Chuyên đề Bất đẳng Thức Lớp 10 Bản Full - 123doc

 Cần nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và cách biến đổi.. c/ Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối d/ Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

 Tính chất

Cộng hai vế với số bất kì a     b a c b c  1

c0 (một số dương) a  b acbc  2a Nhân hai vế

c0 (một số âm) a  b acbc  2b Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều a b và cd   a c b d  3

Nhân từng vế BĐT khi biết nó dương

Nhân hai vế BĐT cùng chiều

khi biết chúng dương

 Không và không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều

 Ta chỉ nhân hai vế bất đẳng thức khi biết chúng dương

 Cần nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và cách biến đổi

Chuyên đề 3: BẤT ĐẲNG THỨC

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Dấu "" xảy ra khi x y z

 Mở rộng cho n số a ,a , a , ,a1 2 3 n không âm ta có: n

a a   a n a a a Dấu " xảy ra khi " a1 a2 a3  an

 Hệ quả

+ Nếu x, y có S0   không đổi thì Px y  xy lớn nhất  x y

+ Nếu x, y0 có Pxy không đổi thì S  nhỏ nhất x y  x y

c/ Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

d/ Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác

Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21



BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 605 Cho a, b, c, d, e   Chứng minh các bất đẳng thức sau

a/ a2 b2c2 abbcca b/ a2 b2  1 ab  a b

Dạng toán 1 Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất

Dấu " xảy ra khi " a b hay x y

 Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết

 Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh

 Một số BĐT thường dùng

● A2  0 ● A2 B2  ● A.B0  với A, B0  ● 0 A2 B2 2AB

 Lưu ý

 Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức

 Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra

Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Bài 610 Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức: 0 a3 b3 a b2 b a2 ab a b   3 Áp dụng bất

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

o/ a2 b2 c2 d2 e2 a b   c d e ; a, b, c, d, e    

abbcca 3abc a b c ; a, b, c, d 



Dạng toán 2 Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM – GM)

 Các dạng của bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)

 Với x, y thì 0  

 

Dấu "" xảy ra khi x y z

 Mở rộng cho n số a ,a ,a , , a1 2 3 n không âm ta có: n

a a   a n a a a Dấu "" xảy ra khi a1  a2 a3  an

 Hệ quả

 Nếu x, y có S0   không đổi thì Px y  xy lớn nhất x y

 Nếu x, y0 có P xy không đổi thì S  nhỏ nhất x y x y

 Khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (biểu thức)

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

BÀI TẬP ÁP DỤNG Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại

Bài 619 Cho a, b, c Chứng minh các bất đẳng thức sau 0

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

  với x, y, z (Cao đẳng Sư phạm Nhà trẻ TW1 – 2000) 0

g/ a b 1 b a 1 ab với a1, b (Đại học Thái Nguyên D – 2001) 1

b  c  a    (Cao đẳng Cơ khí luyện kim – 2006)

Tách cặp nghịch đảo để áp dụng được Bất đẳng thức Cauchy

 Kỹ thuật tách nghịch đảo là kỹ thuật tách phần nguyên theo mẫu số để chuyển sang trung bình nhân thì các phần chứa biến số phải triệt tiêu chỉ còn lại là hằng số (hoặc biến gần giống biến bên vế

phải) Để thực hiện công việc đó, ta thường thêm bớt hằng số hoặc thêm bớt biến số

 Trong kĩ thuật này, đôi khi ta cần kết hợp với kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng

lưu ý: "Chỉ số căn là bao nhiêu thì số các số hạng ở trong căn là bấy nhiêu Nếu số các số hạng nhỏ hơn chỉ số căn thì phải nhân thêm hay cộng vào (hằng số) để số các số hạng bằng số căn" Chẳng hạn như:

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Bài 623 Cho a, b Chứng minh 0 1 1 4  

I

a ba b

 Áp dụng bất đẳng thức  I để chứng minh các bất đẳng thức sau

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

 là nửa chu vi

(Đại học Ngân Hàng Tp HCM khối A năm 2001)

