Chuyên đề Giới Hạn Hàm Số Trong đề Thi đại Học - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (19 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Ôn thi Đại học - Cao đẳng
>>
3. Toán học

chuyên đề Giới hạn hàm số trong đề thi đại học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (266.98 KB, 19 trang )

Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 1 - Giới hạn hàm số I. Lý thuyết 1. ðịnh nghĩa: 1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa ñiểm 0x. Ta nói rằng hàm số f(x) xác ñịnh trên K (có thể trừ ñiểm 0x) có giới hạn là L khi x dần tới 0x nếu với dãy số n(x ) bất kì, n 0x K \ {x }∈ vàn 0x x→ , ta có:nf(x ) L→ . Ta kí hiệu: 0x xlim f(x) L→=hay f(x) L→ khi0x x→ . 1.2.Giới hạn một bên: * Cho hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên0( ; )x b .Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số ( )y f x= khi x dần tới 0x nếu với mọi dãy 0( ) :n nx x x b< < mà 0nx x→ thì ta có:( )nf x L→ . Kí hiệu:0lim ( )x xf x L+→=. * Cho hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên0( ; )a x.Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số ( )y f x= khi x dần tới 0x nếu với mọi dãy 0( ) :n nx a x x< < mà 0nx x→ thì ta có:( )nf x L→ . Kí hiệu:0lim ( )x xf x L−→=. Chú ý: 000lim ( ) lim ( ) lim ( )x xx x x xf x L f x f x L+ −→→ →= ⇔ = =. 1.3. Giới hạn tại vô cực * Ta nói hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên ( ; )a+∞ có giới hạn là L khi x→ +∞ nếu với mọi dãy số ( ) :n nx x a> và nx→ +∞ thì ( )nf x L→ . Kí hiệu: lim ( )xf x L→+∞=. * Ta nói hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên ( ; )b−∞ có giới hạn là L khi x→ −∞ nếu với mọi dãy số ( ) :n nx x b< và nx→ −∞ thì( )nf x L→. Kí hiệu:lim ( )xf x L→−∞=. 1.4.Giới hạn vô cực * Ta nói hàm số ( )y f x= có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới 0x nếu với mọi dãy số 0( ) :n nx x x→ thì( )nf x→ +∞. Kí hiệu:0lim ( )x xf x→= +∞. * Tương tự ta cũng có ñịnh nghĩa giới hạn dần về âm vô cực * Ta cũng có ñịnh nghĩa như trên khi ta thay 0x bởi −∞ hoặc+∞. 2. Các ñịnh lí về giới hạn ðịnh lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về0L≠) khi 0x x→ (hay;x x→ +∞ → −∞ ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn ñó khi 0x x→ (hay;x x→ +∞ → −∞) . Chú ý: ðịnh lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực ðịnh lí 2: (Nguyên lí kẹp) Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 2 - Cho ba hàm số ( ), ( ), ( )f x g x h x xác ñịnh trên Kchứa ñiểm 0x (có thể các hàm ñó không xác ñịnh tại 0x). Nếu ( ) ( ) ( ) g x f x h x x K≤ ≤ ∀ ∈và 0 0lim ( ) lim ( )x x x xg x h x L→ →= = thì0lim ( )x xf x L→=. 