Chuyên đề Bất đẳng Thức Bunhiacôpxki

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học Lớp 10›Đại Số Lớp 10 Chuyên đề Bất đẳng thức Bunhiacôpxki

I.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( BCS ) :

II. Các hệ quả :

Hệ quả 1:

Hệ quả 2:

III.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng:

37 trang

trường đạt Lượt xem

36889

1 Download Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Bất đẳng thức Bunhiacôpxki", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênTröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 1 I.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( BCS ) : Cho 2 bộ số thực ( )1 2; ;...; na a a và ( )1 2; ;...; nb b b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có: ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 1 2 ... n n aa a b b b = = = với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0. II. Các hệ quả : Hệ quả 1: Nếu 1 1 ... n na x a x C+ + = (không đổi) thì ( )2 21 2 2 1 min ... ...n n Cx x a a + + = + + đạt được khi 1 1 ... n n xx a a = = Hệ quả 2: Nếu 2 2 21 ... nx x C+ + = (không đổi) thì ( ) 2 21 1 1max ... ...n n na x a x C a a+ + = + + đạt được khi 1 1 ... 0n n xx a a = = ≥ ( ) 2 21 1 1min ... ...n n na x a x C a a+ + = − + + Dấu “=” xảy ra 1 1 ... 0n n xx a a ⇔ = = ≤ III.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng: • Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 3 dãy số thực không âm ( )1 2; ;...; na a a ; ( )1 2; ;...; nb b b ; ( )1 2; ;...; nc c c ta luôn có : ( ) ( )( )( )2 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2... ... ... ...n n n n n na b c a b c a b c a a a b b b c c c+ + + ≤ + + + + + + + + + Chứng minh: Đặt 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 31 2 1 2 1 2... , ... , ...n n nA a a a B b b b C c c c= + + + = + + + = + + + www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 2 Nếu 0A = hoặc 0B = hoặc 0C = thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức đều bằng 0. Vậy ta chỉ xét trường hợp 0; 0; 0A B C> > > Đặt ; ;i i ii i i a b c x y z A B C = = = với 1;2;3i = Khi đó ta có: 3 3 3 1 2 3 3 3 3 1 2 3 3 3 3 1 2 3 1 1 1 x x x y y y z z z ⎧ + + =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩ và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1x y z x y z x y z+ + ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: ( )3 3 3; ; 1;2;3i i ix y z i = ta có: 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 x x xx y z x x xx y z x x x x y z ⎧ + +≤⎪⎪⎪ + +≤⎨⎪⎪ + +≤⎪⎩ Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1x y z x y z x y z+ + ≤ (đpcm) Đẳng thức xảy ra 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 a b c A B Cx y z a b cx y z A B C x y z a b c A B C ⎧ = =⎪= =⎧ ⎪⎪ ⎪⇔ = = ⇔ = =⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎪ = =⎪⎩ Hay ( ): : : : 1;2;3i i ia b c A B C i= = tức là: 1 1 1 2 2 2 3 3 3: : : : : :a b c a b c a b c= = • Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực không âm: Cho m dãy số thực không âm: ( )1 2; ;...; na a a , ( )1 2; ;...; nb b b , , ( )1 2; ;...; nK K K Ta có: ( ) ( )( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2... ... ... ... ... ... ... ...m m m m m m m m m mn n n n n na b K a b K a b K a a a b b b K K K+ + + ≤ + + + + + + + + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1 1 1 2 2 2: : ... : : : ... : : : ... :n n na b K a b K a b K= = ( chứng minh tương tự như trên) I- MỘT SỐ VÍ DỤ : Bài 1: Cho , ,x y z là ba số dương thỏa 4 9 16 49x y z+ + = . Chứng minh rằng: 1 25 64 49T x y z = + + ≥ www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 3 Đẳng thức xảy ra khi nào? Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho sáu số 2 ;3 ;4x y z và 1 5 8; ; x y z ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 2 21 25 84 1 5 849. 