từ biểu thức liên hệ $S = x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = …m…$, ta sẽ tính được $m = …S…$ – Từ biểu thức liên hệ $P = x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = …m…$, ta sẽ tính được $m = …P…$ – Cho $…S… = m = …P…$, ta có được biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không chứa $m$

* Dạng 6. Tìm $m$ để một biểu thức nào đó bằng một giá trị nào đó/đạt GTNN, GTLN/…

Đối với dạng này, các bạn cần nắm vững các hằng đẳng thức và các phép biến đổi để biểu diễn biểu thức đề cho bằng $(x_1+x_2)$ và $(x_1x_2)$, sau đó dùng định lý Vi-ét để thay vào và biểu diễn biểu thức theo $m$. Việc còn lại là cho biểu thức bẳng một giá trị nào đó, hoặc tìm GTNN/GTLN của biểu thức.

Các bạn có thể gặp hai dạng bài nhỏ : • Biểu thức đối xứng giữa hai biến. Trường hợp này dễ dàng đưa biểu thức về $(x_1+x_2)$ và $(x_1x_2)$ rồi dùng định lý Vi-ét như trên • Biểu thức không đối xứng giữa hai biến. Trong trường hợp này, các bạn có ba phương pháp :

+ Một là dùng phương pháp hạ bậc (Thay $x_1,x_2$ vào phương trình ban đầu, tính $x_1^2$ theo $x_1$, tính $x_2^2$ theo $x_2$ rồi hạ bậc từ từ…) để đưa biểu thức để cho về hẳn bậc 1, sau đó kết hợp với định lý Vi-ét để biến đổi, làm theo yêu cầu đề bài. + Hai là đưa biểu thức về dạng đối xứng (Thế hệ thức trong định lý Vi-ét vào trong biểu thức đề cho, đưa về cùng bậc rồi thao tác bình thường…). Phương pháp này đòi hỏi sự tinh tế rất cao. + Ba là đưa biểu thức về một biến $x_1$ hoặc $x_2$ (Bằng hệ thức Vi-ét, giải ra $x_1$ hoặc $x_2$, thay vào phương trình ban đầu tìm $m$) (ít gặp)​

* Dạng 7. Lập phương trình bậc 2 nhận $y_1$ (tính theo $x_1$) và $y_2$ (tính theo $x_2$) là nghiệm

Hướng làm. Ta chỉ cần tính $y_1 + y_2$ và $y_1y_2$ theo tham số $m$, chẳng hạn $y_1 + y_2 = S$ và $y_1y_2 = P$ thì theo định lý Vi-ét, $y_1$ và $y_2$ là hai nghiệm của phương trình $$y^2-Sy+P=0$$

3/ Làm quen với các dạng qua một số bài tập trong đề thi

Sau đây các bạn sẽ được làm quen với các dạng bài qua một số bài tập trong các đề thi được sưu tầm từ nhiều nơi.

Bài 1. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Định 2015-2016) Cho phương trình $x^2+2(1-m)x-3+m=0$ ($m$ là tham số) a) Giải phương trình với $m=0$. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$. c) Tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm đối nhau. Nhận xét. Đề này bao gồm dạng 1, dạng 3 và dạng 6 mà mình đã nêu ở trên. Đối với câu a, b thì khá dễ, còn câu c thì đòi hỏi phải suy nghĩ một chút (hai nghiệm đối nhau là sao ?). Hai số đối nhau là các số có tổng bằng $0$, chẳng hạn như $1$ và $-1$; $-2$ và $2$; $10$ và $-10$; … Như vậy hai nghiệm đối nhau có nghĩa là tổng của chúng bằng $0$. Mà tổng của chúng có thể tính theo $m$ bằng định lý Vi-ét nên việc tìm $m$ để tổng của hai nghiệm bằng $0$ là khá dễ dàng.

