CHUYÊN đề ĐỊNH Lý KOENIG TRONG Các Bài TOÁN Cơ ... - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (392 trang)

Trang chủ

Thạc sĩ - Cao học

Sư phạm

CHUYÊN đề ĐỊNH lý KOENIG TRONG các bài TOÁN cơ học DẠNG vật rắn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.23 MB, 392 trang )

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VILỜI NÓI ĐẦUTrong hành trình phát triển của nền giáo dục Việt Nam, hệ thống các trườngTHPT chuyên ngày càng khẳng định được vị thế quan trọng của mình trong việc pháthiện, tuyển chọn và bồi dưỡng nhân tài, chắp cánh những ước mơ bay cao, bay xa tớichân trời của tri thức và thành công. Đối với các trường THPT chuyên, công tác họcsinh giỏi luôn được đặt lên hàng đầu, là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi năm học. Hộithảo khoa học các trường THPT chuyên Khu vực Duyên Hải và Đồng bằng Bắc Bộ làmột hoạt động bổ ích diễn ra vào tháng 11 thường niên. Đây là dịp gặp gỡ, giao lưu,học hỏi, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, phát hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng đội tuyểnhọc sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế giữa các trường THPT chuyên trong khu vực. Nămnăm qua, các hội thảo khoa học đều nhận được sự hưởng ứng nhiệt tình của cáctrường, bước đầu đã đem đến những hiệu ứng tốt, tác động không nhỏ đến công tácbồi dưỡng học sinh giỏi và chất lượng đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của các trườngChuyên.Năm 2013 là năm thứ 6, hội thảo khoa học của Hội các trường THPT chuyênKhu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ được tổ chức tại Thái Bình - mảnh đất quêlúa, mang trong mình truyền thống yêu nước và truyền thống hiếu học. Tại hội thảolần này, chúng tôi chủ trương tập trung vào những vấn đề mới mẻ, thiết thực và có ýnghĩa đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi, để quý thầy cô đã, đang và sẽ đảm nhiệmcông tác này tiếp tục trao đổi, học tập, nâng cao hơn nữa năng lực chuyên môn củamình.Tập tài liệu của Hội thảo lần thứ VI bao gồm những chuyên đề khoa học đạtgiải của quý thầy cô trong Hội các trường THPT chuyên Khu vực Duyên hải và Đồngbằng Bắc bộ. Các bài viết đều tập trung vào những vấn đề trọng tâm đã được hội đồngkhoa học trường THPT chuyên Thái Bình thống nhất trong nội dung hội thảo. Nhiềuchuyên đề thực sự là những công trình khoa học tâm huyết, say mê của quý thầy cô,tạo điểm nhấn quan trọng cho diễn đàn, có thể coi là những tư liệu quý cho các trườngtrong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.Xin chân thành cảm ơn sự cộng tác của quý thầy cô đến từ các trường THPTchuyên Khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ cùng các trường THPT chuyên vớivai trò quan sát viên. Chúng tôi hy vọng, sẽ tiếp tục nhận được nhiều hơn nữa sự phảnhồi, đóng góp, trao đổi của quý thầy cô để các chuyên đề khoa học hoàn thiện hơn.Thái Bình, tháng 11 năm 2013TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI BÌNHTrường THPT Chuyên Thái Bình1HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIChuyên đề xếp loại xuất sắcĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮNBiên soạn: Nguyễn Chí TrungĐơn vị công tác: THPT Chuyên Bắc NinhLỜI NÓI ĐẦUTrong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý cũng nhưchương trình vật lý đại cương, tôi thấy phần các bài tập cơ học vật rắn là phầnkiến thức khó và đặc biệt là phần Định lý Koenig để xác định mô men độnglượng và mô men lực đối với một trục quay hay một điểm thì càng khó hơn vìđây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng toán học tốt về phần giảitích vec tơ. Đây là phần kiến thức khó nhưng cũng rất cơ bản giúp chúng ta cóthể giải quyết các bài toán cơ học vật rắn tốt hơn, nhanh gọn hơn. Chính vì vậytôi biên soạn chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠHỌC VẬT RẮN” nhằm góp phần cung cấp kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năngvận dụng các định lý này trong việc giải các bài toán cơ học vật rắn cho họcsinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thihọc sinh giỏi quốc gia và thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái BìnhDương cũng như Olympic quốc tế.Sau đây là nội dung của chuyên đề:- Cơ sở lý thuyết.