4 9 16 2 3 4T x y z x y zx y z x y z ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + + + + = + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 21 5 82 . 3 . 4 . 49x y z x y z ⎛ ⎞≥ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 25 64 49T x y z ⇒ = + + ≥ Đẳng thức xảy ra khi 1 21 5 8 52 3 4 3 4 9 16 49 2 x x y z y x y z z ⎧ =⎪⎧ ⎪= =⎪ ⎪⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ + =⎩ =⎪⎪⎩ Bài 2 : Cho 0; 0x y> > và 2 2x y x y+ ≤ + .Chứng minh: 3 2 5x y+ ≤ + Hướng dẫn giải Giả thiết: 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + ⇔ − + − ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) 1 11;3 ; ; 2 2 x y⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ ta có: 2 2 21 1 1 11. 1 3. 10 5 2 2 2 2 y x y ⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − ≤ − + − ≤⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )23 2 5x y⇒ + − ≤ 3 2 5x y⇒ + − ≤ 3 2 5x y⇒ + ≤ + Đẳng thức xảy ra khi 1 5 2 10 1 3 5 2 10 x y ⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎩ Bài 3 : Cho , , 0a b c ≥ ; 1a b c+ + = .Chứng minh: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 4 2 2 2 1 1 1 1 30 ab bc aca b c + + + ≥+ + Hướng dẫn giải Gọi 2 2 2 1 1 1 1A ab bc aca b c = + + ++ + Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1; ; ; ;3 ;3 ;3 ab bc caa b c a b c ab bc ca ⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ + + Ta có: ( ) ( )2 2 2 21 3 3 3 9 9 9a b c ab bc ca A+ + + ≤ + + + + + ( ) ( )2100 7a b c ab bc ca A⎡ ⎤⇒ ≤ + + + + +⎣ ⎦ (*) Mà ( )21 1 (do 1) 3 3 ab bc ca a b c a b c+ + ≤ + + = + + = Do đó: (*) 30.A⇒ ≥ Đẳng thức xảy ra khi 1 3 a b c= = = Bài 4 : Cho ; ; 0x y z > và thoả 1x y z+ + ≤ .Chứng minh : 2 2 22 2 21 1 1 82x y zx y z+ + + + + ≥ Hướng dẫn giải Gọi 2 2 22 2 2 1 1 1S x y z x y z = + + + + + Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) 11;9 ; ;x x ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ Ta có: 2 22 2 9 1 11 81. 82.x x x x x x + ≤ + + = + (1) Tương tự: 2 2 9 182.y y y y + ≤ + ` (2) 2 2 9 182.z z z z + ≤ + (3) Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: 1 1 1. 82 9S x y z x y z ⎛ ⎞≥ + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ Hay ( ) ( )1 1 1. 82 81 9 80S x y z x y zx y z ⎛ ⎞≥ + + + + + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠ www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 5 ( ) 1 1 12.9.3. 80 162 80 82x y z x y z ⎛ ⎞≥ + + + + − ≥ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ Vậy 2 2 22 2 2 1 1 1 82x y z x y z + + + + + ≥ Bài 5 : Cho ba số thực dương , ,a b c thoả ab bc ca abc+ + = .Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 22 2 2 3b a c b a c ab bc ca + + ++ + ≥ Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 12b a b a ab a b a b + += = + (do ,a b dương) Đặt 1 1 1; ;x y z a b c = = = thì giả thiết , , 0 ; ; 0 1 a b c x y z ab bc ca abc x y z > >⎧ ⎧⇔⎨ ⎨+ + = + + =⎩ ⎩ và (đpcm) 2 2 2 2 2 22 2 2 3x y y z z x⇔ + + + + + ≥ Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( ) ( ) ( )22 2 2 2 23 2 3x y x y y x y y+ = + + ≥ + + ( )2 2 12 2 3 x y x y⇒ + ≥ + Tương tự ( )2 2 12 2 3 y z y z+ ≥ + ( )2 2 12 2 3 z x z x+ ≥ + Vậy ( )2 2 2 2 2 2 12 2 2 3 3 3 3 3 x y y z z x x y z+ + + + + ≥ + + = Đẳng thức xảy ra khi 1 3 x y z= = = Với 1 3 x y z= = = thì 3a b c= = = Bài 6 : Chứng minh: ( )1 1 1 1a b c c ab− + − + − ≤ + với mọi số thực dương ; ; 1a b c ≥ Hướng dẫn giải Đặt 2 2 21 ; 1 ; 1a x b y c z− = − = − = Với ; ; 0.x y z > Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: ( ) ( )( )2 2 21 1 1 1x y z z x y⎡ ⎤+ + ≤ + + + +⎣ ⎦ Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 6 ( )( ) ( )( )2 2 2 21 1 1 1x y x y x y z x y z+ ≤ + + ⇒ + + ≤ + + + (1) ( )( ) ( )( )2 2 2 2 21 1 1 1 1. 