Lời giải. $x^2 + 2(1-m)x – 3 + m =0 \quad (1)$ a) Thay $m = 0$ vào phương trình $(1)$ ta được $$ x^2 + 2(1-0)x – 3 + 0 = 0 \\ \iff x^2 + 2x – 3 = 0$$

Cách 1. $\Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 > 0 ; \sqrt{\Delta} = 4$ Vậy với $m = 0$, phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $$x_1 = \dfrac{-2 + 4}{2\cdot 1} = 1 ; x_2 = \dfrac{-2 – 4}{2\cdot 1} = -3$$

Cách 2. Nhận thấy $1 + 2 + (-3) = 0$ nên với $m = 0$, phương trình $(1)$ có hai nghiệm $$x_1 = 1 ; x_2 = \dfrac{-3}{1} = -3$$

b) $\Delta = [2(1-m)]^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3+m) = 4m^2 – 12m + 16 = (2m-3)^2 + 7 \geqslant 7 > 0$ với mọi $m$ Vậy phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

c) Gọi $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $(1)$ Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\dfrac{2(1-m)}1 = 2m – 2 \\ x_1x_2 = \dfrac{-3+m}1 = -3 + m \end{array} \right.$ Để phương trình có hai nghiệm đối nhau thì $$x_1 + x_2 = 0 \\ \iff 2m – 2 = 0 \\ \iff m = 1$$ Vậy $m = 1$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm đối nhau

Bài 2. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Quảng Ngãi 2015-2016) Cho phương trình $x^2-2x+m+3=0$ (với $m$ là tham số). a) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x=3$ và tìm nghiệm còn lại. b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thõa mãn hệ thức $$x_1^2+x_2^2-x_1x_2-4=0$$ Nhận xét. Đề này bao gồm dạng 2 và dạng 6. Câu a khá dễ, câu b không dễ nhưng cũng không quá khó (nói chung là vừa sức).

Giải. $x^2 – 2x + m + 3 = 0 \quad (1)$ a) Thay $x = 3$ vào phương trình $(1)$ ta được $$3^2 – 2\cdot 3 + m + 3 = 0 \\ \iff m = -6$$ Thay $m = -6$ vào phương trình $(1)$ ta được $$x^2 – 2x +(- 6) + 3 = 0 \\ \iff x^2 – 2x – 3 =0$$ Do $1 – (-2) + (-3) = 0$ nên khi $m = -6$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $$x_1 = -1 ; x_2 = -\dfrac{(-3)}1 = 3$$ Vậy để phương trình $(1)$ có một nghiệm $x_1 = 3$ thì $m = -6$ và nghiệm còn lại là $x_2 = -1$

b) $\Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (m+3) = -4m-8$ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta = -4m-8 > 0 \iff m < -2$ Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\dfrac{(-2)}1 = 2 \\ x_1x_2 = \dfrac{m+3}1 = m+3 \end{array} \right.$ Khi đó ta có $$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 - 4 = 0 \\ \iff (x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2 - 4 = 0 \\ \iff 2^2 - 3(m+3) - 4 = 0 \\ \iff -3(m+3) = 0 \\ \iff m + 3 = 0 \\ \iff m = -3$$ Vậy $m = -3$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 - 4 = 0$$ Bài 3. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 TP. Đà nẵng 2015-2016) Cho phương trình $x^2-2(m-1)x-2m=0$ (với $m$ là tham số). a) Giải phương trình khi $m=1$. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$. Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình, tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho $x_1^2+x_1-x_2=5-2m$. Nhận xét. Đề này bao gồm dạng 2 và dạng 6. Câu a khá dễ, câu b không dễ nhưng cũng không quá khó (nói chung là vừa sức).

Giải. $x^2 – 2x + m + 3 = 0 \quad (1)$ a) Thay $x = 3$ vào phương trình $(1)$ ta được $$3^2 – 2\cdot 3 + m + 3 = 0 \\ \iff m = -6$$ Thay $m = -6$ vào phương trình $(1)$ ta được $$x^2 – 2x +(- 6) + 3 = 0 \\ \iff x^2 – 2x – 3 =0$$ Do $1 – (-2) + (-3) = 0$ nên khi $m = -6$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $$x_1 = -1 ; x_2 = -\dfrac{(-3)}1 = 3$$ Vậy để phương trình $(1)$ có một nghiệm $x_1 = 3$ thì $m = -6$ và nghiệm còn lại là $x_2 = -1$