3. Một số gới hạn ñặc biệt * 2( )limkxxx→+∞→−∞= +∞ ; 2 1( )lim ( )kxxx+→+∞→−∞= +∞ −∞ * 0 0lim ( ) ( ) lim 0 ( 0)( )x x x xkf x kf x→ →= +∞ −∞ ⇔ = ≠ *0 0sinlim lim 1sinx xx xx x→ →= =, từ ñây suy ra0 0tanlim lim 1tanx xx xx x→ →= =. *101lim (1 ) lim (1 )xxx xx ex→ →±∞+ = + =0 0ln(1 )1lim lim 1xx xxex x→ →+−⇒ = = Chú ý : Ta thường sử dụng các giới hạn ñặc biệt trên ñể tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực, giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít. CÁC DẠNG GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Tìm 0lim ( )x xf x→ biết ( )f x xác ñịnh tại0x. Phương pháp: * Nếu f(x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng 0( )f x * Nếu f(x) cho bởi nhiều công thức, khi ñó ta sử dụng ñiều kiện ñể hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải). Ví dụ 1: Tìm giới hạn các hàm số sau: 21111) lim1xx xAx→− +=+ 262 tan 12) A limsin 1xxx→+=+π 230ln ( 2) 13) lim3 1xx xAx→+ − +=+ Giải: 1) Ta có:2111 1 1 1 1lim1 1 1 2xx xAx→− + − += = =+ +. 2)262 tan 12 tan 1 4 3 66limsin 1 9sin 16xxAx→++ += = =++πππ. 3)2230ln ( 2) 1lim ln 2 13 1xx xAx→+ − += = ++. Ví dụ 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các ñiểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn ñó? Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 3 - 1) 2212 2 khi 1( )23 2 khi 1x xxf xxx x+ +<=++ ≥ khi 1x→ . 2) 222 3 1 khi 0( )3 2 khi 0x x xf xx x x+ + ≥=− + + < khi 0x→ . Giải: 1) Ta có:1 1lim ( ) lim (3 2) 5x xf x x+ +→ →= + =. 221 1 1 112 2lim ( ) lim 5 lim ( ) lim ( ) 52x x x xx xf x f x f xx− − + −→ → → →+ += = ⇒ = =+. Vậy 15lim ( )3xf x→=. 2) Ta có:20 0lim ( ) lim (2 3 1) 1x xf x x x+ +→ →= + + =. 20 0 0 0lim ( ) lim ( 3 2) 2 lim ( ) lim ( )x x x xf x x x f x f x− − + −→ → → →= − + + = ⇒ ≠. Vậy hàm số ( )f x không có giới hạn khi0x→. Ví dụ 3: Tìm a ñể hàm số sau có giới hạn khi 2x→ 221 khi 2( )2 1 khi 2x ax xf xx x x+ + >=− + ≤. Giải: Ta có:22 2lim ( ) lim ( 2) 2 6x xf x x ax a+ +→ →= + + = +. 22 2lim ( ) lim (2 1) 7x xf x x x− −→ →= − + =. Yêu cầu bài toán 2 21lim ( ) lim ( ) 2 6 72x xf x f x a a+ −→ →⇔ = ⇔ + = ⇔ =. Vậy 12a= là giá trị cần tìm. Bài tập: Bài 1: Tìm các giới hạn sau 1)1221lim4xxBx x→−+=+ + 2) 226sin 2x 3 cos limtanxxBx→−=π 3)22 2 3313 2ln(2 1) 2limxxxx xBe+→−− + −= 4) 4313 1 2lim3 1 2xxBx→+ −=+ − Bài 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các ñiểm chỉ ra hay không ? Nếu có hãy tìm giới hạn ñó ? Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 4 - 1) 23 5 1 1( )3 2 1x x khi xf xx khi x− + ≥=− + < khi 1x→. 2) 38 2( )22 1 2xkhi xf xxx khi x−>=−+ ≤ khi 2x→. Bài 3: Tìm a ñể hàm số sau có giới hạn khi 0x→. 