1x y z x y z+ + + ≤ + + + + (2) Kết hợp (1) và (2) ta có ( ) ( )( )2 2 21 1 1 1x y z z x y⎡ ⎤+ + ≤ + + + +⎣ ⎦ Vậy ( )1 1 1 1a b c c ab− + − + − ≤ + (đpcm) Bài 7 : Cho ; ; 0a b c > và thoả 1abc = .Chứng minh: ( ) ( ) ( )3 3 3 1 1 1 3 2a b c b c a c a b + + ≥+ + + Hướng dẫn giải Đặt 1 1 1; ;x y z a b c = = = 1; 0; 0; 0xyz x y z⇒ = > > > Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A= 2 2 2 3 2 x y z y z z x x y + + ≥+ + + Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số : ( ); ; ; ; ;x y zy z z x x y y z z x x y ⎛ ⎞+ + + ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ Ta có: ( ) ( )2x y z y z z x x y A+ + ≤ + + + + + 33 3. 2 2 2 x y zA xyz+ +⇒ ≥ ≥ = (do 1xyz = ) 3 2 A⇒ ≥ Đẳng thức xảy ra khi 1x y z= = = Với 1x y z= = = thì 1.a b c= = = Bài 8 : Cho ; ; 0a b c > .Chứng minh: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 a b c a a b a c b b c b a c c a c b + + ≤+ + + + + + + + + Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) ( ); ; ;a b c a Ta có: ( ) ( )( ) ( )( )2ac ab a b c a ac ab a b c a+ ≤ + + ⇒ + ≤ + + ( )( )a ac ab a a b c a⇒ + + ≤ + + + ( )( ) a a a a ac ab a b ca a b a c ⇒ ≤ =+ + + ++ + + (1) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 7 Tương tự: ( )( ) b b a b cb b c b a ≤ + ++ + + (2) ( )( ) c c a b cc c a c b ≤ + ++ + + (3) Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 a b c a a b a c b b c b a c c a c b + + ≤+ + + + + + + + + Đẳng thức xảy ra khi a b c= = . Bài 9 : Cho ; 0a b > và thoả 2 2 9a b+ = .Chứng minh : 3 2 3 3 2 ab a b −≤+ + Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 9a b+ = ( ) ( )( ) 22 9 2 3 3 ab a b ab a b a b ⇔ = + − ⇔ = + + + − 2 3 3 3 3 2 2 ab a b a b ab a b a b ⇔ = + −+ + +⇔ = −+ + Mà theo BĐT Bunhiacôpxki thì 2 22. 3 2a b a b+ ≤ + = Nên 3 2 3 3 2 ab a b −≤+ + Đẳng thức xảy ra khi 2 2 ; 0 39 2 a b a b a b a b >⎧⎪⎪ + = ⇔ = =⎨⎪⎪ =⎩ Bài 10: Cho ; ; ;a b c d dương tuỳ ý.Chứng minh : 1 1 1 p q p q p q a b c pa qb pb qc pc qa + + ++ + ≥ + ++ + + Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có ( ) ( ) 2 2 . .p q p qp q pa qb pa qb a b a b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + ≤ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Tương tự ta chứng minh được ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ; p q p qp q pb qc p q pc qa b c c a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + + + ≤ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức ta có : www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 8 ( ) ( )2 1 1 1 1 1 1p q p q pa qb pb qc pc qa a b c ⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ + + ≤ + + +⎜ ⎟⎢ ⎥+ + + ⎝ ⎠⎣ ⎦ Hay ( ) 1 1 1 1 1 1p q pa qb pb qc pc qa a b c ⎡ ⎤+ + + ≤ + +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ Vậy 1 1 1 p q p q p q a b c pa qb pb qc pc qa + + ++ + ≥ + ++ + + Bài 11 : Cho 4 số dương ; ; ;a b c d .Chứng minh: 3 3 3 3 2 2 2 2 3 a b c d a b c d b c d c d a b d a a b c + + ++ + + ≥+ + + + + + + + Hướng dẫn giải Đặt 3 3 3 3a b c dP b c d c d a b d a a b c = + + ++ + + + + + + + Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3 3; ; ; ; ; ; ;a b c d a b c d b c d a c d b a d a b cb c d c d a b d a a b c⎛ ⎞ + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + + + +⎝ ⎠ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2a b c d P a b c d b c d a c d a b d a b c+ + + ≤ + + + + + + + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2a b c d P a b c d a b c d⎡ ⎤⇔ + + + ≤ + + + − + + +⎣ ⎦ (1) Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) ( ); ; ; ; 1;1;1;1a b c d ta được: ( ) ( )2 2 2 2 24a b c d a b c d+ + + ≤ + + + (2) Từ (1) và (2) ta được ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 a b c d P a b c d a b c d P + + + ≤ + + + ⇔ + + + ≤ Vậy 3 3 3 3 2 2 2 2 3 a b c d a b c d b c d c d a b d a a b c + + ++ + + ≥+ + + + + + + + Bài 