Chuyen De Duong Kinh Va Day Cung Cua Duong Tron - Tài Liệu Text

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (29 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Tư liệu khác

chuyen de duong kinh va day cung cua duong tron

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (538.22 KB, 29 trang )

ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRỊNA.TĨM TẮT LÝ THUYẾTĐường kính và dây của đường trịn Trong các dây của đường trịn, dây lớn nhất là đường kính. Quan hệ vng góc giữa đường kính và dây:+ Trong một đường trịn, đường kính vng góc với một dây thì đi qua trungđiểm của dây ấy.+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây khơngđi qua tâm thì vng góc với dây ấy.Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây Trong một đường tròn:+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Trong hai dây của một đường trịn:+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.B.CÁC DẠNG BÀI TỰ LUẬN MINH HỌADạng 1: Các bài tốn liên quan đến tính tốn trong đường trịnBài 1. Cho đường trịn  O  có bán kính . Dây HK của đường trịn vng góc với OI tại trung điểm của OI. Tính độ dài HK .Bài 2. Cho đường trịn  O  , đường kính AD  2R . Vẽ cung tâm D bán kính R , cung này cắt đường tròn Oở B và C .a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA .c) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.Bài 3. Cho đường trịn  O  bán kính OA  4cm . Dây BC vng góc với OA tại trung điểm của OA . Tínhđộ dài BC .Bài 4. Cho đường trịn  O  đường kính AD , dây AB . Qua B vẽ dây BC vng góc với AD tại H . BiếtAB  10cm; BC  12cma)Tính độ dài đoạn AH .b)Tính bán kính đường trịn  O  .1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Bài 5. Cho nửa đường tròn  O  đường kính AD . Trên nửa đường trịn lấy hai điểm B và C . BiếtAB  BC  2 5cm, CD  6cm . Tính bán kính đường trịnBài 6. Cho đường trịn  O; R  đường kính AB . Gọi M là một điểm nằm giữa A và B . Qua M vẽ dâyCD vng góc với AB . Lấy điểm E đối xứng với A qua M .a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?b) Giả sử R  6,5cm, MA  4cm . Tính CD .c)* Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB . Chứng minh: MH .MK MC 3.2RDạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng không bằng nhauBài 1. Cho tam giác ABC , các đường cao AH và CK . Chứng minh rằng:a) Bốn điểm A, C , H , K cùng thuộc một đường tròn;b) HK  AC.Bài 2. Cho đường tròn  O, R  và ba dây AB, AC, AD ; gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B trêncác đường thẳng AC, AD . Chứng minh rằng MN  2R .ˆ Dˆ  900 .Bài 3. Tứ giác ABCD có Ba) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.b) So sánh độ dài AC và BD . Nếu AC  BD thì tứ giác ABCD là hình gì?Bài 4. Cho đường trịn (O, 4cm) Vẽ hai dây AB và CD vng góc với nhau. Tính diện tích lớn nhất của tứgiác ACBD .Dạng 3: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhauBài 1. Cho nửa đường tròn tâm  O  , đường kính AB và dây EF khơng cắt đường kính. Gọi I và K lầnlượt là chân các đường vng góc kẻ từ A và B đến EF . Chứng minh rằng IE  KF .Bài 2. Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua tâm. Gọi M là trung điểm của AB . Qua M vẽ dây CDkhông trùng với AB . Chứng minh rằng điểm M không là trung điểm của CD .Bài 3. Cho đường tròn tâm O , đường kính CD . Dây AB cắt đường kính CD tại I . Gọi H và K theo thứtự là chân các đường vng góc kẻ từ C và D đến AB . Chứng minh rằng AH  BK .Bài 4. Cho đường tròn  O, R  đường kính AB . Gọi M là một điểm nằm giữa A và B . Qua M vẽ dâyCD vng góc với AB . Lấy điểm E đối xứng với A qua M .a) Tứ giác ACED là hình gì? Tại sao?b) Giả sử R  6cm và MA  4cm , hãy tính CD .c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB . Chứng minh MH.MK 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com MC 3.2R HƯỚNG DẪNDạng 1: Các bài tốn liên quan đến tính tốn trong đường trịnBài 1.Gọi M là trung điểm của OI. Ta có: OM OI 2cm2HÁp dụng định lí pitago trong tam giác vuông OMH:OH 2  OM 2  MH 2  MH 2  OH 2  OM 2  42  22  12OIM MH  2 3cmVì OI ⊥ HK nên M là trung điểm của HK. Do đó:K HK  2 MH  4 3cmHình 1Bài 2.a) Theo bài ra, ta có BD  DC  R  OB  BD  DC  CO . Do đó, tứ giác OBDC là hình thoi.  60b) Vì OB  BD  DO  R nên tam giác BOD là tam giác đều, suy ra DBOVì BC là đường chéo của hình thoi nên là đường phân giác của góc DBO.  