b) $\Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (m+3) = -4m-8$ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta = -4m-8 > 0 \iff m < -2$ Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\dfrac{(-2)}1 = 2 \\ x_1x_2 = \dfrac{m+3}1 = m+3 \end{array} \right.$ Khi đó ta có $$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 - 4 = 0 \\ \iff (x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2 - 4 = 0 \\ \iff 2^2 - 3(m+3) - 4 = 0 \\ \iff -3(m+3) = 0 \\ \iff m + 3 = 0 \\ \iff m = -3$$ Vậy $m = -3$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 - 4 = 0$$ Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Khánh Hòa 2013-2014) Cho phương trình bậc hai $x^2+5x+3=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm $(x_1^2+1)$ và $(x_2^2+1)$. Nhận xét. Đề này bao gồm dạng 2 và dạng 6. Câu a khá dễ, câu b không dễ nhưng cũng không quá khó (nói chung là vừa sức).

Giải. $x^2 – 2x + m + 3 = 0 \quad (1)$ a) Thay $x = 3$ vào phương trình $(1)$ ta được $$3^2 – 2\cdot 3 + m + 3 = 0 \\ \iff m = -6$$ Thay $m = -6$ vào phương trình $(1)$ ta được $$x^2 – 2x +(- 6) + 3 = 0 \\ \iff x^2 – 2x – 3 =0$$ Do $1 – (-2) + (-3) = 0$ nên khi $m = -6$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $$x_1 = -1 ; x_2 = -\dfrac{(-3)}1 = 3$$ Vậy để phương trình $(1)$ có một nghiệm $x_1 = 3$ thì $m = -6$ và nghiệm còn lại là $x_2 = -1$

b) $\Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (m+3) = -4m-8$ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta = -4m-8 > 0 \iff m < -2$ Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\dfrac{(-2)}1 = 2 \\ x_1x_2 = \dfrac{m+3}1 = m+3 \end{array} \right.$ Khi đó ta có $$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 - 4 = 0 \\ \iff (x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2 - 4 = 0 \\ \iff 2^2 - 3(m+3) - 4 = 0 \\ \iff -3(m+3) = 0 \\ \iff m + 3 = 0 \\ \iff m = -3$$ Vậy $m = -3$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 - 4 = 0$$ Bài 5. (Sưu tầm) Cho phương trình $x^2-(k-3)x+2k+1=0$ có các nghiệm $x_1,x_2$. Tìm một hệ thức giữa $x_1,x_2$ độc lập đối với $k$. Nhận xét. Đề này bao gồm dạng 2 và dạng 6. Câu a khá dễ, câu b không dễ nhưng cũng không quá khó (nói chung là vừa sức).

Giải. $x^2 – 2x + m + 3 = 0 \quad (1)$ a) Thay $x = 3$ vào phương trình $(1)$ ta được $$3^2 – 2\cdot 3 + m + 3 = 0 \\ \iff m = -6$$ Thay $m = -6$ vào phương trình $(1)$ ta được $$x^2 – 2x +(- 6) + 3 = 0 \\ \iff x^2 – 2x – 3 =0$$ Do $1 – (-2) + (-3) = 0$ nên khi $m = -6$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $$x_1 = -1 ; x_2 = -\dfrac{(-3)}1 = 3$$ Vậy để phương trình $(1)$ có một nghiệm $x_1 = 3$ thì $m = -6$ và nghiệm còn lại là $x_2 = -1$

b) $\Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (m+3) = -4m-8$ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta = -4m-8 > 0 \iff m < -2$ Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\dfrac{(-2)}1 = 2 \\ x_1x_2 = \dfrac{m+3}1 = m+3 \end{array} \right.$ Khi đó ta có $$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 - 4 = 0 \\ \iff (x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2 - 4 = 0 \\ \iff 2^2 - 3(m+3) - 4 = 0 \\ \iff -3(m+3) = 0 \\ \iff m + 3 = 0 \\ \iff m = -3$$ Vậy $m = -3$ thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 - 4 = 0$$ 4/ Bài tập tự luyện

Bài 6. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Quảng Bình 2015-2016) Cho phương trình $x^2-(2m+1)x+m^2+m-2=0$ ($m$ là tham số ). a) Giải phương trình (1) khi $m=2$. b) Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thõa mãn:$x_1(x_1-2x_2)+x_2(x_2-3x_1)=9$.