12 : Cho các số dương ; ;a b c thỏa a + b ... + + + + Hay ( ) ( ) ( )2 2 4a b c d ab bc cd da ac bd+ + + ≥ + + + + + ( )2 2 2 2 2a b c d ac bd⇔ + + + ≥ + ( ) ( )2 2 0a c b d⇔ − + − ≥ : BĐT đúng. Bài 8 : Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh: ( )2 2 22 2 2 3 2 a b ca b c b c c a a b + ++ + ≥+ + + Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT BCS ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 a b ca b c b c c a a b a b c b c a c a b + + = + ++ + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a c a b + +≥ + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2a b c ab a b bc b c ca c a + +≥ + + + + + (1) Áp dụng BĐT BCS dạng thông thường ta có: ( ) ( ) ( ) 2ab a b bc b c ca c a+ + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2ab bc ca a b b c c a⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ + + + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Mặt khác, ta có các BĐT sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 3 a b c ab bc ca + +• + + ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 4a b b c c a a b c ab bc ca a b c• + + + + + = + + + + + ≤ + + Từ đó suy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2.4 3 a b c ab a b bc b c ca c a a b c + ++ + + + + ≤ + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )32 2 243 a b c= + + Hay ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 3 ab a b bc b c ca c a a b c a b c+ + + + + ≤ + + + + Kết hợp với (1) ta suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 2 a b ca b c b c c a a b ab a b bc b c ca c a + ++ + ≥+ + + + + + + + ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 a b ca b c a b c a b c + ++ +≥ = + + + + www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 32 Bài 9 : Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh : 25 16 8a b c b c c a a b + + >+ + + Hướng dẫn giải BĐT cần chứng minh tương đương với: 25 1 16 1 1 8 25 16 1 50a b c b c c a a b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + > + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Hay 25 16 1 50 b c c a a b a b c + + ≥+ + + + + (1) Ký hiệu P là vế trái của (1). Áp dụng BĐT BCS ta có: ( )( ) ( ) ( ) 22 2 2 5 4 15 4 1 50P b c c a a b b c c a a b a b c + += + + ≥ =+ + + + + + + + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 5 4 1 b c c a a b+ + += = Suy ra ( ) ( ) 2 5 4 1 5 c a a bb c b c a+ + ++ + += =+ , hay 0a = : trái với giả thiết 0a > Từ đó suy ra: 50P a b c > + + Do đó BĐT (1) đúng và ta có BĐT cần chứng minh. Bài 10 : Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 3 . 2 a b c ab b bc c ca a + + ≥+ + + Hướng dẫn giải Ký hiểu P là cế trái của BĐT cần chứng minh. Áp dụng BĐT BCS ta có: 2 1 1 1 1 1 1 a b ca b c b c ab c aP a b c a b c b c a b c a ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠= + + ≥ + + + + + + + + Hay ( )2 1 1 1 x y z P x y z + +≥ + + + + + (1) với , , a b cx y z b c a = = = ( chú ý 1xyz = ). Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm ta có: 3 33. . . 3. 3.xy yz zx xy yz zx xyz+ + ≥ = = Suy ra: ( ) ( ) ( )2 2 6x y z x y z xy yz zx x y z+ + = + + + + + ≥ + + + Mặt khác, áp dụng BĐT BCS (dạng thông thường ta có): ( )1 1 1 3 3x y z x y z+ + + + + ≤ + + + Kết hợp hai BĐT vừa có với BĐT (1) ta nhận được: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 33 ( ) _ 6 3 3 x y zP x y z + +≥ + + + Hay 3 3 SP S +≥ với 33 3. 3 6S x y z xyz= + + + ≥ + = Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh đúng nếu ta có: 3 3 3 2 S S + ≥ Hay 3 3 3 2 S S + ≥ (2). Chú ý: 6S ≥ nên ta có các biến đổi như sau: 3 6 3 3 2 3 3(2) 3 2 . 