- Các ví dụ đơn giản áp dụng công thức.- Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết.- Các bài tập tự luyện tập với đáp số.Trường THPT Chuyên Thái Bình2HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VII. CƠ SỞ LÝ THUYẾT1. Khối tâma) Đối với hệ chất điểm S là trọng tâm của các điểm Mi có khối lượng mi,gọi O là một điểm tùy ý, ta cóOG = rG =∑m r = ∑m rM∑mi ii i(1) với r i = OM iiNếu ta chọn O ở G thì rG = 0b) Đối với vật rắn:rG =∫ rdm = ∫ rdm∫ dm M(2)2. Động lượnga) Định nghĩa:Các điểm MI cấu tạo nên hệ S chuyển động với vận tốc v i trong hệ quychiếu R. Tổng động lượng p của S trong R bằng tổng cộng động lượng của cácchất điểm cấu tạo nên hệ S:p = ∑ mi vi = ∑ mi()d ri dd= ( ∑ mi vi ) =m.OG = mvGdt dtdt(3)Ta có nhận xét quan trọng: Tổng động lượng của một hệ chất điểm tronghệ quy chiếu (HQC) R bằng động lượng trong R của một chất điểm giả định ởtại khối tâm G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ S.p = mvGb) Tổng động lượng trong HQC trọng tâm R**Theo định nghĩa, điểm G là điểm cố định trong R*, v G và tổng động lượng*p của hệ S trong R**bằng không: p = 0 (4)3. Mối liên hệ giữa động lượng và lực. Định luật II Newton+ Lực:∑Fext=dp= MaGdtTrường THPT Chuyên Thái Bình(5)3HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VITrong đó∑Fextlà tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ.+ Xung của lực: X = ∫ Fex dt = Fextb ∆t = ∆P04. Động năng của hệ, định lý Koenig đối với động năngChọn điểm cố định O làm gốc tọa độ, G là khối tâm của hệ, ta có:K (0) =Vì1112mi vi2 = ∑ mi viG+ mvG2 (6)∑2221∑ miviG2 là động năng toàn phần của hệ hạt đối với khối tâm G, nên ta có:212Định lý Koenig đối với động năng: K = mv 2 (G ) + K * (G )(7)5. Mô men động lượng. Định lý Koenig đối với mô men động lượnga) Mô men động lượng của hệ đối với điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ Strong HQC R) bằng tổng mô men động lượng của tất cả các điểm tạo nên hệ S.L0 = ∑ ri ∧ mi vi (8)b) Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G của S trong R*, theođịnh nghĩa là:L*G = ∑ GM i ∧ mi vi* = ∑ riG ∧ mi vi* (9)c) Định lý Koenig đối với mô men động lượngMô men động lượng đối với O của hệ chất điểm S trong HQC R bằngtổng của:+ Mô men động lượng đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G cókhối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ trong R+ Mô men động lượng đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó(nghĩa là trong chuyển động của nó quanh G)L0 = L*G + OG ∧ mvG(10)d) Mô men động lượng trọng tâmNếu A là một điểm bất kỳ nào đó, ta có thể viết trong R*:()L A = ∑ AM i ∧ mi vi = ∑ AG + GM i ∧ mi vi**= AG ∧ ∑ mi vi* + ∑ GM i ∧ mi vi*Trường THPT Chuyên Thái Bình4HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIBiết rằng p = ∑ mi vi* = 0 , chúng ta nhận thấy mô men động lượng của hệ*trong HQC trọng tâm là độc lập với điểm mà tại đó ta tính. Chúng ta có thể viết*mô men này mà không cần nói rõ chỉ số của điểm đó: L A = LG = L***Dùng định lý Koenig ta có: LG = LG = Le) Mô men động lượng tại một điểm của trụcGiả sử vật rắn S là một cánh cửa như hình vẽ. HQC RS (O,xS, yS, zS) gắnvới vật rắn, quay với vận tốc góc Ω = Ωez = ' ez trong HQC R.Ta viết biểu thức của mô men động lượng L A của vật rắn này tại mộtđiểm A cố định của trục Oz (A cũng là một điểm cố định trong HQC gắn vớivật rắn) trong R:L A = ∫∫∫ AM ∧ v( M )dmSzVới v( M ) = v(a) + Ω ∧ AM = Ωez ∧ AMHTừ đó rút ra:ML A = ∫∫∫ AM ∧ v( M )dm = Ω ∫∫∫ AM ∧ (ez ∧ AM )dmSS2(θOVậy L A = Ω ∫∫∫S ( AM ez − ( AM .ez ) AM )dmTa đưa vào điểm H là hình chiếu của M trêntrục quay:ySyθxSxΩ = ' ez)AM = AH + HM = AM .ez ez + HMVậy ta được:L A = Ω ∫∫∫ HM 2 dm − Ω ∫∫∫ ( AM .ez ) HM )dm (Vì HM 2 = AM 2 − AH 2 )SSNhư vậy ta phân biệt trong biểu thức của L A hai thành phần:+ Một thành phần cùng phương với vec tơ quay, đó là: L A = Ω ∫∫∫S HM 2 dm+MộtthànhphầnvuônggócvớivectơL A⊥ = −Ω ∫∫∫ ( AM .ez ) HM )dmSf) Mô men động lượng đối với trục ∆ - Mô men quán tính:Trường THPT Chuyên Thái Bình5quay,đólà:HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIThành phần L∆ trên trục quay L A của mô men động lượng được gọi là mômen động lượng của vật rắn đối với trục ∆.