323 2 25 3 2 1 0( )ln( 2) 0x xax x a khi xf xe x x khi x−+ + + ≥=+ + + <. Dạng 2: Tìm 0( )lim( )x xf xAg x→= trong ñó0 0( ) ( ) 0f x g x= =. Dạng này ta gọi là dạng vô ñịnh00. ðể khử dạng vô ñịnh này ta sử dụng ñịnh lí Bơzu cho ña thức: ðịnh lí: Nếu ña thức ( )f x có nghiệm 0x x= thì ta có : 0 1( ) ( ) ( )f x x x f x= −. *Nếu ( )f x và ( )g x là các ña thức thì ta phân tích 0 1( ) ( ) ( )f x x x f x= − và0 1( ) ( ) ( )g x x x g x= −. Khi ñó011( )lim( )x xf xAg x→=, nếu giới hạn này có dạng 00 thì ta tiếp tục quá trình như trên. Chú ý :Nếu tam thức bậc hai 2( ) x+cf x ax b= + có hai nghiệm 1 2,x x thì ta luôn có sự phân tích21 2( )( )ax bx c a x x x x+ + = − −. * Nếu ( )f x và ( )g x là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp ñể chuyển về các ña thức, rồi phân tích các ña thức như trên. Các lượng liên hợp: 1. ( )( )a b a b a b− + = − 2. 3 33 3 32 2( )( )a b a ab b a b± + = −∓ 3. 1 2 1( )( )n n nn nn n na b a a b b a b− − −− + + + = − * Nếu ( )f x và ( )g x là các hàm chứa căn thức không ñồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn: Nếu ( ), ( )n mf x g x c→ thì ta phân tích: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )n m n mf x g x f x c g x c− = − − −. Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không ñi ñến kết quả ta phải phân tích như sau:( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))n m n mf x g x f x v x g x v x− = − − −, trong ñó( )v x c→. * Một ñẳng thức cần lưu ý: 1 2 2 1( )( )n n n n n na b a b a a b ab b− − − −− = − + + + +. Ví dụ 1: Tìm các gới hạn sau Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 5 - 1)3 24213 2lim4 3xx xAx x→− +=− + 2) 3 450(1 3 ) (1 4 )limxx xAx→+ − −= 3) 4 26325 4lim8xx xAx→− +=− 4)70(1 )(1 2 )(1 3 ) 1limxx x xAx→+ + + −=. Giải: 1) Ta có: 23 2 2421 1 1( 1)( 2 2)3 2 2 2 3lim lim lim( 1)( 3) 3 24 3x x xx x xx x x xAx x xx x→ → →− − −− + − −= = = =− − −− + 2) 3 460 0(1 3 ) 1 (1 4 ) 1lim limx xx xAx x→ →+ − − −= − 2 20 03 [(1 3 ) (1 3 ) 1] 4 (2 4 )[(1 4 ) 1]lim limx xx x x x x xx x→ →+ + + + − − − += − 2 20 0lim 3[(1 3 ) (1 3 ) 1] lim 4(2 4 )[(1 4 ) 1] 7x xx x x x→ →= + + + + + − − + = − 3) 2 24 263 3 32 2( 1)( 4)5 4lim lim8 2x xx xx xAx x→ →− −− += =− − 2 22 22 2( 1)( 2)( 2) ( 1)( 2)lim lim 1( 2)( 2 4) 2 4x xx x x x xx x x x x→ →− − + − += = =− + + + +. 4)3 270 0(1 )(1 2 )(1 3 ) 16 11 6lim lim 6x xx x xx x xAx x→ →+ + + −+ += = =. Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau: 1)801lim ( , *)1nmxxA m nx→−= ∈−ℕ . 2) 901 1lim ( *, 0)nxaxA n ax→+ −= ∈ ≠ℕ. Giải: 1) 1 281 20( 1)( 1)lim( 1)( 1)n nm mxx x x xAx x x x− −− −→− + + + +=− + + + +1 21 20 1lim 1n nm mxx x x nmx x x− −− −→+ + + += =+ + + +. 