Chuyên đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi - Giáo Án Mẫu

Có thể bạn quan tâm

Trang chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Liên hệ

Giáo Án Mẫu

Tổng hợp giáo án điện tử mầm non, mẫu giáo, tiểu học, trung học, đại học

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

Cho 2 số nguyên a và b trong đó b  0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho:

a = bq + r Với 0  r   b

Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.

Khi a chia cho b có thể xẩy ra  b số dư

r  {0; 1; 2; ;  b}

Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.

Ký hiệu: ab hay b\ a

20 trang | Chia sẻ: oanh_nt | Lượt xem: 1890 | Lượt tải: 1

Bạn đang xem nội dung tài liệu Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên 1) + 18n Ta thấy (n - 1)n (n + 1) M 3 (CM Ví dụ 1) Þ 3(n - 1)n (n + 1) M 9 mà Þ A M 9 (ĐPCM) Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n M 3 84 với " n chẵn, n³4 Giải Vì n chẵn, n³4 ta đặt n = 2k, k³2 Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) Với k ³ 2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4. Þ (k - 2)(k - 1)(k + 1)k M 8 Mà (k - 2) (k - 1)k M 3 ; (3,8)=1 Þ (k - 2) (k - 1) (k + 1)k M 24 Þ 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k M (16,24) Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n M 384 với " n chẵn, n ³ 4 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: a. n(n + 1) (2n + 1) M 6 b. n5 - 5n3 + 4n M 120 Với " n Î N Bài 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n M 24 Với " n Î Z Bài 3: CMR: Với " n lẻ thì n2 + 4n + 3 M 8 n3 + 3n2 - n - 3 M 48 n12 - n8 - n4 + 1 M 512 Bài 4: Với p là số nguyên tố p > 3 CMR : p2 - 1 M 24 Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27. HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: a. n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) M 6 b. n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n = n(n2 - 1) (n2 - 4) = n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) M 120 Bài 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2 = n(n3 + 6n2 + 6 + 11n) = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) M 24 Bài 3: a. n2 + 4n + 3 = (n + 1) (n + 3) M 8 b. n3 + 3n2 - n - 3 = n2(n + 3) - (n + 3) = (n2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) = (2k + 4) (2k + 2) (2k với n = 2k + 1, k Î N) = 8k(k + 1) (k +2) M 48 c. n12 - n8 - n4 + 1 = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1) = (n4 - 1) (n8 - 1) = (n4 - 1)2 (n4 + 1) = (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1) = 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) Với n = 2k + 1 Þ n2 + 1 và n4 + 1 là những số chẵn Þ (n2 + 1)2 M 2 n4 + 1 M 2 Þ n12 - n8 - n4 + 1 M (24.22. 22. 1 . 21) Vậy n12 - n8 - n4 + 1 M 512 Bài 4: Có p2 - 1 = (p - 1) (p + 1) vì p là số nguyên tố p > 3 Þ p M 3 ta có: (p - 1) (p + 1) M 8 và p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k Î N) Þ (p - 1) (p + 1) M 3 Vậy p2 - 1 M 24 Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1) trong 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; …; n + 999 có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n0, khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99; n0 + 199; … n0 + 899 (2) Có tổng các chữ số lần lượt là: s; s + 1 … ; s + 26 Có 1 số chia hết cho 27 (ĐPCM) * Chú ý: n + 899 £ n + 999 + 899 < n + 1989 Þ Các số ở (2) nằm trong dãy (1) 3. Phương pháp 3: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Ví dụ 1: CMR: Với " n Î N Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho 6 Giải Ta thấy 1 trong 2 thừa số n và 7n + 1 là số chẵn. Với " n Î N Þ A(n) M 2 Ta chứng minh A(n) M 3 Lấy n chia cho 3 ta được n = 3k + 1 (k Î N) Với r Î {0; 1; 2} Với r = 0 Þ n = 3k Þ n M 3 Þ A(n) M 3 Với r = 1 Þ n = 3k + 1 Þ 2n + 7 = 6k + 9 M 3 Þ A(n) M 3 Với r = 2 Þ n = 3k + 2 Þ 7n + 1 = 21k + 15 M 3 Þ A(n) M 3 Þ A(n) M 3 với " n mà (2, 3) = 1 Vậy A(n) M 6 với " n Î N Ví dụ 2: CMR: Nếu n M 3 thì A(n) = 32n + 3n + 1 M 13 Với " n Î N Giải Vì n M 3 Þ n = 3k + r (k Î N); r Î {1; 2; 3} Þ A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + 1 = 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + 1 ta thấy 36k - 1 = (33)2k - 1 = (33 - 1)M = 26M M 13 33k - 1 = (33 - 1)N = 26N M 13 với r = 1 Þ 32n + 3n + 1 = 32 + 3 +1 = 13 M 13 Þ 32n + 3n + 1 M 13 với r = 2 Þ 32n + 3n + 1 = 34 + 32 + 1 = 91 M 13 Þ 32n + 3n + 1 Vậy với n M 3 thì A(n) = 32n + 3n + 1 M 13 Với " n Î N Ví dụ 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n - 1 M 7 Giải Lấy n chia cho 3 ta có n = 3k + 1 (k Î N); r Î {0; 1; 2} Với r = 0 Þ n = 3k ta có 2n - 1 = 23k - 1 = 8k - 1 = (8 - 1)M = 7M M 7 với r =1 Þ n = 3k + 1 ta có: 2n - 1 = 28k +1 - 1 = 2.23k - 1 = 2(23k - 1) + 1 mà 23k - 1 M 7 Þ 2n - 1 chia cho 7 dư 1 với r = 2 Þ n = 3k + 2 ta có : 2n - 1 = 23k + 2 - 1 = 4(23k - 1) + 3 mà 23k - 1 M 7 Þ 2n - 1 chia cho 7 dư 3 Vậy 23k - 1 M 7 Û n = 3k (k Î N) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) M 5 Với " n Î Z Bài 2: Cho A = a1 + a2 + … + an B = a51 + a52 + … + a5n Bài 3: CMR: Nếu (n, 6) =1 thì n2 - 1 M 24 Với " n Î Z Bài 4: Tìm số tự nhiên W để 22n + 2n + 1 M 7 Bài 5: Cho 2 số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + 1 = n2 CMR: mn M 55 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: + A(n) M 6 + Lấy n chia cho 5 Þ n = 5q + r r Î {0; 1; 2; 3; 4} r = 0 Þ n M 5 Þ A(n) M 5 r = 1, 4 Þ n2 + 4 M 5 Þ A(n) M 5 r = 2; 3 Þ n2 + 1 M 5 Þ A(n) M 5 Þ A(n) M 5 Þ A(n) M 30 Bài 2: Xét hiệu B - A = (a51 - a1) + … + (a5n - an) Chỉ chứng minh: a5i - ai M 30 là đủ Bài 3: Vì (n, 6) =1 Þ n = 6k + 1 (k Î N) Với r Î {±1} r = ±1Þ n2 - 1 M 24 Bài 4: Xét n = 3k + r (k Î N) Với r Î {0; 1; 2} Ta có: 22n + 2n + 1 = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + 1 Làm tương tự VD3 Bài 5: Có 24m4 + 1 = n2 = 25m4 - (m4 - 1) Khi m M 5 Þ mn M 5 Khi m M 5 thì (m, 5) = 1 Þ m4 - 1 M 5 (Vì m5 - m M 5 Þ (m4 - 1) M 5 Þ m4 - 1 M 5) Þ n2 M 5 Þ ni5 Vậy mn M 5 4. Phương pháp 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ Giả sử chứng minh an M k Ta có thể phân tích an chứa thừa số k hoặc phân tích thành các thừa số mà các thừa số đó chia hết cho các thừa số của k. Ví dụ 1: CMR: 36n - 26n M 35 Với " n Î N Giải Ta có 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M = (33 + 23) (33 - 23)M = 35.19M M 35 Vậy 36n - 26n M 35 Với " n Î N Ví dụ 2: CMR: Với " n là số tự nhiên chăn thì biểu thức A = 20n + 16n - 3n - 1 M 232 Giải Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = 1 ta chứng minh A M 17 và A M 19 ta có A = (20n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M M 17M 16n - 1 = (16 + 1)M = 17N M 17 (n chẵn) Þ A M 17 (1) ta có: A = (20n - 1) + (16n - 3n) có 20n - 1 = (20 - 1)p = 19p M 19 có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q M 19 (n chẵn) Þ A M 19 (2) Từ (1) và (2) Þ A M 232 Ví dụ 3: CMR: nn - n2 + n - 1 M (n - 1)2 Với " n >1 Giải Với n = 2 Þ nn - n2 + n - 1 = 1 và (n - 1)2 = (2 - 1)2 = 1 Þ nn - n2 + n - 1M (n - 1)2 với n > 2 đặt A = nn - n2 + n - 1 ta có A = (nn - n2) + (n - 1) = n2(nn-2 - 1) + (n - 1) = n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1) = (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1) = (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1)2M M (n - 1)2 Vậy A M (n - 1)2 (ĐPCM) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: a. 32n +1 + 22n +2 M 7 b. mn(m4 - n4) M 30 Bài 2: CMR: A(n) = 3n + 63 M 72 với n chẵn n Î N, n ³ 2 Bài 3: Cho a và b là 2 số chính phương lẻ liên tiếp CMR: a. (a - 1) (b - 1) M 192 Bài 4: CMR: Với p là 1 số nguyên tố p > 5 thì p4 - 1 M 240 Bài 5: Cho 3 số nguyên dương a, b, c và thoả mãn a2 = b2 + c2 CMR: abc M 60 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: a. 