∆L∆ = L A .ez = L A .ez = ez Ω ∫∫∫ HM 2 dm = Ω ∫∫∫ HM 2 dmSSTheo định nghĩa, L∆ không phụ thuộc vào vị trícủa điểm A trên trục ∆.+ Khoảng cách HM = r của điểm M đến trục quayHrMlà không đổi khi vật rắn quay và ta cũng định nghĩa mô men quán tính J ∆ của vậtrắn đối với trục quay ∆ như sau: J ∆ = ∫∫∫S r 2 dmMô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay đặc trưng chomức quán tính của chuyển động quay của vật rắn quanh trục đó (bất biếntheo thời gian), chỉ phụ thuộc vào cách phân bố khối lượng trong vật rắn.6. Mô men lực, định lý Koenig đối với mô men lực+ Mô men lực M O tại điểm O của hệ S trong R có biểu thức là:M O = ∑ OM i ∧ mi ai+ Mô men lực tại G trong R* (R* là tịnh tiến đối với R)M G = ∑ GM i ∧ mi a i = ∑ riG ∧ mi a i***Từ công thức cộng gia tốc ta có: ai = ae ( M i ) + aC ( M ) + ai* = aG + ai*Gia tốc Coriolis bằng không còn gia tốc kéo theo không phụ thuộc vàochỉ số i và bằng gia tốc aG của điểm G.()Ta rút ra: M O = ∑ ( OG ∧ GM i ) ∧ mi aG + ai* = OG ∧ maG + ∑ GM i ∧ mi ai*Vì∑ m GMii= 0 và∑m ai*i= F * = 0 nên ta suy ra định lý Koenig đối vớimô men lực:+ Xung của mô men lực: M Ox = ∫ M g dt = ∆L00Định lý Koenig đối với mô men lực: Mô men lực đối với O của hệ chấtđiểm S trong HQC R bằng tổng của:+ Mô men lực đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khốilượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ trong RTrường THPT Chuyên Thái Bình6HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI+ Mô men lực đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa làtrong chuyển động của nó quanh G)*M 0 = M G + OG ∧ maG(10)7. Mô men lực trọng tâm:Cũng như đối với mô men động lượng, mô men lực của S trong HQCtrọng tâm R* không phụ thuộc vào điểm mà ta tính. Chúng ta có thể viết mô*men này mà không cần nói rõ chỉ số của điểm đó: M A = M G = M*Dùng định lý Koenig ta có: M G = M G = M**8. Mối liên hệ giữa mô men động lượng và mô men lựcTa xét trường hợp tổng quát, điểm được chọn để tính mô men là điểm bấtký P, điểm này có thể đứng yên hoặc chuyển động đối với điểm cố định O chọnlàm gốc tọa độ (hình vẽ)y1r1Or1 − rPrP P r2 − rP2r2xTheo định nghĩa mô men động lượng toàn phần của hệ đối với điểm P là:LP = ∑ (ri − rP ) ∧ mi (vi − vP )Lấy đạo hàm theo thời gian, ta đượcdLP= ∑ (vi − vP ) ∧ mi (vi − vP ) + (ri − rP ) ∧ mi (ai − aP )dt= 0 + ∑ (ri − rP ) ∧ (mi .ai − mi aP )Thay mi ai = Fi ex + Fi in là tổng hợp các ngoại lực và nội lực tác dụng lên hạtI, ta được:dLP= ∑ ( ri − rP ) ∧ Fi ext − ∑ mi ( ri − rP ) ∧ aPdtThay tiếp∑ m .r = mri iG, ta đượcTrường THPT Chuyên Thái Bình7HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIdLP= ∑ ( ri − rP ) ∧ Fi ex − m ( rG − rP ) aPdtVì∑(r − r ) ∧ FiPiextheo định nghía là mô men của ngoại lực đối với P,nên cuối cùng ta được công thức tổng quát:dLP= ∑ M Pex − ( rG − rP ) ∧ maPdt(6)Công thức (6) cho thấy mối liên hệ giữa mô men lực và mô men độnglượng không đơn giản như mối liên hệ giữa lực và động lượng. Có dự khác biệtnày là do mô men động lượng và mô men lực còn tùy thuộc vào điểm để tínhmô men.Bây giờ ta bàn tiếp số hạng thứ hai trong công thức (6). Số hạng này chỉtriệt tiêu nếu một trong ba điều kiên sau đây được thỏa mãn:a) aP = 0 . Điểm P đứng yên (hay chuyển động thẳng đều)dLP= ∑ M P (P cố định) (7)dtb) rG = rP hay P ≡ G . Khi ấy ta có:dLG= ∑ M Gexdtc) Gia tốc aP / / ( rG − rP ) hay aG / / PG . Khi ấy ta có:{}dLP= ∑ M Pex aP / / PGdt(9)9. Các chú ý về toán học:Cho hai vec tơ: A = (ax , a y , az ) , B = (bx , by , bz )+ Tích vô hướng của hai vec tơ: A.B = (axbx + a y by + az bz )+ Tích có hướng của hai vec tơ: A ∧ B = i (a y bz − az by ) + j (az bx − axbz ) + k (axby − a y bx )Với i, j , k là các vec tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, OzTrường THPT Chuyên Thái Bình8HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIII. BÀI TẬP VÍ DỤVí dụ 1.Hai chất điểm A và B giống hệt nhau, cókhối lượng m liên kết với nhau bằng một thanhchiều dài là b, khối lượng không đáng kể. A dịchchuyển trên vòng tròn tâm O bán kính b và thanhAB