2 2 2 2 2 2 2 S S SVT S S ⎛ ⎞= + + ≥ + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ Từ đó suy ra BĐT (2) đúng và ta có BĐT cần chứng minh Bài 11 : Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 2 1 8 8 8 a b c a bc b ca c ab + + ≥+ + + ( IMO 2001 ) Hướng dẫn giải Ký hiệu P là vế trái của BĐT BCS ta có: 2 2 2 28 8 8 a b cP a a bc b b ca c c ab = + ++ + + ( )2 2 2 28 8 8 a b c a a bc b b ca c c ab + +≥ + + + + + Từ đó suy ra BĐT đã cho đúng nếu ta chứng minh được: ( )2 2 2 2 1 8 8 8 a b c a a bc b b ca c c ab + + ≥+ + + + + Hay ( )22 2 28 8 8a a bc b b ca c c ab a b c+ + + + + ≤ + + (1) Ký hiệu Q là vế trái của BĐT (1). Áp dụng BĐT BCS ta có: ( ) ( ) ( ) 22 2 2 28 8 8Q a a a bc b b b ca c c c ab⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 28 8 8a b c a a bc b b ca c c ab⎡ ⎤≤ + + + + + + +⎣ ⎦ ( )( )3 3 3 24a b c a b c abc= + + + + + Do đó BĐT (1) đúng nếu ta có: ( )33 3 3 24a b c abc a b c+ + + ≤ + + Ta đã biết: ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 2 2 2 2 2 23 3 3 6 .a b c a b c a b c b c a c a b abc+ + = + + + + + + + + + Từ đó suy ra BĐT trên tương đương với: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 6 .a b c b c a c a b abc+ + + + + ≥ www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 34 Hay ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 0a b c bc b c a ca c a b ab+ − + + − + + − ≥ BĐT cuối cùng đúng vì nó tương đương với BĐT đúng: ( ) ( ) ( )2 2 2 0a b c b c a c a b− + − + − ≥ ⇒đpcm Bài 12 : Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương , ,a b c : ( ) ( ) ( )3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c ab bc ca b bc c c ca a a ab b a b c + ++ + ≥− + − + − + + + Hướng dẫn giải Ký hiệu P là vế trái của BĐT BCS ta có: Áp dụng BĐT BCS ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c P a b bc c b c ca a c a ab b = + +− + − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b bc c b c ca a c a ab b + +≥ − + + − + + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 3 a b c ab a b bc b c ca c a abc + += + + + + + − Mặt khác, áp dụng BĐT: ( ) ( )23 xy yz zx x y z+ + ≤ + + ta có: 3 ab bc ca a b c a b c + + ≤ + ++ + Do đó để có BĐT đã cho ta chỉ cần chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 3 a b c a b c ab a b bc b c ca c a abc + + ≥ + ++ + + + + − Hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 3a b c ab a b bc b c ca c a abc a b c+ + ≥ + + + + + − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )4 4 4 2 2 2 2 2 22a b c a b b c c a⇔ + + + + + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3ab a b bc b c ca c a abc a b b c c a abc a b c≥ + + + + + + + + + + + − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 3 3 3a b c abc a b c a b c b c a c a b⇔ + + ≥ + + ≥ + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 0a a bc a b c b b ca b c a c c ab a a b⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + + + − + + + − + ≥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 0a a b a c b b c b a c c a c b⇔ − − + − − + − − ≥ (1) Do vai trò của , ,a b c trong BĐT (1) là như nhau nên không nhấn mất tính tổng quát ta có thể giả sử 0a b c≥ ≥ > . Khi đó ta có: VT (1) ( )( ) ( )( )2 2a a b a c b b c b a≥ − − + − − ( ) ( ) ( )2 2a b a a c b b c⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )3 3 2 2a b a b a c b c⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦ www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 35 ( ) ( )2 2 2a b a b ab ca cb= − + + − − ( ) ( ) ( )2 0a b a a c b b c ab= − − + − + ≥⎡ ⎤⎣ ⎦ Từ đó suy ra BĐT (1) đúng. Do đó ta có BĐT cần chứng minh. Bài 13 : Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh: 1a b c a b b c b c a b c a b + ++ + ≥ + ++ + Hướng dẫn giải Ta chỉ cần chứng minh BĐT sau đúng: ( )2 1a b c a b b c ab bc ca b c a b + + + +≥ + ++ + + + Hay ( ) 2 3 2 a b c a b b c ab bc ca b c a b + + + +− ≥ + −+ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 2 2 23 2a b c ab bc ca a b b c a b b c