CBO  30 .Do đó: DBCTam giác ABD nội tiếp đường trịn đường kính AD nên ADB  90  90  60  30ABO  ABD  OBDSuy ra c) Xét tam giác ABC, ta cóB  30  30  60ABC  ABO  OBCACB  60Tương tự Vậy tam giác ABC là tam giác đều.AODCHình 2Bài 3.3. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 11Ta có: OM  MA  OA  .4  2cm22BXét OMB vuông tại M MB 2  OB2  OM 2 ( Định lí Pytago)Xét  O  có OA  BC tại M  MB  MC MO MB 2  42  22  12  MB  2 3cm1BC2AC BC  2 MB  4 3cmBài 4a) Xét  O  có AD  BC tại H HB  HC B11BC  .12  6cm22Xét AHB vuông tại HDAOH AH 2  AB 2  HB 2 ( Định lí Py ta go) AH 2  102  62  64  AH  8cmCb) Xét  ABD có cạnh AD là đường kính của đường trịn ngoại tiếp  ABD vng tại B AB 2  AH . AD ( Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) AD 12,5AB 2 100 12,5cm  OA  6, 25cm82AHVậy bán kính đường trịn  O  là 6,25cmBài 5.Ta có AB  BC  B  đường trung trực của ACCOA  OC  R  O  đường trung trực của ACB OB là đường trung trực của AC  IA  ICI OI là đường trung bình của  ADC11 OI  CD  .6  3cm22Xét OIC vuông tại I IC 2  OC 2  OI 2  R 2  9 ( Định lí Py ta go)Xét  BIC vuông tại I IC 2  BC 2  BI 2  (2 5) 2  ( R  3) 2 ( Định lí Py ta go) R 2  9  (2 5) 2  ( R  3) 2  R 2  3R  10  04. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com AOD  R  5cm hoặc R  2cm ( loại)Vậy bán kính đường trịn là 5cm.Bài 6.1a) Xét  O  có AB  CD tại M  MC  MD  CD2CKXét tứ giác ACED có MC  MD; MA  MEH tứ giác ACED là hình bình hànhAMặt khác AE  CD  ACED là hình thoi.MOEBb) Ta có AB  2.R  13cm MB  AB  AM  13  4  9cmDXét  ABC có cạnh AB là đường kính của đường trịn ngoạitiếp  ABC vuông tại CÁp dụng hệ thức h2  b '.c ' ta có MC 2  MA.MB  4.9  36 MC  6cm  CD  2.MC  2.6  12cmc) Xét  MAC vng tại M có đường có MH , áp dụng hệ thức b.c  a.h ta cóMH . AC  MA.MC  MH  MH .MK MA.MCMB.MC. Tương tự MK ACBCMA.MC MB.MC MC 2 .MA.MB MC 2 .MC 2 MC 3..2RACBCAC.BCMC. ABDạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng không bằng nhauBài 1.a) Gọi I là trung điểm của AC. Áp dụng tính chấtAđường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tamgiác vuông AKC, AHC ta có:KI1IK  IH  AC2Suy ra điểm I cách đều 4 điểm A, K, H, CVậy bốn điểm A, K, H, C cùng thuộc đường tròn tâmI bán kính AI .b) Trong đường trịn ( I , AI ), AC là đường kính, HK làdây phân biệt với AC nên HK  ACBài 2.5. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com BCHHình 3 Gọi I là trung điểm của AB . Áp dụng tính chất đườngAtrung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam giácNvng ABN , ABM ta có:cách đều 4 điểm A, B, M , NOI1IM  IN  AB  IM  IN  IA  IB Suy ra điểm I2DMBDo đó bốn điểm A, B, M , N cùng thuộc đường trịn tâmCI bán kính AI .Hình 4Trong đường trịn ( I , AI ), AB là đường kính, MN làdây nên MN  AB (1)Mặt khác, trong đường tròn (O, R), AB là dây nênAB  2 R (2).Từ (1) và (2) ta được MN  2 R .Bài 3.a) Gọi O là trung điểm của AC , áp dụng tính chấtBđường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tamgiác vng ABC , ADC ta có: OB  OA  OC  ODCSuy ra bốn điểm A, B, C , D nằm trên đường trịn đườngOAkính AC .b) Vì BD là dây của đường trịn tâm O đường kínhDAC nên BD  ACHình 5Nếu BD  AC thì BD cũng là một đường kính kháccủa đường trịn tâm O đường kính AC . Suy ra,  BCD  90BADVậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật.Bài 4.Ta có AB, CD là dây của đường tròn (O, 4cm) suy raCAB  4cm, CD  4cm .BVì tứ giác ACBD có AB  CD nênS ABCD11 AB.CD  4.4(cm2 )  8(cm2 )22ADHình 66. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Vậy diện tích lớn nhất của tứ giác ACBD bằng 8(cm 2 ), dấu "  " xẩy ra khi và chỉ khi AB  CD  4cm AB và CD là đường kính của hình trịn.Dạng 3: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhauBài 1.Gọi M là chân đường vng góc kẻ từ O đến IK , tacó AI / /OM / / BK , mặt khác OA  ONKFsuy raEMIMI  MK (1)OM là phần đường kính vng góc với dây EF nênABOME  MF (2)Hình 7Từ (1) và (2) suy ra IE  KF .Bài 2.Giả sử M là trung điểm của CD , ta có OM  CD .BMặt khác M là trung điểm của AB nên OM  ABCMSuy ra AB  CD (trái giả thiết).Do đó điều giả sử sai.AOVậy M khơng là trung điểm của CD .DHình 8Bài 3.Kẻ OM  AB, M  AB, OM cắt CK tại N , ta cóBAM  BM (1)KTam giác CKD có ON / / KD, OC  OD nên NC  NKTam giác CKH có MN / /CH , NC  NK nên MH  MKNMICDOH(2)Từ (1) và (2) ta có:AM  MH  BM  MK  AH  KB .Bài 4.a) Đường tròn (O, R) có đường kính CD , AB là dây màAB  CD  MC  MDmà MA  MESuy ra tứ giác ACED là hình bình hành.Mặt khác AE  CD nên ACED là hình thoi7. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com AHình 9 ACB  90 .b) Do C nằm trên đường tròn đường kính AB nên Trong tam giác vng ACBcóMCDlà đường cao nênMC 2  MA.MB  4.(10  4)  24  MC  2 6c) ÁP dụng tính chất a.h  b.c trong tam giác vng AMC cóMH . AC  MA.MC  MH Tương tự MK MA.MCACMB.MCBCDo đóMH .MK MA.MC MB.MC MC 2 .MA.MB MC 2 .MC 2 MC 3.ACBCAC.BCMC.BCBC8. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com OMABEHKCHình 10 C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠCâu 1: Cho đường tròn (O ) đường kính AB và dây CD khơng đi qua tâm. Khẳng định nào sau đây làđúng?A. AB > CD .B. AB = CD .C. AB < CD .D. AB £ CD .Câu 2: “Trong các dây của một đường trịn, đường kính là dây có độ dài …”. Cụm từ thích hợp điền vàochỗ trống là:A. Nhỏ nhất.B. Lớn nhất. C. Bằng 10cm .D. Bằng tổng hai dây bất kỳ.Câu 3: Cho đường trịn (O ) có hai dây AB,CD không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến haidây là bằng nhau. Kết luận nào sau đây là đúng?A. AB > CD .B. AB = CD .C. AB < CD .D. AB //CD .Câu 4: Cho đường trịn (O ) có hai dây AB,CD khơng đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến dâyAB lớn hơn khoảng cách từ tâm O đến dây CD . Kết luận nào sau đây là đúng?A. AB > CD .B. AB = CD .C. AB < CD .D. AB //CD .Câu 5: “Trong một đường tròn, đường kính vng góc với dây thì … của dây ấy”. Điền vào dấu … cụmtừ thích hợp.A. Đi qua trung điểm.B. Đi qua giao điểm của dây ấy với đường trịn.C. Đi qua điểm bất kì.D. Đi qua điểm chia dây ấy thành hai phần có tỉ lệ 2 : 3 .Câu 6: “Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm một dây khơng đi qua tâm thì ... với dâyấy”. điền vào dấu … cụm từ thích hợp.A. Nhỏ hơn.B. Bằng.C. Song song.D. Vng góc.Câu 7: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Trong hai dây của một đường trịn.A. Dây nào lớn hơn thì dây đó xa tâm hơn. B. Dây nào nhỏ hơn thì dây đó xa tâm hơn.C. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. D. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.Câu 8: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Trong hai dây của đường trịn.A. Dây nào lớn hơn thì dây đó xa tâm hơn. B. Hai dây đi qua tâm thì vng góc với nhau.C. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn. D. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.Câu 9: Cho đường trịn (O ) có bán kính R = 5 cm . Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 3cm . Tính độdài dây AB .A. AB = 6 cm .B. AB = 8 cm .C. AB = 10 cm .D. AB = 12 cm .Câu 10: Cho đường trịn (O ) có bán kính R = 6, 5 cm . Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 2, 5cm . Tínhđộ dài dây AB .A. AB = 6 cm .B. AB = 8 cm .C. AB = 10 cm .9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D. AB = 12 cm . Câu 11: Cho đường trịn (O; R) có hai dây AB,CD bằng nhau và vng góc với nhau tại I . Giả sửIA = 2cm; IB = 4cm . Tổng khoảng cách từ tâm O dây AB,CD là:A. 4cm .B. 1cm .C. 3cm .D. 2cm .Câu 12: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB,CD vng góc với nhau ở M . BiếtAB = 16 cm;CD = 12 cm; MC = 2 cm . Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là:A. 4cm .B. 5cm .C. 3cm .D. 2cm .Câu 13: Cho đường trịn (O; R) có hai dây AB,CD vng góc với nhau ở M . BiếtCD = 8 cm; MC = 1cm . Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là:A. 4cm .B. 5cm .C. 3cm .D. 2cm .Câu 14: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB,CD vng góc với nhau ở M . BiếtAB = 14 cm;CD = 12 cm; MC = 2 cm . Bán kính R và khoảng cách từ tâm O đến dây CD lần lượt làA. 8 cm; 29 cm .B. 65 cm; 29 cm .C. 29 cm; 65 cm .D. 29 cm; 8 cm .Câu 15: Cho đường trịn (O; R) có hai dây AB,CD vng góc với nhau ở M . BiếtAB = 10 cm;CD = 8 cm; MC = 1cm . Bán kính R và khoảng cách từ tâm O đến dây CD lần lượt làA.34cm; 9cm .B. 6cm; 3cm .C.34cm; 3 2cm .D. 3 2cm; 34cm .Câu 16: Cho nửa đường tròn (O ) , đường kính AB và một dây MN . Kẻ AE và BF vng góc với MNlần lượt tại E và F . So sánh độ dài OE và OF .A. OE = OF .32B. OE = OF .C. OE < OF .D. OE > OF .Câu 17: Cho nửa đường trịn (O ) , đường kính AB và một dây CD . Kẻ AE và BF vng góc với CDlần lượt tại E và F . So sánh độ dài CE và DF .A. CE > DF .B. CE = 2DF .C. CE < DF .D. CE = DF .Câu 18: Cho đường trịn (O ) , đường kính AB . Kẻ hai dây AC và BD song song. So sánh độ dài ACvà BD .A. AC > BD .B. AC < BD .C. AC = BD .D. AC = 3BD .Câu 19: Cho đường tròn (O ) , đường kính AB . Lấy điểm C là trung điểm đoạn OB . Kẻ dây MN qua Cvà dây AD //MN . So sánh độ dài AD và MN .A. AD = 2.MN .B. AD = MN .C. AD > MN .D. AD < MN .Câu 20: Cho đường tròn (O ) , dây cung AB và CD với CD < AB . Giao điểm K của các đường thẳngAB và CD nằm ngồi đường trịn. Vẽ đường trịn (O ;OK ) , đường tròn này cắt KA và KC lần lượt tạiM và N . So sánh KM và KN .10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A. KN > KM .B. KN < KM .C. KM = KN .D. KN =4KM .3Câu 21: Cho đường tròn (O ) , dây cung AB và CD với CD = AB . Giao điểm K của các đường thẳngAB và CD nằm ngồi đường trịn. Vẽ đường trịn (O ;OK ) , đường tròn này cắt KA và KC lần lượt tạiM và N . So sánh KM và KN .A. KN > KM .B. KN < KM .C. KM = KN .D. KN =4KM .3Câu 22: Cho đường tròn (O;10cm ) . Dây AB và CD song song, có độ dài lần lượt là 16cm và 12cm .Tính khoảng cách giữa hai dây.A. 14cm .B. 10cm .C. 12cm .D. 16cm .Câu 23: Cho đường tròn (O; 8cm ) . Dây AB và CD song song, có độ dài lần lượt là 14cm và 10cm . Tínhkhoảng cách giữa hai dâyA. 2 15 (cm) .B. 2 39 (cm) .C.39 + 15(cm ) .2D.39 + 15 (cm ) .Câu 24: Cho tam giác ABC nhọn và có các đường cao BD,CE . So sánh BC và DE .A. BC = DE .B. BC < DE .C. BC > DE .23D. BC = DE .Câu 25: Cho đường tròn (O ) đường kính AB = 14cm , dây CD có độ dài 12cm vng góc với AB tạiH nằm giữa O và B . Độ dài HA là:A. 7 + 13 cm .B. 7 - 13 cm .C. 7cm .D. 7 - 2 13 cm .Câu 26: Cho đường tròn (O ) đường kính AB = 20cm , dây CD có độ dài 16cm vng góc với AB tạiH nằm giữa O và B . Độ dài HA là:A. 12cm .B. 18cm .C. 16cm .D. 15cm .Câu 27: Cho hình vng ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Gọi E là giao điểm củaCM và DN . So sánh AE và DM .A. AM =3AE .2B. DM < AE .C. DM = AE .HƯỚNG DẪN1. Lời giải:Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.Đáp án cần chọn là A.2. Lời giải:Trong các dây của một đường trịn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.Đáp án cần chọn là B.11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D. DM > AE . 