có thể dao động quanh một trục đi qua A vàvuông góc mặt phẳng như hình vẽ. Tính tổng độnglượng và mô men động lượng đối với O của hệ ABOαAβBtheo các góc α, β và đạo hàm của chúng theo thờigian.GiảiCách 1:Ta có: p = mv( A) + mv( B)LO = OA ∧ mv( A) + OB ∧ mv( B )Với OA = (b cos , b sin , 0)suy ra v( A) = OA ' = (−b 'sin , b ' cos , 0)và OB = (b(cos + cos ), b(sin + sin ), 0)v( B ) = OB ' = (−b( 'sin+'sin ), b( ' cos + ' cos ), 0)Suy ra p = mv( A) + mv( B) = m(−b(2 'sin + 'sin ), b(2 ' cos + ' cos ), 0)Và LO = OA ∧ mv( A) + OB ∧ mv( B) = mb 2 (2 '+ '+ 2 ' cos( − ))ezVới ez là vec tơ đơn vị của trục Oz vuông góc, đi ra ngoài mặt phẳng hình vẽCách 2:Chúng ta có thể dùng định lý Koenig bằng cách đưa vào khối tâm G(trung điểm của AB) của hệ.1212Ta có OG = (b(cos + cos ), b(sin + sin ), 0)Trường THPT Chuyên Thái Bình9HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIVà vận tốc khối tâm G là:vG = OG ' = (−b( 'sin+12'sin ), b( 'cos +12' cos ), 0)Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G:L*G = GA ∧ mv ( A)* + GB ∧ mv ( B )* = 2GB ∧ mv ( B)* vì GA = −GB và v ( A)* = −v ( B )*11GB = ( bcos , b sin , 0)22v ( B )* = ( −12Oy1'sin , b ' cos , 0)2αARõ ràng là ta tìm đượcp = 2mv (G ) = m( −b(2 'sin+G'sin ), b(2 ' cos +y’β' cos ), 0)BVà tổng mô men động lượng của hệ:LO = L*G + OG ∧ 2mv (G ) = mb 2 (2 '+'+ 2 ' cos( − ))ezx’xVí dụ 2Một thanh AB đồng nhất, có tâm G, khốilượng m được treo trên hai dây nhẹ giống nhau AA’và BB’ có chiều dài b. Thanh dao động trong mặtphẳng thẳng đứng, hai dây AA’ và BB’ luôn songsong với nhau.A’B’ααGAa) Tính động năng của thanh theo đạo hàm 'của góc nghiêng của các dây ở một thời điểm chotrước.b) Tìm chu kỳ dao động nhỏ của thanh.Giảia) Định lý Koenig đối với động năng cho ta:K=1 2mv (G ) + K * (G )2Trong HQC R* (G,x,y,z) thanh đứng yên và K * (G ) = 0 nên:K=1 21mv (G ) = mb 2 '2 (1)22b) Chọn mốc thế năng tại vị trí thấp nhất của thanh trong quá trình dao độngTrường THPT Chuyên Thái Bình10BHỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI+ Thế năng của thanh là: U = mgb(1 − cos ) (2)+ Cơ năng của hệ là:E = K +U =1 2 2mb ' + mgb(1 − cos ) = mgb(1 − cos20) = const (3)Đạo hàm theo thời gian hai vế của (3) ta được: " b + g sin = 0 (4)< 10o → sinVới≈ (rad )thì phương trình (4) trở thành:"+2= 0 vớiVậy chu kỳ dao động nhỏ của thanh là: T =22==2gbbgVí dụ 3Một vòng tròn đồng nhất có tâm O, khối lượngωm, bán kính a quay với tốc độ ω không đổi quanh trụcezcố định của nó. Tính mô men động lượng của vòng trònở O và động năng của vòng tròn đó.GiảiĐiểm M của vòng tròn được xác định bởi các tọa độ cực: OM = aerVận tốc của M là: v( M ) = a eTừ đây suy ra:+ Mô men động lượng đối với O:LO =∫OM ∧ v( M )dm = ma 2 ezvòngeO+ Mô men lực đối với O:MO =+dddLO =OM ∧ v( M )dm = (ma 2 )ez = 0∫dtdt vòngdt12+ Động năng K = J ∆2=1ma 222Ví dụ 4Chứng minh định lý Huygens bằng cách:a) Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng.b) Dùng chứng minh hình học.Trường THPT Chuyên Thái Bình11MerHỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIGiảia) Gọi A là điểm cố định của trục ∆.+ Trong R: L∆ = J ∆G Ω+ Theo định lý Koenig: L∆ = LA .ez = ( AG ∧ mv(G ) ) ez + L*G .ezVới v(G) = Ωez ∧ AGTừ đó: ( AG ∧ mv(G ) ) ez = m ( AG 2 − AH G2 ) Ω = ma 2ΩTrong R*: L*∆ = L*G .ez = J ∆G ΩTừ đó: J ∆ = ma 2 + J ∆Gb) H và HG là hình chiếu của một điểm M của vật rắn tương ứng trên ∆ và∆G, ta có:J ∆ = ∫∫∫ HM 2 dm và J ∆G = ∫∫∫ H G M 2 dmSSNhưng HM = ( HH G + H G M ) = HH G2 + H G M 2 + 2 HH G .H G M22Với HH G = a là khoảng cách giữa hai trục ∆ và ∆G vàHH G .H G M = HH G .GM vì HH G .H G G = 0SGHMHG∆∆GĐể ý rằng vec tơ HH G là độc lập với điểm M, từ đó lấy tổng cho cả vật rắn S tasuy ra: J ∆ = ma 2 + J ∆G + 2 HH G ∫∫∫S GM dmSố hạng cuối cùng của biểu thức này bằng không theo định nghĩa củakhối tâm G nên: J ∆ = ma 2 + J ∆GVí dụ 5Xét một con lắc treo ở điểm O cố định gồmthanh OA khối lượng không đáng kể và chiều dài là R,người ta hàn vào thanh một dây thuần nhất khối lượng mcó dạng là một nửa vòng tròn mà thanh OA là bán kính.Vị trí của con lắc được xác định theo góc α giữa thanhOA và đường thẳng đứng hướng xuống. Xác định tổngđộng