ab bc ca a b b c + + − + + + + + − + +⇔ ≥+ + + + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 a b b c c a c a ab bc ca a b b c − + − + − −⇔ ≥+ + + + (1) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2a b b c a b b c a b b c− + − = − + − − − + −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )2 2c a a b b c= − − − + − Từ đó suy ra BĐT (1) tương đương với: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 22 2 c a a b b c c a c a ab bc ca a b b c − − − − + − −≥+ + + + Hay ( ) ( )( ) ( )( )( ) 2 2c a a b b c c a ab bc ca a b b c − − − − −≥+ + + + ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2c a a b b c a b b c c a ab bc ca⇔ − + + − − − ≥ − + + ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 0c a b a b b c⇔ − − − − ≥ ( )24 2 2 2 22 0 0b a c b ac b ac⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ : BĐT đúng. Từ đó ta có BĐT cần chứng minh. Bài 16 : Cho :f R R+ +→ là một hàm số thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) ( )f x f z f y+ ≥ với mọi 0x y z≥ ≥ > Chứng minh BĐT sau đúng với mọi số thực dương , ,a b c : ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 0f a a b a c f b b c b a f c c a c b− − + − − + − − ≥ (1) Hướng dẫn giải www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 36 Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 0a b c≥ ≥ > . Theo giả thiết ta có: ( ) ( ) ( )f a f c f b+ ≥ (2) Dễ dàng chứng minh rằng nếu a b= hoặc b c= thì (1) đúng. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp 0a b c> > > . Khi đó ta viết BĐT (1) dưới dạng: ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )f a a b a c f c a c b c f b b c a b− − + − − ≥ − − Hay ( ) ( ) ( )f a f c f b b c a b a c + ≥− − − (3) vì 0, 0, 0a c a b b c− > − > − > Áp dụng BĐT BCS ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2f a f c f a c f a cf a f c b c a b b c a b b c a b a c + + + = + ≥ =− − − − − + − − Kết hợp BĐT trên với BĐT (2) ta nhận được: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2f a cf a f c f b b c a b a c a c + + ≥ =− − − − ⇒BĐT (3) đúng và ta có ĐPCM. Nhận xét: Nếu hàm số :f R R+ +→ xác định bởi ( ) rf x x= với r là một số thực thì f thỏa mãn tính chất của bài toán. Thật vậy, với 0x y z≥ ≥ > ta có: i) Nếu 0r ≥ thì r rx y≥ nên r r r rx z x y+ > ≥ ii) Nếu 0r ≥ Do đó trong cả hai trường hợp ta đều có: ( ) ( ) ( )f x z f y+ ≥ Khi đó ta có BĐT: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0r r ra a b a c b b c b a c c a c b− − + − − + − − ≥ với mọi số thực dương , ,a b c BÀI TẬP : Bài 1: Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương. Chứng minh: 2 1 2 1 2 1 1 1... ...n n n a a a a a a + + + ≥ + + + Bài 2: Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh; 1) 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + ++ + ≥+ + + 2) 3 3 3 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + ++ + ≥+ + + Bài 3: Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh : 1 1 1 1 2 2 3 3a b b a a b + ≤ ++ + www.MATHVN.com www.MATHVN.com Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 37 Bài 4: Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2 1 1 1 1P a b c ab bc ca = + + ++ + Bài 5: Cho , , , , ,a b c d e f là các số thực dương. Chứng minh: 3a b c d e f b c c d d e e f f a a b + + + + + ≥+ + + + + + Bài 6: Cho ,a b là các số thực dương. Chứng minh : ( )2 2 2 22a b a bb a+ ≥ + Bài 7: Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương. Chứng minh: 2 xa yb zc x y zxy yz zx b c c a a b + ++ + ≥ + + −+ + + Bài 8: Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh 1) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 13 2 3 2 3 2 a b c a b c bc b c a ca c a b ab + + ≥ + + + + + + + + + 2) ( )3 1 a b ca b c a xb b xc c xa x + ++ + ≥+ + + + với 2x ≥ www.MATHVN.com www.MATHVN.com