Bài 7. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Phú Thọ 2013-2014) Cho phương trình $x^2+2(m+1)x+m^2=0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng $-2$.

Bài 8. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 TP.Hồ Chí Minh 2014-2015) Cho phương trình $x^2-mx-1=0 \quad (1)$ ($x$ là ẩn số) a)Chứng minh phương trình $(1)$ luôn có 2 nghiệm trái dấu. b)Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình $(1)$. Tính giá trị của biểu thức $P=\dfrac{x_1^2+x_1-1}{x_1}-\dfrac{x_2^2+x_2-1}{x_2}$.

Hướng dẫn câu b). Hạ bậc giống bài 3 (tức tính $x_1^2$ theo $x_1$ và $x_2^2$ theo $x_2$) rồi thay vào $P$.

Bài 9. (Sưu tầm) Tìm $m$ để phương trình $x^2+mx+m-2=0$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1-x_2|=2$.

Hướng dẫn. Ta có $|x_1 – x_2| = 2 \iff (x_1-x_2)^2 = 4$. Khai triển và giải bình thường Lưu ý. $|x_1 – x_2|$ khác với $(x_1-x_2)$ nên nếu gặp $(x_1-x_2)$ thì ta không thể bình phương hai vế và dùng dấu tương đương được, ta sẽ dùng dấu suy ra và thử lại nghiệm trước khi kết luận.

Bài 10. (Sưu tầm) Cho phương trình $x^2-mx+(m^2+1)=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $x_1^2+x_2^2$.

Bài 11. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 TP.Hồ Chí Minh 2012-2013) Cho phương trình $x^2-2mx+m-2=0$($x$ là ẩn số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm phân biệt với mọi $m$. b) Gọi $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình. Tìm $m$ để biểu thức $M=\dfrac{-24}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 12. (Đề tuyển sinh TP.Hà Nội 2012-2013) Cho phương trình $x^2-(4m-1)x+3m^2-2m=0$ (ẩn $x$). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thõa mãn điều kiện $x_1^2+x_2^2=7$.

Bài 13. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Phước 2014-2015) Cho phương trình $x^2+mx+1=0 \; (1)$ với $m$ là tham số. a) Giải phương trình với $m=4$. b) Tìm giá trị của $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thõa mãn : $\dfrac{x_1^2}{x_2^2}+\dfrac{x_2^2}{x_1^2}>7$.

Lưu ý câu b. Đối với những dạng bài có mẫu thức như thế này, tốt nhất ta hãy chuyển hết $VP$ qua $VT$ rồi quy đồng hẳn lên, tránh nhầm lẫn chiều bất phương trình trong việc nhân chéo. (Mặc dù trong TH này, nhân chéo vẫn được vì $x_1^2x_2^2 \geqslant 0$ nên không làm đổi chiều bất phương trình)

Bài 14. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 TP.Hồ Chí Minh 2013-2014) Cho phương trinh $8x^2-8x+m^2+1=0 \; (*)$ ($x$ là ẩn số). a) Định $m$ để phương trình $(*)$ có nghiệm $x=\dfrac{1}{2}$ b) Định $m$ để phương trình $(*)$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thõa điều kiện: $x_1^4-x_2^4=x_1^3-x_2^3$.

Hướng dẫn câu b. Hạ bậc $x_1^4$ và $x_2^4$ xuống $x_1^3$ và $x_2^3$ và triệt tiêu với VP, sau đó phân tích thành nhân tử là được. (Tính $x^2$ theo $x$, suy ra ta tính được $x^4 = x^2 \cdot x^2$ theo $x \cdot x^2 = x^3$)

Bài 15. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Tỉnh Nam Định 2015-2016) Cho phương trình $x^2-2(m-1)x+m^2-6=0 \; (1)$ (với $m$ là tham số) a) Giải phương trình khi $m=3$. b) Với giá trị nhỏ nhất của $m$ thì phương trình có các nghiệm $x_1,x_2$ thõa mãn $x_1^2+x_2^2=16$