lượng, mô men động lượng đối với O, mô men lựcđối với O và động năng của con lắc phụ thuộc vào α vàTrường THPT Chuyên Thái Bình12HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIcác đạo hàm của chúng.GiảiMột điểm M của nửa vòng tròn được xác địnhbởi góc=+với β = const (hình vẽ)Từ đó: OM = Rer và v( M ) = R ' eTừ đây ta suy ra:C2+ Động lượng: p = ∫ v( M )dm = mR ' ezBC+ Mô men động lượng: LO = ∫ OM ∧ v(M )dm = mR ' ezBC+ Mô men lực: M O =d LO d= ( ∫ OM ∧ v(M )dm) = mR '' ezdtdt B12Và động năng: K = mR 2 '2Ví dụ 6.Một thanh AB đồng nhất chiều dài 2bvà khối tâm G là trung điểm của AB. Thanhtựa lên mặt đất nằm ngang và gối lên một bứctường thẳng đứng. Vị trí của thanh được xácđịnh theo góc(yG)= Ox, OG , góc này thay đổikhi thanh trượt ở A và B.+BO1) Xác định các thành phần của vận tốcv(G ) của điểm G theo α và đạo hàm của α.2) Tìm vec tơ quay Ω của thanh.Chú ý: cần chú ý đến dấu của các biểu thức khi tính toán.Giải.1. Trong tam giác vuông OAB, trung tuyến OG có chiều dài b, từ đó:Trường THPT Chuyên Thái Bình13xAHỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIOG = ( b cos , b sin , 0 )Vận tốc khối tâm: v(G ) =dOG = ( −b 'sin , b ' cos , 0 ) (1)dt2. Véc tơ quay của thanh hướng theo trục ez , ta đặt Ω = ΩezTa cũng có thể viết biểu thức của v(G ) như sau:v(G ) = v( A) + Ω ∧ AGBiết rằng OA = 2b cos .ex suy ra v( A) =dOA = −2b 'sin .exdtTừ đây suy ra: v(G ) = v( A) + Ω ∧ AG = (−b(Ω + 2 ') sin ; −bΩcos ;0) (2)Cho (1) bằng (2) ta được Ω = − ' ezVí dụ 7.Một con lắc kép gồm hai thanh OA và ABgiống nhau, đồng chất, có khối lượng m, chiều dài2b và nối khớp ở A. Hai thanh chuyển động trongmặt phẳng thẳng đứng Oxy và góc nghiêng củaOαA+y’G1βchúng được xác định bởi các góc α, β so vớiđường thẳng đứng Ox hướng xuống. Tính mô menđộng lượng đối với O và động năng của con lắckép này.yG2xBx’GiảiThanh OA quay quanh trục Oz cố định, định lý Huygens cho:J OZ (OA) = mb 2 +14m(2b) 2 = mb 2123Từ đó ta có mô men động lượng của thanh OA đối với điểm O:LO (OA) = J Oz (OA). ' ez =4 2mb ' ez3Động năng của thanh OA:K (OA) =12J Oz (OA). '2 = mb 2 '223Áp dụng định lý Koenig cho phép tính các phần tử động học của thanh AB:Trường THPT Chuyên Thái Bình14HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VILO ( AB ) = OG2 ∧ mv(G2 ) + J G2 z ( AB ). ' ezK ( AB ) =1 21mv (G2 ) + J G2 z ( AB ). '2222b cos + b cosBiết rằng: OG2 2b sin + b sin0−2b 'sin − b 'sindVà vận tốc của G2 là v(G2 ) = OG2 = 2b ' cos + b ' cosdt0Và J Gz ( AB) =11m(2b) 2 = mb 2 = J1231Ta có: LO ( AB ) =  mb 2 (4 '+ '+ 2( '+ ')cos( − ) + mb 2 '  ez3Và động năng: K ( AB ) =  mb 2 (4 '2 + '2 + 4 '. ' cos( − ) + mb 2 '2 2611Đối với cả hệ con lắc kép:4 16'+LO = LO (OA) + LO ( AB ) = mb 2 3 38 2 2K = K (OA) + K ( AB ) = mb 2 ' +33'+ 2( '+')cos( − )  ez'2 + 2 '. ' cos( − ) Ví dụ 8.Hai vật khác nhau có cùng khối lượng m trượt không ma sát trên mặt bànnằm ngang. Thời gian đầu các vật này thực hiện trượt tịnh tiến( không quay) vàcác tâm của chúng có cùng vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song.Khoảng cách giữa các đường thẳng bằng d. Tại một thời điểm nhất định xảy rava chạm đàn hồi lý tưởng giữa các vật. Sau va chạm, các vật thực hiện chuyểnđộng tịnh tiến, quay và tiếp tục trượt trên mặt bàn, vận tốc góc của vật thứ nhấtbằng1, của vật thứ hai bằng2. Mô men quán tính của chúng tính theo các trụthẳng đứng đi qua khối tâm lần lượt là I1 và I2.a) Hãy chỉ ra rằng mô men xung lượng của vật tính theo điểm xác định bấtkì của mặt bàn bằng tổng mô men xung lượng của vật tính theo khối tâmcủa nó.Trường THPT Chuyên Thái Bình15HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIb) Tính khoảng cách d’ giữa các đường thẳng dọc theo khối tâm của hai vậtchuyển động sau va chạm.c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc của vật thứ nhất làvcòn2vật thứ hai không quay. Hãy xét sự phụ thuộc của d’ vào d.Giải:mia)Ta cần chứng minh:LO = LG + ( ∑ mi ) rG ∧ vG = LG + M rG ∧ vGrG + riGXét phần tử mi trên vật rắn. Ta có:LO = ∑ mi (rG + ri ) ∧ (vG + vi )OrGG= (∑ mi )rG ∧ vG + (∑ mi ri ) ∧ vG + rG ∧ (∑ mi vi ) + ∑ mi ri ∧ vi∑ mi ri = 0Nhận xét: ∑ mi vi = 0Do đóLO = (∑ mi )rG ∧ vG + ∑ mi ri ∧ viMặt khác,(∑ mi )rG ∧ vG = M rG ∧ vG∑ mi ri ∧ vi = LGnênLO = LG + M rG ∧ vG (ĐPCM)'b) Gọi v1 là vận tốc của vật 1 (của G1) sau va chạm.mG1vvG2Trường THPT Chuyên Thái Bìnhri16HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIDo hệ kín nên động lượng của hệ được bảo toàn dó đó:mv1' + mv2' = mv − mv = 0 ⇒ v1' = −v2' = −v 'Ta xét mô men động lượng của hệ đối với G2.Do không có ngoại lực nên mô men động lượng trước và sau va chạm làbằng nhau.ban đầu thì LG2 = mvdTa có,sau đó thì L 'G2 = mv ' d '+ I1Mà1;21+ I2mvd − I1 1 − I 2mv 'c) Với v ' =+ I22có chiều như hình vẽ gọi là chiều dương nênmvd = mv ' d '+ I1⇒d'=1v,2222d'=0⇒d'= 2 d −I1 1mv21I1m0>0dTheo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:1 211vmv .2 = m( ) 2 .2 + I12222⇒ 2mv 2 = mv 2 + I1⇒1v=±21⇒ I12121= mv 2Im⇒d'= 2 d ± 1I1mVậy:a) LO = LG + M rG ∧ vGTrường THPT Chuyên Thái Bình17I1mHỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIb) d ' =mvd − I1 1 − I 2mv 'c) d ' = 2 d ±2I1mVí dụ 9.Xét một hình bán trụ D đồng nhất, tâm C,khối tam G, bán kính R và khối lượng m. Hệ quychiếu Trái Đất (Oxyz) được xem là quán tính. Tấtcả đều nằm trong mặt phẳng thẳng đứng (Oxy). Takí hiệu I là điểm tiếp xúc giữa mặt đất và D. Ta xácđịnh vị trí của D theo tọa độ x của tâm C của nótheo góc= (CI , CG ) .Cho CG = b =4R. Hãy xác định phương trình chuyển động của D bằng cách:3a) Tính mô men lực của đĩa D đối với I.b) Vận dụng định lý mô men lực đối với I để tìm phương trình vi phânbậc hai của α.c) Giả sử α rất nhỏ. Tuyến tính hóa phương trình vi phân có được ở câub) để từ đó suy ra chu kỳ T0 của các dao động nhỏ của D quanh vị trí cân bằng.Giảia) Tính mô men lực của D ở I+ Cách 1. Dùng định lý Koenig đối với mô men lực.M I = IG ∧ ma (G ) + J G " ezTa tìm được: M I = ( ( J + m( R 2 − 2bR cos )) "+ mRb '2 sin)ez+ Cách 2. Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng của D đối với ILI = IG ∧ mv(G ) + J G ' ez = ( J + m( R 2 − 2bR cos ) ) ' ezHay là LI = J I ' ez = ( J + m( R 2 − 2bR cos ) ) ' ezTrường THPT Chuyên Thái Bình18HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIVà dùng hệ thức M I =d LI= ( ( J + m( R 2 − 2bR cos )) "+ mRb '2 sindt)ezb) Vận dụng định lý về mô men lực đối với điểm I, phép chiếu lên trụcOz cho ngay kết quả (chỉ có mô men của trọng lực đối với I là khác không)( ( J + m( R2− 2bR cos )) "+ mRb '2 sin) = −mgb sinc) Nếu α rất nhỏ, phương trình trên được đơn giản thành:( J + mR 2 − 2mbR) " = −mgbNhư vậy vật hình bán trụ D thực hiện dao động nhỏ điều hòa quanh vị trícân bằngα = 0 với chu kỳ: T0 = 2J + mR 2 − 2mRbmgbTa có mô men quán tính của D đối với trục qua C và vuông góc với D làJ=mR 22Nên T0 = 2(9 − 16 R )8gVí dụ 10.Xét một khối lăng trụ đáy là lục giác đều, dài vàcứng, giống như một cái bút chì thông thường. Khốilượng của nó là M và được phân bố đều. Tiết diện thẳngcủa nó là một hình lục giácαđêu cạnh a. Mômen quán tính của khối lăng trụ lục giác đối với trục xuyên tâmlà I =5Ma 2 .12a) Ban đầu khối lăng trụ nằm yên trên một mặt phẳng nghiêng làm với mặtngang một góc nhỏ α. Trục của lăng trụ nằm ngang. Cho rằng các mặt của khốilăng trụ hơi lõm một chút sao cho khối trụ chỉ tiếp xúc với mặt phẳng nghiêng ởcạnh của nó. Bỏ qua ảnh hưởng của sự lõm ấy đối với mômen quán tính. Khốitrụ ấy bị đẩy cho dịch chuyển và bắt đầu lăn xuống trên mặt nghiêng. Cho rằngdo ma sát mà khối trụ không trượt và luôn chạm vào mặt nghiêng. Vận tốc gócTrường THPT Chuyên Thái Bình19HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIcủa nó ngay trước khi một cạnh của nó đập vào mặt nghiêng là ωi và ngay saukhi cạnh ấy đập vào mặt nghiêng là ωf . Chứng minh rằng ta có thể viết : ωf =sωi , tìm s.b) Động năng của khối trụ ngay trước và ngay sau khi một cạnh đập vào mặtnghiêng là Ki và Kf. Chứng minh rằng : Kf = r. Ki. Tìm r.c) Để có lần va đập tiếp theo thì Ki phải vượt qua giá trị Ki min , mà ta có thểviết dưới dạng: Ki min = δMga, trong đó g = 9,81 m/s2. Tính giá trị của δ theogóc nghiêng α và hệ số r.d) Giả sử điều kiện trong phần c) được thỏa mãn, động năng Ki sẽ dần tớimột giá trị không đổi Kio khi khối trụ lăn xuống trên mặt phẳng nghiêng. Biếtrằng giá trị ấy tồn tại, chứng minh rằng Kio có thể viết dưới dạng : Kio = kMga,tìm biểu thức của k theo α và r.e) Tính chính xác đến 0,1o góc nghiêng thối thiểu αo để cho quá trình lăn mộtkhi đã được khởi động, sẽ tiếp diễn mãi mãi.Giải.a) Cách 1.