Tài liệu đính kèm:

Bat dang thuc Bunhiacopxki va ung dung trong hinh hoc.pdf

Tài liệu liên quan

Kiểm tra học kì II Lớp 10 - Môn: Toán - Đề 5
Lượt xem: 1604 Lượt tải: 0
Giáo án Đại số 10 chuẩn tiết 15: Ôn tập chương II
Lượt xem: 1602 Lượt tải: 1
Giáo án Đại số cơ bản 10 tiết 4: Tập hợp
Lượt xem: 1457 Lượt tải: 1
Giáo án Đại số khối 10 – Nâng cao tiết 7: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
Lượt xem: 2841 Lượt tải: 0
Giáo án Đại số khối 10 tiết 29: Bài tập
Lượt xem: 1335 Lượt tải: 0
Giáo án Đại 10 tiết 73: Luyện tập về bảng phân bố tần số và tần suất
Lượt xem: 1527 Lượt tải: 4
Chuyên đề Hàm số lớp 10 - Trường THPT Chơn Thành
Lượt xem: 9499 Lượt tải: 3
Giáo án Đại số nâng cao 10 tiết 81: Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt (2)
Lượt xem: 1987 Lượt tải: 2
Giáo án Đại số cơ bản 10 tiết 41 đến 44
Lượt xem: 1430 Lượt tải: 2
Giáo án Đại số NC 10 Chương 1 Tiết 8, 9: Luyện tập bài 3
Lượt xem: 1167 Lượt tải: 0