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n = 3.9n + 4.2n = 3(7 + 2)n + 4.2n = 7M + 7.2n M 7 b. mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) M 30 Bài 3: Có 72 = 9.8 mà (8, 9) = 1 và n = 2k (k Î N) có 3n + 63 = 32k + 63 = (32k - 1) + 64 Þ A(n) M 8 Bài 4: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k Î N) Ta có (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) M 64 và 3 Bài 5: Có 60 = 3.4.5 Đặt M = abc Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 Þ a2, b2 và c2 chia hết cho 3 đều dư 1 Þ a2 ¹ b2 + c2. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M M 3 Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 Þ a2, b2 và c2 chia 5 dư 1 hoặc 4 Þ b2 + c2 chia 5 thì dư 2; 0 hoặc 3. Þ a2 ¹ b2 + c2. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5. Vậy M M 5 Nếu a, b, c là các số lẻ Þ b2 và c2 chia hết cho 4 dư 1. Þ b2 + c2 º (mod 4) Þ a2 ¹ b2 + c2 Do đó 1 trong 2 số a, b phải là số chẵn. Giả sử b là số chẵn Nếu C là số chẵn Þ M M 4 Nếu C là số lẻ mà a2 = b2 + c2 Þ a là số lẻ Þ b2 = (a - c) (a + b) Þ Þ chẵn Þ b M 4 Þ m M 4 Vậy M = abc M 3.4.5 = 60 5. Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG Giả sử chứng minh A(n) M k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k. Ví dụ 1: CMR: n3 + 11n M 6 với " n Î z. Giải Ta có n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n Vì n, n - 1; n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp Þ n(n + 1) (n - 1) M 6 và 12n M 6 Vậy n3 + 11n M 6 Ví dụ 2: Cho a, b Î z thoả mãn (16a +17b) (17a +16b) M 11 CMR: (16a +17b) (17a +16b) M 121 Giải Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) M 11 Þ (1) Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) M 11 (2) Từ (1) và (2) Þ Vậy (16a +17b) (17a +16b) M 121 Ví dụ 3: Tìm n Î N sao cho P = (n + 5)(n + 6) M 6n. Giải Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30 = 12n + n2 - n + 30 Vì 12n M 6n nên để P M 6n Û n2 - n + 30 M 6n Û Từ (1) Þ n = 3k hoặc n = 3k + 1 (k Î N) Từ (2) Þ n Î {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Vậy từ (1); (2) Þ n Î {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay các giá trị của n vào P ta có n Î {1; 3; 10; 30} là thoả mãn Vậy n Î {1; 3; 10; 15; 30} thì P = (n + 5)(n + 6) M 6n. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73 M 23 Bài 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 M 24 Bài 3: CMR: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 M 59 b. 9 2n + 14 M 5 Bài 4: Tìm n Î N sao cho n3 - 8n2 + 2n M n2 + 1 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53) = 8m + 8N M 23 Bài 2: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24 Ta thấy n và 3n + 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ Þ n(3n + 5) M 2 Þ ĐPCM Bài 3: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 = 5n(25 + 26) + 8 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m M 59 b. 9 2n + 14 = 9 2n - 1 + 15 = (81n - 1) + 15 = 80m + 15 M 5 Bài 4: Có n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + 8 M (n2 + 1) Û n + 8 M n2 + 1 Nếu n + 8 = 0 Þ n = -8 (thoả mãn) Nếu n + 8 ¹ 0 Þ ½n + 8½³ n2 + 1 Þ Þ n Î {-2; 0; 2} thử lại Vậy n Î {-8; 0; 2} 6. Phương pháp 6: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC Giả sử CM A(n) M P với n ³ a (1) Bước 1: Ta CM (1) đúng với n = a tức là CM A(n) M P Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là CM A(k) M P với k ³ a Ta CM (1) đúng với n = k + 1 tức là phải CM A(k+1) M P Bước 3: Kết luận A(n) M P với n ³ a Ví dụ 1: Chứng minh A(n) = 16n - 15n - 1 M 225 với " n Î N* Giải Với n = 1 Þ A(n) = 225 M 225 vậy n = 1 đúng Giả sử n = k ³ 1 nghĩa là A(k) = 16k - 15k - 1 M 225 Ta phải CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1 M 225 Thật vậy: A(k+1