- Trước va đập, khối trụ quay quanh trục I, sau va đập nó quay quanh trục F.Xung lực xuất hiện khi va chạm đi qua F, vậy : Mômen động lượng L của khốitrụ đối với trục F được bảo toàn trong quá trình va chạm. Ta có :Trước va đập : Li = Mômen động lượng quanh khối tâm C + Mômen độnglượng của khối tâm quanh trục quay F bằng (theo định lý Koenig)LF = LG + ( FC × M vci ).LFi = I C i ez + ( FC × M vci )với ez là vec tơ đơn vị của trục hình trụLi = ICωi + vci.cos60o.a.M (1)Vì vci = ωi.a và I C =305Ma 2 nên125 11MaLi = Ma 2  i + i  =212 12Sau va đập : L f = I fCf=Ιvci2i(2)17 Ma 212οαf(3)Trường THPT Chuyên Thái Bình20FHỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI11Ma 212Suy ra : Li = Lf=i17 Ma 2⇔s=f12f=i1117lưu ý s không phụ thuộc α, a ωiCách 2.Khi cạnh khối trụ va đập vào mặt nghiêng (trong thời gian dt) thì có phảnlực N tác dụng lên khối trụ, do có ma sát nên N không vuông góc với mặtnghiêng.+ Thành phần song song với mặt nghiêng là N//.+ Thành phần vuông góc với mật nghiêng là N⊥.Lấy trục song song với mặt nghiêng hướng từ thấp đến cao, trục vuônggóc với mặt nghiêng hướng từ dưới lên trên.Ta có: N // dt = M (N ⊥ dt = M (−ff+)a.sin 30 0 = m(f−i)a. cos 30 0 = m(f+iii12Mặt khác: N ⊥ dt.a − N // dt.a3= IC (2f−i)a3(4)21)a (5)2)(6) (định lí biến thiên mômenđộng lượng đối với C)Từ (4), (5), (6) loại N// và N⊥ ta cũng được : s =f=i1117b) Tốc độ dài của khối tâm ngay trước lúc va đập là aωi và ngay sau lúcva đập là aωf.MvC2 I C 2+ Động năng toàn phần của một vật quay là : K =(7 )+22+ Trước va đập : K i =MvC2 I C i2 1 +=  Ma 22222i+5Ma 2122i 17 Ma 2 =242iTa thấyđộng năng tỉ lệ với ω2.+ Sau va đập : K f =Suy ra :KfKi=2f2iMvCf22+I C i2 1 =  Ma 22222f+121 11 = r ≈ 0,419 (8)=  =289 17 Trường THPT Chuyên Thái Bình215Ma 212 17 Ma =2422f2fHỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIc) Động năng Kf sau va đập phải đủ lớn để có thể nâng khối tâm của khốitrụ lên vị trí cao nhất trên đường thẳng đứng đi qua tiếp điểm.+ góc mà véc tơ rC phải quay là : x = 30o - α+ năng lượng để khối tâm nâng lên là :E 0 = Mga (1 − cos x ) = Mga (1 − cos(30 0 − )) (9)ta suy ra điều kiện :Kf = r.Ki > Eo = Mga(1-cos(30o - α))=[r.Ki min = δMga =Eo]11 − cos(30 0 − ) (10)rd) Gọi Ki,n và Kf,n là động năng ngay trước và ngay sau va đập lần thứ n.Ta chứng minh có hệ thức :Kj,n = r.Ki,n trong đó r được tính ở (8). Giữa hai va đập liên tiếp, độ cao khốitâmcủa khối trụ giảm di là asinα, động năng của nó tăng lên một lượng ∆ =Mgasinα,do đó Ki, n + 1 = r.Ki + ∆ (11)Ta không cần phải viết biểu thức đầy đủ của Ki,n là hàm theo Ki và n để tìmgiới hạn của nó. Làm như thế là chứng minh sự tồn tại của giới hạn đó. Theo đềbài, giới hạn đó đã tồn tại, vì thế có thể cho Ki,n + 1 ≈ Ki,n khi n đủ lớn một cáchtùy ý. Giới hạn Ki,o đó phải thỏa mãn hệ thức :Ki,o = r.Ki,o + ∆ (12)K i ,0 =∆1− rkMga =Mga sin1− r⇔k=sin(13)1− rTa có thể giải bài toán một cách tường minh bằng cách viết các biểu thức mộtcách đầy đủ :Ki,2 = r.Ki,1 + ∆Ki,3 = r.Ki,2 + ∆ = r(r.Ki,1 + ∆) + ∆ = r2.Ki,1 + (1+r)∆Ki,4 = r.Ki,3 + ∆ = r. (r2.Ki,1 + (1+r)∆) + ∆ = r3.Ki,1 + (1 + r + r2)∆........................Ki,n = rn-1.Ki,1 + (1 + r + r2 + ....+ rn-2)∆ = r n−1 K i ,1 +Khi n → ∞, vì r < 1, nên ta có : K i ,n → K i ,0 =Trường THPT Chuyên Thái Bình221∆ (15)1− r1 − r n−1∆ (14)1− rHỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VINếu ta tính biến thiên động năng trong một chu kí nghĩa là từ trước lầnđập thứ n tới trước lần đập thứ n + 1, ta được:∆Ki,n = Ki,n+1 – Ki,n = (r – 1)rn-1Ki,1 + rn-1∆ = rn-1[∆ - (1 – r)Ki,1] (16)Đại lượng này dương nếu giá trị ban đầu Ki,1 < Ki,o và khi ấy Ki,n tăng dần tớigiá trị giới hạn Ki,o. Ngược lại, nếu Ki,1 > Ki,o thì động năng trước va đập Ki,n sẽgiảm tới giá trị giới hạn Ki,o.e) Để khối trụ lăn mãi, giá trị giới hạn Ki, trong phần d) phải lớn hơn giá trịnhỏ nhất để có thể tiếp tục lăn đã tìm được trong phần c):K i ,0 =đặt A =Mga sin∆=1− r1− r>Mga(1 − cos(30 0 − ))(17)rr121ta có : Asinα > 1- cos(30o - α) = 1 – cos30ocosα - sin30osinα=1 − r 16813cos > 1 (18) A +  sin +22Giải phương trình lượng giác này ta được αo ≈ 6,58o+ Nếu α > αo và động năng trước lần va đập đầu tiên đủ lớn như đã nói ởcâu c) thì ta sẽ có một quá trình lăn liên tục.