3. Lời giải:Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.Đáp án cần chọn là B.4. Lời giải:Trong một đường trịn: Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.Từ đề bài ta thấy dây CD gần tâm hơn dây AB nên CD > AB .Đáp án cần chọn là C.5. Lời giải:Trong một đường tròn, đường kính vng góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.Đáp án cần chọn là A.6. Lời giải:Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm của một dây khơng đi qua tâm thì vng góc vớidây ấy.Đáp án cần chọn là D.7. Lời giải:Trong một đường trịn:+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.Trong hai dây của một đường tròn:+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.Nên phương án B, C, D đúng.Đáp án cần chọn là A.8. Lời giải:Trong một đường trịn:+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.Trong hai dây của một đường tròn:+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.+ Hai dây đi qua tâm thì chưa chắc vng góc với nhau nên B sai.Nên phương án A, B, C sai, D đúng.Đáp án cần chọn là D.9. Lời giải:12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com OABHKẻ OH ^ AB tại H suy ra H là trung điểm của AB .Xét tam giác OHB vuông tại H có OH = 3;OB = 5 . Theo định lý Pytago ta có:HB = OB 2 - OH 2 = 52 - 32 = 4 .Mà H là trung điểm của AB nên AB = 2HB = 8 cm .Vậy AB = 8 cm .Đáp án cần chọn là B.10. Lời giải:Kẻ OH ^ AB tại H suy ra H là trung điểm của AB .Xét tam giác OHB vng tại H có OH = 2, 5;OB = 6, 5 . Theo định lý Pytago ta có:HB = OB 2 - OH 2 = 6, 52 - 2, 52 = 6 .Mà H là trung điểm của AB nên AB = 2HB = 12 cm .Vậy AB = 12 cm .Đáp án cần chọn là D.11. Lời giải:COBEFIADXét đường tròn tâm (O ) .Kẻ OE ^ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB , kẻ OF ^ CD tại F .Vì dây AB = CD nên OE = OF (hai dây bằng nhâu thì cách đều tâm). =F =I = 90 nên OEIF là hình chữ nhật và OE = OF nên OEIF là hìnhXét tứ giác OEIF có Evng  OE = OF = EI .Mà AB = IA + IB = 6 cm  EB = 3 cm  EI = EB - IB = 1cm nên OE = OF = 1cmVậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây AB,CD là 2cm .13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Đáp án cần chọn là D.12. Lời giải:DOAEFMBCXét đường tròn tâm (O ) .Kẻ OE ^ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB , kẻ OF ^ CD tại F suy ra F là trung điểm của CD . =F =M = 90Xét tứ giác OEMF có Enên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE .Ta có CD = 12cm  FC = 6cm mà MC = 2cm  FM = FC - MC = 4cm nên OE = 4cmVậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 4cm .Đáp án cần chọn là A.13. Lời giải:Xét đường tròn tâm (O ) .Kẻ OE ^ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB , kẻ OF ^ CD tại F suy ra F là trung điểm của CD . =F =M = 90Xét tứ giác OEMF có Enên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE .Ta có CD = 8 cm  FC = 4 cm mà MC = 1cm  FM = FC - MC = 4 - 1 = 3 cm nênOE = FM = 3 cmVậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 3cm .Đáp án cần chọn là C.14. Lời giải:Lấy E , F lần lượt là trung điểm của hai dây AB và CD . Khi đó:OE ^ AB;OF ^ AC lại có FME = 90 nên OEMF là hình chữ nhật. Suy raOE = MF = CF - MC = 4 cm .xét đường tròn (O ) , có OE = 4 cm, E là trung điểm của AB nên AE =14= 7 cm .2Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng OEA ta có OA = AE 2 + OE 2 = 65 nên R = 65 .Lại có OD = 65 cm ; FD = 6 cm nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng OFD ta có:OF = OD2 - FD2 = 29 cm .14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Do đó khoảng cách từ tâm đến dây CD là 29 cm .