2) Cách 1: Nhân liên hợp 1 2901 2( 1 1)( (1 ) (1 ) 1 1)lim( (1 ) (1 ) 1 1)n nn nn nxnn nn nax ax ax axAx ax ax ax− −→− −+ − + + + + + + +=+ + + + + + + 01 2lim(1 ) (1 ) 1 1xnn nn na anax ax ax→− −= =+ + + + + + +. Cách 2: ðặt ẩn phụ Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 6 - ðặt 11nntt ax xa−= + ⇒ = và 0 1x t→ ⇔ → 911 11 1lim lim1 ( 1)( 1)n n nt tt t aA a ant t t t t−→ →− −⇒ = = =− − + + + +. Ví dụ 3: Tình các giới hạn sau 1)1001 1lim1 1nmxaxAbx→+ −=+ − 2) 3 41101 1 1 1limxx x xAxα β γ→+ + + −= Giải: 1) Áp dụng bài toán trên ta có: 100 01 1lim . lim .1 1nmx xax x a m amAx n b bnbx→ →+ −= = =+ −. 2) Ta có: 3 41 1 1 1x x xα β γ+ + + − = 3 4 31 1 ( 1 1) 1 (( 1 1) ( 1 1)x x x x x xα β γ α β α= + + + − + + + − + + −. 4 33110 001 1 1 1lim ( 1 1 ) lim 11 1 limx xxx xA x x xx xxxγ βα β αα→ →→+ − + −= + + + ++ −+ 114 3 2Aγ β α= + + ( Áp dụng kết quả bài9A ). Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau: 1)12212 1lim1xx xAx→− −=− 2)31323 2lim3 2 2xx xAx→+ −=− − Giải: 1)2121 1( 1)2 1lim lim 0( 1)( 1)( 2 1 ) ( 1)( 2 1 )x xxx xAx x x x x x x→ →− −− −= = =− + − + + − +. 2)31332 23(3 2 )( 3 2 2)lim3( 2)( (3 2) 2 3 2 4)xx x xAx x x→+ − − +=− + + + +232 23( 2 1)( 3 2 2)lim3( (3 2) 2 3 2 4)xx x xx x→− + + − +=+ + + +. 131A⇒ = −. Ví dụ 5: Tìm các giới hạn sau 1)31417 1 5 1lim1xx xAx→+ − −=− 2) 315472 20lim9 2xx xAx→+ − +=+ −. Giải: 1) 31417 1 2 ( 5 1 2)lim1xx xAx→+ − − − −=− 31 17 1 2 5 1 2lim lim1 1x xx xI Jx x→ →+ − − −= + = +− −. Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 7 - 31 237( 1)7lim12( 1)( (7 1) 2 7 1 4)xxIx x x→−= =− − + − +. 1 15( 1)5 5lim lim3( 1)( 5 1 1) 5 1 1x xxJx x x→ →−= = =− − + − + Vậy1494A=. 2) Ta có: 33154 47 72 3 20 32 207 7lim lim9 2 9 27x xx xx xx xAx xx→ →+ − + −−+ − +− −= =+ − + −− mà: 7 72 3 1 1lim lim7 62 3x xxxx→ →+ −= =−+ + 33 327 720 3 1 1lim lim7 27( 20) 3 20 9x xxxx x→ →+ −= =−+ + + +. 44 4 43 27 79 2 1 1lim lim7 32( 9) 2( 9) 4 9 8x xxxx x x→ →+ −= =−+ + + + + +. Vậy151 11126 271 2732A−= = . Bài tập: Tìm các giới hạn sau: 1)25322 5 2lim3 2xx xBx x→− +=− − 2) 46313 2lim2 3xx xBx x→− +=+ − 3)7232 3lim4 3xx xBx x→+ −=− + 4) 38401 1lim2 1 1xxBx→+ −=+ − 5)39474 1 2lim2 2 2xx xBx→− − +=+ − 6) 310201 2 1 3xlimxxBx→+ − += 7) 1121( 1)(2 1)(3 1)(4 1) 1lim1xx x x xBx→+ + + + −=−. 8)3 32 21204 2 4 2lim2 2xx x x xBx x→− + − + +=+ − −. Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 8 - Dạng 3: Tìm( )lim( )xf xBg x→±∞= , trong ñó( ), ( )f x g x→ ∞, dạng này ta còn gọi là dạng vô ñịnh∞∞. Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vô ñịnh ở dãy số. Ta cần tìm cách ñưa về các giới hạn: * 2( )limkxxx→+∞→−∞= +∞ ; 2 1( )lim ( )kxxx+→+∞→−∞= +∞ −∞. *( )lim 0 ( 0; 0)nxxkn kx→+∞→−∞= > ≠. *0 0lim ( ) ( ) lim 0 ( 0)( )x x x xkf x kf x→ →= +∞ −∞ ⇔ = ≠. Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau: 1)21623 5 1lim2 1xx xAx x→+∞+ +=+ + 2) 0 117 0 00 1 lim ( 0) nn nmxm ma x a x aA a bb x b x b−→+∞−+ + += ≠+ + +. Giải: 1) Ta có: 22 21622 25 1 5 1(3 ) 33lim lim1 1 1 1 2(2 ) 2x xxx xx xAxx xx x→+∞ →+∞+ + + += = =+ + + + 2) Ta có: 1 101171 101( )lim( )nn nn nxmm mm ma a ax axx xAb b bx bxx x−−→+∞−−+ + + +=+ + + + * Nếu1 1010171 1 001 lim n nn nxm mm ma a aaaxx xm n Ab b b bbxx x−−→+∞−−+ + + += ⇒ = =+ + + +. * Nếu 1 101171 101 lim 0( )n nn nxm nm mm ma a aaxx xm n Ab b bx bxx x−−→+∞−−−+ + + +> ⇒ = =+ + + + ( Vì tử0a→ , mẫu0→). * Nếu m n< Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 9 - 1 1010 0170 01 101( ) khi . 0lim khi 0 n mn nn nxm mm ma a ax aa bxx xAa bb b bbxx x−−−→+∞−−+ + + ++∞ >⇒ = =−∞ <+ + + +. Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau: 1)2 2182 1 1lim2 2xx xAx→+∞+ − +=+ 2)21923 2 1lim1 1xx xAx→−∞− + +=+ −. Giải: 1) Ta có:2 2181 1| | 2 | | 1lim2(2 )xx xx xAxx→+∞+ − +=+2 21 12 12 1lim2 22xx xx→+∞+ − +−= =+. 2) 2 21922 1 1| | 3 | |lim1 1| | ( 1 )| |xx xxx xAxxx→−∞− + +=+ −2 222 1 13lim 31 1( 1 )| |xxx xxx→−∞− − − += =− + −. Ví dụ 3:Tìm các giới hạn sau 1)33 220443 1 2 1lim4 2xx x xAx→−∞+ − + +=+ 2)221331 2 1lim2 2 1xx x xAx→+∞+ − +=− +. Giải: 1) Ta có:333 220441 1 13 23 2lim2 24xx xxx xAxx→−∞+ + + ++= = −− +. 2) 22 2 2 2213 33 31 2 1 1 2 1( 1 ) ( 1 )lim2 1 2 1( 2 ) 2xx xx xx x x xAxx xx x→+∞+ − + + − += = = +∞− + − + (do tử→ +∞, mẫu32→ ). Bài tập: Tìm các giới hạn sau 1)3 4137(2 1) ( 2)lim(3 2 )xx xBx→+∞+ +=− 2) 21424 3 4 2lim1xx x xBx x x→−∞− + −=+ + − Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 10 - 3)21522 3 2lim5 1xx xBx x→+∞+ +=− + 4) 4 6163 4ln(1 )limln(1 )xx xBx x→−∞+ +=+ + Dạng 4 : Dạng vô ñịnh: ∞ − ∞và 0.∞ Phương pháp: Những dạng vô ñịnh này ta tìm cách biến ñổi ñưa về dạng∞∞. Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau: 1)222lim ( 1 )xA x x x→+∞= − + − 2) 223lim (2 4 1)xA x x x→−∞= + − + Giải: 1) Ta có: 2 22 2222 2( 1 )( 1 )1lim lim1 1x xx x x x x xx x xAx x x x x x→+∞ →+∞− + − − + +− + −= =− + + − + + 2221 1lim21xxAx x x→+∞− +⇒ = = −− + +. 2) 2 2232(2 4 1)(2 4 1)lim2 4 1xx x x x x xAx x x→−∞− − + + − +=− − +21 1lim42 4 1xxx x x→−∞+= =− − +. Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau: 1)33 2 224lim ( 3 2 )xA x x x x→−∞= − + − 2)2 225lim ( 2 2 )xA x x x x x x→+∞= + − + +. Giải: 1) Ta có: 3 33 2 2 3 2 23 2 ( 3 ) ( 2 )x x x x x x x x x x− + − = − − + − + 233 2 2 3 2 2 233 2( 3 ) 3 2x xx x x x x x x x x− −= +− + − + − − 2423 33 2lim lim 03 3 2(1 ) 1 1 1 1x xAx x x→−∞ →−∞− −⇒ = + =− + − + − − −. 