+ Chú ý: do đầu bài nói α là góc nhỏ nên cũng có thể áp dụng các côngthức gần đúng: sinx ≈x ; cosx ≈ 1- x2/2 để giải bất phương trình (18).III. BÀI TẬP TỰ GIẢIBài 1Một bánh xe to ở chỗ chơi ngàylễ hội có bán kính R quay với tốc độ gócAGω không đổi quanh trục nằm ngang củabánh xe. Ta xét một cái thùng treo (mócnối rất tốt ở A trên bánh xe) và hànhkhách (mà ta xem như hoàn toàn khôngđộng đậy trong thùng treo), hệ thùng treoTrường THPT Chuyên Thái Bình23OObHỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIvà hành khách có khối lượng m, có khốitâm G nằm trên đường thẳng đứng quađiểm A, cách A một khoảng b. Xác địnhmômen động lượng đối với O, mô men lực đối với O và động năng của hệ thùngtreo và hành khách.Đáp số: LO = mR 2 ey với vec tơ ey vuông góc mặt phẳng hình vẽM O = 0 và K =1mR 222Bài 2Bốn thanh OD, OE, AC và BC có khối lượngOkhông đáng kể nối khớp với nhau tại các điểm O, A,B và C. Điểm O là cố định, ống C được xem là mộtAϕ Bchất điểm khối lượng m trượt theo trục thẳng đứng(Oz). Ở các đầu mút D và E có hai chất điểm giốngCDnhau, cùng khối lượng m. Ta xác định vị trí của hệEbằng góc ϕ. Hãy tìm tổng động lượng, mô men độngzlượng đối với O và động năng của hệ theo đạo hàmϕ’ của góc ϕ. Cho biết: OA = OB = AC = BC = AD= BE = b.Đáp số: p = −6mb 'sin ez ; LO = 8mb 2 ' ey và K = 2mb 2 '2 (2 + sin 2 )x+Bài 3Một thanh AB có khối lượng không đang kể, chiều dài 4a được treo ở điểmgiữa O cố định. Ở A và b có khớp nối với hai thanh giống nhau CD và EF, khốilượng không đáng kể, chiều dài 2a (A là điểm giữa của CD, B là điểm giữa của EF).Ở các đầu mút C, D, E và F có bốnF Bkhối điểm giống hệt nhau m. Tính mô men+động lượng đối với O và động năng của hệEphụ thuộc vào các góc ϕ,α, β và các đạoβODhàm của chúng.ϕxTrường THPT Chuyên Thái Bình24yAαCHỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘHỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VIáp s : LO = 2ma 2 (8 '+ '+ ')ezK = ma 2 (8 '2 + '2 + '2 )Bài 4OThanh thẳng AB đồng chất, tâm C dài b, có khốilượng m được treo nằm ngang nhờ hai dây nhẹ, không dãn,cùng chiều dài, được treo vào điểm O như hình vẽ. Góc tạo bởiαAcác dây treo và thanh là α = 60 . Hệ quy chiếu Trái Đất đượcoxem là HQC quán tính.a) Hệ cân bằng. Tìm lực căng của dây T0 của dây OA tại A.b) Tìm lực căng T của dây OA khi dây OB đột ngột bị đứt (khi mà thanhAB còn chưa kịp dịch chuyển). Tính tỉ sốĐáp số: a) T0 =mg3b) T =TT02 3mg T6; =T0 1313Bài 5Một hình vuông ABCD cạnh L có thểquay xung quanh một điểm A mà vẫn nằmAtrong mặt phẳng (xOy), với tốc độ góc ω. Ở cácđỉnh có các chất điểm khối lượng m và bỏ quakhối lượng của các thanh nối. Hãy xác định,trong HQC R, động lượng, mô men động lượngđối với A cũng như động năng.Đáp số: p = 2m BD ; LA = 4m L2 ez ; K = 2mL2Trường THPT Chuyên Thái Bình252ωLyBGxD

Tài liệu liên quan

Chuyên đề sử dụng véc tơ giải bài toán cơ học
- 3
- 651
- 10
chuyên đề khảo sát hàm và các bài toán có liên quan
- 1
- 445
- 0
ứng dụng phần tử layer-wise trong các bài toán cơ học kết cấu dạng tấm composiet lớp
- 86
- 488
- 0
Tóm tắt luận văn thạc sĩ kỹ thuật ỨNG DỤNG PHẦN TỬ LAYERWISE TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU DẠNG TẤM COMPOSIET LỚP
- 86
- 558
- 1
CHUYÊN đề ĐỊNH lý KOENIG TRONG các bài TOÁN cơ học DẠNG vật rắn
- 392
- 3
- 4
skkn vận DỤNG ĐỊNH lý THALES để tìm lời GIẢI CHO các bài TOÁN HÌNH học tọa độ TRONG mặt PHẲNG
- 34
- 725
- 0
skkn vận DỤNG ĐỊNH lý THALES để tìm lời GIẢI CHO các bài TOÁN HÌNH học tọa độ TRONG mặt PHẲNG
- 35
- 560
- 0
bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lý thpt chuyên đề ĐỊNH lý KOENIG TRONG các bài TOÁN cơ học vật rắn
- 26
- 678
- 0
Chuyên đề: Luyện kĩ năng giải các bài tập cơ bản chương I đại số lớp 9
- 29
- 213
- 0
Chuyên đề luyện kĩ năng giải các bài tập cơ bản chương 1 đại số lớp 9
- 29
- 177
- 0