Đáp án cần chọn là B.15. Lời giải:Xét đường tròn tâm (O ) .Kẻ OE ^ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB , kẻ OF ^ CD tại F suy ra F là trung điểm của CD . =F =M = 90Xét tứ giác OEMF có Enên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE .Ta có CD = 8cm  FC = 4cm mà MC = 1cm  FM = FC - MC = 4 - 1 = 3cm nên OE = FM = 3cm .E là trung điểm của AB nên AE =14= 7 cm .2Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng OEA ta có OA = AE 2 + OE 2 = 34 nên R = 34 .Lại có OD = R = 34 ; FD =CD= 4 nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng OFD ta có:2OF = OD 2 - FD 2 = 34 - 16 = 3 2 .Do đó khoảng cách từ tâm đến dây CD là 3 2cm .Đáp án cần chọn là C.16. Lời giải:N FIEMAOBLấy I là trung điểm của EF .Xét tứ giác AEFB có AE //FB (vì cùng vng với EF ) nên AEFB là hình thang vng tại E ; FTa có OI là đường trung bình của hình thang AEFB nên OI //AE //FB  OI ^ EFHay OI ^ CD nên I là trung điểm của CD (quan hệ giữa dây và đường kính)Xét tam giác OEF có OI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên D OEF cân tại O .Suy ra OE = OF .Đáp án cần chọn là A.17. Lời giải:15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D FIECOABLấy I là trung điểm của EF .Xét tứ giác AEFB có AE //FB (vì cùng vng với EF ) nên AEFB là hình thang vng tại E ; FTa có OI là đường trung bình của hình thang AEFB nên OI //AE //FB  OI ^ EFHay OI ^ CD nên I là trung điểm của CD (quan hệ giữa dây và đường kính)Ta có IE = IF ; IC = ID  IE - IC = IF - ID  EC = DF .Đáp án cần chọn là D.18. Lời giải:CEOABFDKẻ đường thẳng qua O vng góc với AC tại E và cắt BD tại F thì EF ^ BD tại F vì AC //BD . = FBOXét hai tam giác vuông OEA và tam giác OFB có OB = OA; EAO(so le trong)Nên D AEO = D BFO (ch-gn)  OE = OF  AC = DB (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau).Đáp án cần chọn là C.19. Lời giải:DNEOACBFMKẻ đường thẳng qua O vng góc với AC tại E và cắt BD tại F thì EF ^ BD tại F vì AC //BD . = OFC = 90; AOE = FOCXét hai tam giác vng OEA và tam giác OFB có AEO(đối đỉnh)Nên D AEO  D CFO (g - g) OEOAOEOAmà OA = OB = 2.OC == 2  OE = 2OF=OFOCOFOC16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Hay OE > OF suy ra AD < MN (dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn).Đáp án cần chọn là D.20. Lời giải:NCEDKBFAMXét đường tròn (O;OB)Kẻ OE ^ CD;OF ^ AB tại E , F mà CD < AB  OE > OF (dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn)Xét đường trịn (O;OK ) có OE ^ KN ;OF ^ KM tại E , F mà OE > OF  KN < KM (liên hệ giữa dâyvà khoảng cách từ tâm đến dây)Đáp án cần chọn là B.21. Lời giải:NCEDKBFAMXét đường tròn (O;OB)Kẻ OE ^ CD;OF ^ AB tại E , F mà CD < AB  OE > OF (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)Xét đường trịn (O;OK ) có OE ^ KN ;OF ^ KM tại E , F mà OE = OF  KN = KM (liên hệ giữa dâyvà khoảng cách từ tâm đến dây)Đáp án cần chọn là C.22. Lời giải:DECBOFA17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Kẻ đường thẳng qua O vng góc với CD tại E và cắt AB tại F thì EF ^ AB vì AB//CD .Khi đó E là trung điểm của CD và F là trung điểm của AB (đường kính vng góc với dây thì đi quatrung điểm dây đó)Nên ED = 6cm; FB = 8cm;OD = OB = 10cmÁp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OED ta được OE = OD 2 - ED 2 = 8cm .Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFB ta được OF = OB 2 - FB 2 = 6cm .Vậy khoảng cách giữa hai dây là EF = OE + OF = 14cm .Đáp án cần chọn là A.23. Lời giải:DECBOFAKẻ đường thẳng qua O vng góc với CD tại E và cắt AB tại F thì EF ^ AB vì AB//CD .Khi đó E là trung điểm của CD và F là trung điểm của AB (đường kính vng góc với dây thì đi quatrung điểm dây đó)Nên ED =CDAB= 5cm; FB == 7cm;OD = OB = 8cm22Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OED ta được OE = OD 2 - ED 2 = 82 - 52 = 39cm .Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFB ta được OF = OB2 - FB2 = 82 - 72 = 15 cm .Vậy khoảng cách giữa hai dây là EF = OE + OF = 39 + 15 cm .