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Kỹ thuật đổi biến (đặt ẩn phụ) để áp dụng được BĐT Cauchy

Mục đích chính của việc đổi biến là chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi đại số (biến cũ) sang trạng thái

dễ biến đổi đại số hơn (biến mới) Thông thường, với bài toán biến mới là những bài toán quen thuộc Do đó, cần phải nắm vững các kĩ thuật biến đổi cũng như việc sử dụng thành thạo các BĐT thông dụng và cần nhớ rằng, nếu bài toán có điều kiện ràng buộc thì khi đổi biến cần chú ý điều kiện biến mới sao cho khi đặt ẩn thì điều kiện ban đầu và cuối cùng được đảm bảo, chẳng hạn như: Cho a, b, c và 0 abc1 Tìm GTLN – GTNN của biểu thức P Từ điều kiện, ta có thể đặt

Bài 629 Chứng minh rằng trong mọi ΔABC, ta luôn có: abcb a c a  c b b  c a với a,b,c

là ba cạnh của tam giác ΔABC

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

1xa

Sử dụng công thức diện tích tam giác để áp dụng BĐT Cauchy

Trong nhiều bài toán BĐT tam giác thì diện tích tam giác là chiếu cầu nối các mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác Do đó, ta cần nắm vững các công thức tính diện tích tam giác, đồng thời kết hợp thành thạo với 4 kĩ thuật áp dụng BĐT Cauchy đã trình bày ở trên

+ a,b,c lần lượt là độ dài của ba cạnh BC, AC, AB trong ABC

+ h , h , h là các chiều cao xuất phất lần lượt từ các đỉnh A, B,C a b c

+ R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác

p

2

 

 là nửa chu vi ABC

Bài 636 Trong ABC cho bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt làR, r Chứng minh: R2r

Bài 637 Cho ABC có diện tích bằng 3

2 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và h , h , h a b c

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

là các chiều cao xuất phất lần lượt từ các đỉnh A, B,C Chứng minh rằng:

Bài 639 Cho ABC có độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c vàSlà diện tích Các trung tuyến và đường cao lần

lượt xuất phát từ các đỉnh A, B,C là m , m , m và a b c h , h , h Chứng minh rằng: a b c

độ dài 3 cạnh BC, CA, AB; p là nửa chu vi và r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC

Bài 642 Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau

2 3 2

xy





Bài 644 Cho hai số thực dương không âm x, y thỏa mãn x  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất y 1

của biểu thức: S4x2 3y 4y 2 3x25xy

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

(Trích đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2009) Bài 645 Cho hai số thực x, y thỏa mãn xy và 0 xy x y x2 xyy2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Tìm giá trị lớn nhất của Pabcd

Bài 647 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2  Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Bài 649 Chứng minh các bất đẳng thức sau

e/ Nếu x   5;20

  thì E 3 x 5 2 20 a 13 f/ Nếu x  9;20

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

h/ Nếu a  b c 12 thì a 3 b 2 c 1 3 6

i/ Nếu a   thì ab c 4  b b c c a 2 6

j/ Nếu a, b, c là ba số thực thay đổi thỏa a   thì b c 6 a2 b2 c2 12

Bài 653 Chứng minh các bất đẳng thức sau

1

4  9  e/ E x 1 3 x f/ F 3 x x 5

g/ G2 x 4 8 x h/ H5 x 1 3 6 x

i/ I4 x 3 5 4 x j/ J 1 2x  x 8

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Bài 655 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức (nếu có)

a/ Cho x, y   và x2 y2  Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A5 2x y

b/ Cho x, y   và 2x2 3y2  Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B6  4x2y

c/ Cho x, y   và x2 4y2 10 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức C 3x5y

d/ Cho x, y, z   và xyyzzx Tìm GTNN của biểu thức 1 Dx4 y4  z4

e/ Cho x, y   và x2 y2  Tìm GTLN của biểu thức E1 x 1 y y 1 x

f/ Cho a Tìm GTLN của biểu thức F1  asin x  asin x

g/ Cho x, y và x0   Tìm GTNN của biểu thức y 1 G 4 1

Bài 657 Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh ∆ABC

Dạng toán 4 Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz

Thực chất bất đẳng thức Cauchy Schwarz là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức Bunhiacôpxki mà