File đính kèm:

[VNMATH.COM]-CHUYEN-DE-BDHSG-CHIA-HET.doc

Giáo án liên quan

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Tây Ninh năm học 2012 - 2013 môn thi: Toán không chuyên
4 trang | Lượt xem: 1034 | Lượt tải: 0
Giáo án Đại số 9 học kỳ I Trường THCS Trần Quý Cáp
31 trang | Lượt xem: 1737 | Lượt tải: 0
Giáo án Đại số 9 học kỳ II Trường THCS Trần Quý Cáp
60 trang | Lượt xem: 1835 | Lượt tải: 0
Giáo án Đại số 9 tiết 29: Kiểm tra chương II
3 trang | Lượt xem: 863 | Lượt tải: 0
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm học 2012 - 2013 môn thi: Toán
3 trang | Lượt xem: 967 | Lượt tải: 0
Giáo án Toán Lớp 9 - Tiết 32: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế - Năm học 2016-2017- Hoàng Trung Dương
4 trang | Lượt xem: 264 | Lượt tải: 0
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Lào Cai năm học 2012 - 2013 môn thi: Toán
3 trang | Lượt xem: 847 | Lượt tải: 0
Đề kiểm tra một tiết Chương I môn Đại số 9 - Trường THCS Chu Văn An
3 trang | Lượt xem: 1028 | Lượt tải: 0
Đề khảo sát chất lượng giữa kỳ I môn Toán học Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Chí Linh (Có đáp án)
1 trang | Lượt xem: 673 | Lượt tải: 0
Đề kiểm tra chương I môn Hình học 9
6 trang | Lượt xem: 946 | Lượt tải: 0