2) Ta có: 2 2 22 22 22 2 2 2 4 42 22 2x x x x x x xx x x x xx x x x x+ + + − −+ − + + =+ + + + 22 22 122 2x x xxx x x x x+ − −=+ + + +2 2 22( 2 2 )( 2 1)xx x x x x x x x−=+ + + + + + + Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 11 - 2252 2 22lim( 2 2 )( 2 1)xxAx x x x x x x x→+∞−⇒ =+ + + + + + + 252 1lim42 1 2 1( 1 2 1 1)( 1 1 )xAx x x x→+∞−= = −+ + + + + + +. Ví dụ 3: Tìm giới hạn: 26 1 2lim [ ( )( ) ( ) ]nnxA x a x a x a x→+∞= + + + −. Giải: ðặt 1 2( )( ) ( )nny x a x a x a= − − − 1 1 1( )( )n n n n ny x y x y y x x− − −⇒ − = − + + +1 1 1 n nn n ny xy xy y x x− − −−⇒ − =+ + + 1 2 1lim ( ) lim n nn n nx xy xy xy y x x− − −→+∞ →+∞−⇒ − =+ + +1261 1 11lim n nnn n nxny xxAy y x xx−− − −→+∞−−⇒ =+ + +. Mà 2 31 21 2 1lim lim ( )n nnnn nx xb b by xa a axx x x− −→+∞ →+∞−= + + + + + + +1 2 na a a= + + + 11lim 1 0, , 1k n knxy xk nx− −−→+∞= ∀ = −1 2 11 limn n nnxy y x xnx− − −−→+∞+ + +⇒= Vậy1 226 na a aAn+ + += . Bài tập: Tìm các giới hạn sau: 1)217lim ( x 1 )xB x x→+∞= − + − 2) 218lim ( 4 1 )xB x x x→−∞= + − 3)2 219lim ( 1 1)xB x x x x→±∞= − + − + + 4) 3320lim ( 8x 2x 2x)xB→+∞= + − 5) 44 221lim ( 16 3 1 4 2)xB x x x→+∞= + + − + 6)3322lim ( 1 )xB x x→−∞= − − . Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 12 - Dạng vô ñịnh các hàm lượng giác PP: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến ñổi về các dạng sau: *0 0sinlim lim 1sinx xx xx x→ →= =, từ ñây suy ra0 0tanlim lim 1tanx xx xx x→ →= =. * Nếu 0 0sin ( )lim ( ) 0 lim 1( )x x x xu xu xu x→ →= ⇒ = và0tan ( )lim 1( )x xu xu x→=. Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: 27201 coslimxaxAx→−=. Giải: Ta có:222720 02 sin sin2 2lim lim2 22x xax axa aAaxx→ →   = = =   . Chú ý: Kết quả trên chúng ta thường hay ñược sử dụng ñể giải một số bài toán khác Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau 1)2801 sin coslim1 sin cosxmx mxAnx nx→+ −=+ − 2) 29201 cos .cos 2 . cos 3limxx x xAx→−=. Giải: 1) Ta có: 222 sin 2 sin cos1 sin cos2 2 21 sin cos2 sin 2 sin cos2 2 2mx mx mxmx mxnx nx nx nx nx++ −=+ −+xsin sin cos2 2 2 2. .xsin sin cos2 2 2 2mx n mx mxmn mx n nx nx+=+. 280 0 0xsin sin cos2 2 2 2lim . lim . limxsin sin cos2 2 2 2x x xmx n mx mxm mAn mx n nx nx n→ → →+= =+. 2) Ta có: 2 21 cos cos cos 2 (1 cos 3 ) cos (1 cos 2 )1 cos .cos 2 . cos 3x x x x x xx x xx x− + − + −−=2 2 21 cos 1 cos 3 1 cos 2cos . cos 2 cosx x xx x xx x x− − −= + +. Sử dụng kết quả bài 27A ta có: 292 2 20 0 01 cos 1 cos 3 1 cos 2lim lim cos . cos 2 lim cos 3x x xx x xA x x xx x x→ → →− − −= + + = Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 13 - Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau: 1)3001 cos 2lim32 sin2xxAx→−= 2)310cos 2 cos 3lim(sin 3 sin 4 )xx xAx x x→−=− 3) 23230tan 2lim1 cos 2xxAx→=− Giải: 1) Ta có:22300 0 03sinsin sin 32lim lim ( ) . lim 03 2 3sin2 2x x xxx xA xx x x→ → →= = =. 