ở đây để dễ hình dung, tôi gọi tắt là bất đẳng thức cộng mẫu số

 Cho a, b   và x, y Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho: 0 a b  

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Bài 664 Cho a, b, c   Chứng minh: a2 4b2 6a 9 a2 4b2 2a12b10 5

Dạng toán 5 Chứng minh BĐT dựa vào phương pháp tọa độ véctơ

Trong một số bài toán, ta có thể đưa về tọa độ để tìm GTLN và GTNN Do đó, ta cần nắm vững một

số kiến thức cơ bản về tọa độ trong mặt phẳng Oxy

 a  x, y  a  x2y2

A x , y , B x , y ,C x , y AB x x  y y và ABACBC

 u  v  u v  u  v  Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi u, v  cùng hướng

 u v w  u  v  w Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi u, v, w   cùng hướng

 u.v   u v 

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Chứng minh: 4 cos a cos b2 2 sin a2 b 4 sin a sin b2 2 sin a2 b 2

HD: u 2 cos a cos b; sin a b , v   2 sin a sin b; sin a b 

Bài 667 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Dạng toán 6 Ứng dụng BĐT để giải phương trình

 Loại 1 Tổng hai số không âm:  2  2 f x    0

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

d/ 3x2 6x 7 5x210x14  242xx2

e/ 3x2 6x 7 5x2 10x14  2 2xx2

BÀI TẬP RÈN LUYỆN BĐT & GTLN (max) – GTNN (min)

Bài 675 Chứng minh các bất đẳng thức sau

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Bài 687 Chứng minh các bất đẳng thức sau

a/ 8 p a p b p cabc với a,b,c là ba cạnh của ∆ABC và p là nửa chu vi

b/ abca b c b  c a c  a b với a,b,c là ba cạnh của ∆ABC

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Bài tập qua các kì thi

Bài 698 Cao đẳng Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh năm 1996

Cho x, y thỏa mãn điều kiện 0 x 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P3x 4 y 2x 3y

Bài 699 Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ Mẫu Giáo TW 1 năm 2000

Cho x, y, z Chứng minh rằng: 0 12 12 12 2 92 2

x y z  x y z

Bài 700 Cao đẳng Kiểm Sát năm 2000

1/ Cho a, b Tìm giá trị nhỏ nhất của 0 S a44 b44 a22 b22 a b

Bài 701 Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Hải Dương khối A năm 2002

Cho hai số thực x, y thỏa hệ thức x  Chứng minh: y 1 4 4 1

Bài 703 Cao đẳng Sư Phạm Sóc Trăng khối A năm 2005

Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện a   Chứng minh: b 1 a3b3 1 3ab

Bài 704 Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội năm 2005

Cho ba số x, y, z Chứng minh: 0 x33 y33 z33 x22 y22 z22

y  z x y  z  x

Bài 705 Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Cần Thơ năm 2005

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn 1 1 1 1

a  b  c  Chứng minh: ab bc ca abc

3

Khi nào đẳng thức xảy ra ?

Bài 706 Cao đẳng Kinh Tế Kế Hoạch Đà Nẵng năm 2005

Cho hai số a,b thỏa a4, b Chứng minh rằng: 4

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Cho 3 số bất kì x, y, z Chứng minh: x2xyy2  x2 xzz2  y2 yzz2

Bài 708 Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối A năm 2006

Cho x, y, z và xyz0  Chứng minh rằng: 1 x3y3 z3    x y z

Bài 709 Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Cần Thơ khối A năm 2006

Cho 3 số dương x, y, z thoả x   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y z 1

    

Bài 712 Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp 1 khối A năm 2006

Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh: a b c a b c a b c

9

Bài 713 Cao đẳng Y Tế 1 năm 2006

Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y2 0

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: Pxy x 2y17

Bài 714 Cao đẳng Bán công Hoa Sen khối D năm 2006

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P xyz

Bài 715 Học Viện Hàng Không Việt Nam năm 1999 – 2000

 Khi nào dấu "" xảy ra ?