Đáp án cần chọn là D.24. Lời giải:18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com AOEDCBILấy I là trung điểm của BCXét tam giác vuông BDC có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DI = IB = IC =BC.2Xét tam giác vng BEC có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên EI = IB = IC =BC2Từ đó ID = IE = IB = IC =BChay bốn điểm B,C , D, E cựng thuc ng trũn2ổ BC ửữỗỗI ;ữỗố 2 ữữứổ BC ửữữữ cú BC l ng kớnh và DE là dây không đi qua tâm nên BC > DE .Xột ỗỗỗI ;ỗố2 ứữỏp ỏn cn chn l C.25. Lời giải:DAOHBCXét (O ) có AB ^ CD tại H và AB là đường kính nên H là trung điểm của CD HD = HC =CD= 6cm2Vì AB = 14  OA = OB = OD =14= 7cm2Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OHD ta được OH = OD 2 - DH 2 = 13Khi đó HA = OA + OH = 7 + 13 cm .Đáp án cần chọn là A.26. Lời giải:19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com DOAHBCXét (O ) có AB ^ CD tại H và AB là đường kính nên H là trung điểm của CD HD = HC =CD= 8cm2Vì AB = 20  OA = OB = OD =20= 10cm2Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OHD ta được OH = OD 2 - DH 2 = 102 - 82 = 6Khi đó HA = OA + OH = 10 + 6 = 16cm .Đáp án cần chọn là C.27. Lời giải:DCIAEMNB = ECN + ECN = CNE + CDN = 90+ Ta có CDN(vì cùng phụ với CNE) nên CNEsuy ra = 90  CM ^ DNCEN+ Gọi I là trung điểm của DMXét tam giác vng ADM ta có AI = ID = IM =EI = ID = IM =DM. Xét tam giác vng DEM ta có:2DM2Nên EI = ID = IM = IA =DM.2Do đó bốn điểm A, D, E , M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R =DM.2ỉ DM ư÷÷÷ có DM là đường kính và AE là dây khơng đi qua tâm nên DM > AE .Xột ỗỗỗI ;ỗố2 ứữỏp ỏn cn chn là D.20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆNBài 1: Cho tam giác ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H .a)Chứng minh rằng B, E , D,C cùng thuộc một đường tròn.b)Chứng minh rằng A, D, H , E cùng thuộc một đường tròn.c)Chứng minh rằng BC > DE ; AH > DE . = 900Bài 2: Cho đường tròn (O; R) , A và B thuộc đường tròn (O ) sao cho AOB. Gọi M là trung điểmAB .a)Chứng minh rằng OM ^ ABb)Tính độ dài AB,OM theo R . = 1200 . VẽBài 3: Cho đường tròn (O; R) , A và B di động trên đường tròn (O ) thỏa mãn AOBOH ^ AB tại H .a)Chứng minh H là trung điểm của ABb)Tính OH , AB . Diện tích OAB theo R .c)Tia OH cắt đường tròn (O; R) tại C . Tứ giác OABC là hình gì? Vì sao?Bài 4: Cho một nửa đường trịn (O ) có đường kính AB và một dây cung CD . Vẽ AP và BS vng gócvới CD(P Ỵ CD, S Ỵ CD ) . Chứng minh:a)P và S ở ngồi đường trịn (O )b)PC = DSc)S APSB = S ACB + S ADB .Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và một dây cung AB . Gọi I là trung điểm của AB . Tia OI cắt cung ABtại M .a)Cho R = 5cm; AB = 6cm . Tính độ dài dây cung MAb)Gọi N là điểm đối xứng của M qua O , giả sử MA = 5cm; AB = 6cm . Tính bán kính R .Bài 6: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB . Trên đoạn thẳng OA lấy điểm C và trên đoạn thẳngOB lấy điểm D sao cho OC = OD . Từ C và D kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn ở E và F . GọiI là trung điểm của EF . Chứng minh rằng: SCEF + S DEF = EF .OI .Bài 7: Cho đoạn thẳng AB = 6cm . Các đường tròn đi qua A, B đường trịn nào có độ dài bán kính nhỏnhất.Bài 8: Cho đường tròn (O; R) . Các điểm A, B,C , D thuộc đường trịn (O; R) .Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD .21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Bài 9: Cho tam giác nhọn ABC . D là điểm di động trên cạnh BC . Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính củađường trịn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD . Xác định vị trí của D để tổng R1 + R2 nhỏ nhất.Bài 10: Cho đường trịn (O; R) . A là điểm nằm ngồi đường tròn (O ) . Đường thẳng d qua A cắt đườngtrịn (O ) tại B,C . Xác định vị trí của d để AB + AC lớn nhất.Bài 11: Cho đường trịn tâm O , đường kính AB . Vẽ dây CD khơng qua tâm và khơng vng góc vớiAB . Qua A và B vẽ các đường vng góc với CD tại E và F . Chứng minh CF = DE .Bài 12: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB . C , D là hai điểm trên nửa đường tròn (O ) sao cho = 450 , DAB = 300 ACCAB.cắt BD tại M , AD cắt BC tại N .a)Chứng minh rằng MN ^ ABb)Tính diện tích ABM theo R .Bài 13: Cho đường trịn (O; R) và l (O < l < 2R)a)Tìm quỹ tích trung điểm M của tất cả các dây cung AB = 1 của đường tròn (O )b)Gọi C , D là hai điểm tùy ý sao cho CD = 1 . Hãy dựng hình bình hành CDEF sao cho E , F nằmtrên đường tròn (O; R) . (Chỉ trình bày cách dựng và chứn minh).HƯỚNG DẪNBài 1:a) = 900 (CE ^ AB ), BDC = 900 (BD ^ AC )BECAGọi M là trung điểm BC , DEBC vuôngtại E có EM là đường trung tuyến ME = MB = MC =DBC2Tương tự: MD = MB = MC =EBC2HBMCTa có: MB = ME = MD = MC B, E , D,C cùng thc đường trịn tâm Mb)Chứng minh tương tự có A, D, H , E cùng thuộc đường trònc)BED = 900 , DE là dây cung khác đường kính đường trịn đường kính BC BC > DEChứng minh tương tự có: AH > DE .Bài 2:a) = 900 ¹ 1800AOBAM AB khơng là đường kính của đường trịn (O )M là trung điểm của dây cung AB22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com OB Nên OM ^ ABb)DOAB vng tại O có:OA = OB(= R) nên là tam giác vuông cân AB = OA 2 = R 2 .DOAB vuông tại O , OM là đường trung tuyến nên:OM =12AB =R22CBài 3:a)HAAB là dây cung của đường tròn (O )OH ^ AB (gt)BO H là trung điểm của đoạn thẳng AB .b)DOAB cân tại O (vì OA = OB = R ) có:OH là đường trung tuyến nên cũng là đường phân giác. = HOB = 1 AOB = 600 AOH2 = 600Tam giác HAO vng tại H có AOHnên là nửa tam giác đều.1133 OH = OA = R; AH =OA =R; AB = 2AH = 3R222211 13 2SOAB = OH .AB = . R. 3R =R (đvdt)22 24c)11HC = OC - OH = R - R = R2212Tứ giác OACB có HA = HB, HO = HC (= R)Nên là hình bình hành.Mà OA = OB(= R)Do đó OACB là hình thoiBài 4:a)Gọi I là trung điểm PSAP ^ PS (gt), BS ^ PS (gt) AP  BS APSB là hình thangNên OI là đường trung bình của hình thang APSB OI  AP mà AP ^ PS  OI ^ PSTa có OI là đường trung trực của PS23. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com P CID SFA HEOKB  OP = OS + ABS = 1800 (AP  BS )PAB ³ 900 hoặc ABS ³ 900 PAB ³ 900 .Giả sử PABDAPO có PAD ³ 900  OP > OA = R P nằm ngồi đường trịn (O ; R)Ta cũng có OS = OP > R  S nằm ngồi đường trịn (O; R) .b)OI ^ CD  IC = IDDo đó: IP = IC = IS - ID  PC = DSc)Hạ CH , IE và DK vng góc với AB . Ta có tứ giác HCDK là hình thang và IE là đường trungbình nên:IE =CH + DK. Ta có:211S ACB + S ADB = CH .AB + DK .AB22=1(CH + DK ).AB2= IE .AB (1) (Vì OI =1(CH + DK ) )2Giả sử AP < BS , hạ AF ^ BS , ta có:S APSB =11(AP + BS ).AF (2) (Vì OI = (AP + BS ) )22Mặt khác: DOEI ∽ DBFA  = FBA (VìVì IOEOI  BS ) và E = F (= 900 )Cho ta:EIOI=hay EI .BA = OI .FA (3)FA BATừ (1), (2) và (3) cho ta: S APSB = S ACB + S ADB .Bài 5:a)Vì I là trung điểm của dây AB nên:IA = IB =AB6= = 3 (cm)22Và OI ^ ABADOIA(I = 900 )EOI 2 = OA2 - IA2 = 52 - 32 = 1624. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com NOMIB  OI = 4cm  IM = 1cmDAIM cho ta:AM 2 = AI 2 + IM 2 = 32 + 12 = 10 AM = 10b)Gọi E là trung điểm của dây NATa có OE ^ NA và NE = EA = 2, 5cmDIAN cho ta: IN 2 = NA2 - AI 2 = 52 - 32 = 16  IN = 4(cm )DNEO DNIA cho ta: ON =NE ON=NINANE .NA 2, 5.5== 3,125cm .NI4Bài 6:Vì I là trung điểm của EFNênOI ^ EFTa có: CE  DFVà O là trung điểm của CD nên tứ giác CEFD là hình thangVà OI là đường trung bìnhSuy ra: OI  CE  DFmàOI ^ EFnênCE ^ EF , DF ^ EF .EI12FDo đó: OI = (CE + DF )Và1SCEF = CE .EF2S DEF =1DE .EF2 SCEF + S DEF =A COD B1EF (CE + DF ) = EF .OI2Bài 7:Gọi R là bán kính của đường trịn đi qua A và BTa có: 2R ³ AB2R ³ 6cmR ³ 3cm , khơng đổiDấu “=” xảy ra  AB là đường kính của đường trịn đường kính AB có đọi dài bán kính nhỏ nhất.Bài 8:25. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com