Bài 716 Đại học An Ninh khối D, G năm 1999 – 2000

Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn 0;1 

  Chứng minh rằng: 2 x 3 y3 z3  x y2 y z2 z x2  3

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Bài 717 Đại học Hàng Hải năm 1999 – 2000

Bài 718 Đại học Nông nghiệp I khối A năm 1999 – 2000

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 719 Đại học Nông Nghiệp I khối D năm 1999 – 2000

Chứng minh rằng với mọi a, b ta có: a b a b

Bài 722 Đại học Huế khối A, V năm 1999 – 2000

Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn điều kiện a 1, b 4, c2, d 3

Bài 723 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999 – 2000

Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng:

Bài 724 Đại học Bách khoa Hà Nội khối A năm 1999 – 2000

Cho 2 số a, b thoả điều kiện a  Chứng minh rằng: b 0

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Bài 726 Đại học Thủy Lợi II năm 1999 – 2000

Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:      3

3

a1 b1 c1  1 abc

Bài 727 Đại học Y Hà Nội năm 1999 – 2000

Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện 2 3

6

x  y  Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y

Bài 728 Đại học Tây Nguyên khối A, B năm 1999 – 2000

CMR với mọi x, y, z dương và x   thì y z 1 xy yz zx 18xyz

Khi nào dấu " xảy ra "

HD: Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki Dấu "" xảy ra khi 1

x2



Bài 730 Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh đợt 2 khối D năm 1999 – 2000

Chứng minh:

t t

Bài 732 Đại học Y Dược Tp Hồ Chí Minh năm 1997 – 1998

Chứng minh trong ΔABC, ta có: p p a p b p c 3p

Trong đó: p là nửa chu vi của tam giác

Bài 733 Đại học Ngoại Thương Tp Hồ Chí Minh khối A năm 1997 – 1998

Giả sử x,y,z là những số dương thay đổi thỏa điều kiện 3

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

Bài 736 Đại học Thủy Lợi năm 1997 – 1998

Cho 4 số dương a,b,c,d Chứng minh:

b b b a a Tương tự đối với cặp còn lại

Bài 737 Đại học Đà Nẵng khối A năm 2001 đợt 2

Bài 738 Học viện Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh khối năm A năm 2000 – 2001

Cho ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi Chứng minh

Bài 740 Đại học Quốc gia Hà Nội khối D năm 2000 – 2001

Chứng minh rằng với mọi x và với mọi 0   ta luôn có: x1      1 x

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

Bài 741 Đại học Vinh khối A, B năm 2000 – 2001

Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì:

Gv: Võ Hữu Quốc phone: 0974.26.29.21

3a 3b 3c 4abc13

Bài 742 Đại học năm 2002 dự bị 1

Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC,

CA, AB Chứng minh rằng:

   (a, b, c là các cạnh của ABC, R là

bán kính đường tròn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy ra khi nào ?

Bài 743 Đại học năm 2002 dự bị 6

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb,

hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:

Bài 744 Đại học khối D năm 2005

Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:

Bài 745 Đại học khối B năm 2005 dự bị 1

Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: 3

4

  

Chứng minh rằng: 3a3b 3b3c3 c3a  Khi nào đẳng thức xảy ra ? 3

Bài 746 Đại học khối B năm 2005 dự bị 2

Chứng minh rằng: nếu 0   thì y x 1 x y y x 1

4

  Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 747 Đại học khối D năm 2005 dự bị 2

Cho x, y, z là 3 số dương và xyz Chứng minh: 1 x2 y2 z2 3

1 y 1 z1 x 2

Bài 748 Đại học khối A năm 2006

Cho 2 số thực x 0, y  thay đổi và thoả mãn điều kiện: 0 xy xy x2 y2xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 13 13

A

Bài 749 Đại học khối B năm 2006

Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 2 2  2 2

A x1 y  x1 y   y 2