2)310 0 05 52 sin sin sin5 1 52 2 2lim lim ( . ). lim7 2 5 7 22 cos sin cos2 2 2 2x x xx x xAx x x xx→ → →= = − =−. 3) 332 223230 0tan 2 (1 cos 2 cos 2 )tan 2lim lim1 cos 21 cos 2x xx x xxAxx→ →+ += =−− 332 220332 2 20tan 2 (1 cos 2 cos 2 )lim2 sintan 22 lim ( ) .( ) (1 cos 2 cos 2 ).2 sinxxx x xxx xx xx x→→+ +== + + 326A⇒ =. Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau 1) 33201 coslimnxaxAx→−= 2)3 4 20083420cos cos 2 cos 3 cos 4 cos 2008limxx x x x xAx→− + − + − += Giải: 1) Ta có: 2 11 cos1 cos1 cos ( cos ) ( cos )nn n nnaxaxax ax ax−−− =+ + + + 3322 10 01 cos x 1lim lim1 cos ( cos ) ( cos )n n nnx xaAxax ax ax−→ →−⇒ =+ + + + 1.2 2a an n= = . 2) Ta có: 2008 200811 1( 1) cos ( 1) (1 cos )k kk kk kkx kx+= =− = − −∑ ∑. Mà34201 cos 1lim ( 1,2, , 2008) 02kxkxk Ax→−= ∀ = ⇒ =. Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 14 - Ví dụ 5: Tìm giới hạn 1)2350lim1 sin 3 cos 2xxAx x x→=+ − 2) 2363 40sin 2limcos cosxxAx x→=− Giải: 1) Ta có: 35021lim1 sin 3 cos 2xAx x xx→=+ − Mà: 2 2 20 0 01 sin 3 cos 2 1 sin 3 1 1 cos 2lim lim limx x xx x x x x xx x x→ → →+ − + − −= + 0sin 3 1 53 lim ( . ) 13 21 sin 3 1xxxx x→= + =+ +. Vậy:352A5=. 2) Ta có:3 43 42 20 0(1 cos ) 1 coscos cos 1 1 1lim lim6 8 24x xx xx xx x→ →− − + −−= = − + = −. 22363 40 0sin 24 lim ( ) . lim 4.( 24) 692cos cosx xx xAxx x→ →⇒ = = − = −−. Ví dụ 6: Tìm các giới hạn sau 1)371sin( )lim .sin( )mnxxAxππ→= 2)382lim ( ) tan2xA x xππ→= − . Giải: 1) Ta có: 371sin (1 )limsin (1 )mnxxAxππ→−=−1 1 1sin (1 ) (1 )1lim . lim . lim(1 ) sin (1 ) 1m nnm n mx x xx xxx x xπ ππ π→ → →− −−=− − − 1 21 21 1(1 )( 1)1lim lim .1 (1 )( 1)n nnm m mx xx x xx nmx x x x− −− −→ →− + + +−= = =− − + + + 2) Ta có:382 2 2sin2lim ( ) lim . lim sin 12 cos xsin( )2x x xxxA x xxπ π ππππ→ → →−= − = =−. Ví dụ 7: Tìm các giới hạn sau: 1)3901lim sin ( 0)xA xxαα→= > 2) 40lim (sin 1 sin )xA x x→+∞= + − Giải: 1) Ta có:10 | sin |x xxα α≤ < . Mà0lim 0xxα→= Nên theo nguyên lí kẹp390A⇒ =. Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 15 - 2) Trước hết ta có: sin 0x x x< ∀ > Ta có: 1 1 1| sin 1 sin | | 2sin . cos |2 21x x x xx xx x+ − + ++ − = <+ +Mà 1lim 01xx x→+∞=+ + nên400A=. Bài tập: Tìm các giới hạn sau 1)230cos 3x cos 4xlimcos 5x cos 6xxB→−=− 2) 32401 1 2sin2xlimsin 3xxB→− += 3)252cos 3 1 sin 3xlim1 sinxxBxπ→+ −=− 4) 42640sin 2xlimsin 3xxB→= 5)2701 sin( cos )2limsin(tan )xxBxπ→−= 6) 283 sin 2 coslim1xx xBx x→+∞+=+ + 7)2920cos coslimsinm mxax bxBx→−= 8) 32 22002x 1 3x 1lim1 cos xxB→+ − +=− Giới hạn hàm số mũ và Lôgarít Sử dụng giới hạn ñặc biệt:0 0ln(1 )1lim lim 1xx xxex x→ →+−= =. Từ ñây ta có hệ quả: Nếu0lim ( ) 0x xu x→= thì 0 0( )ln(1 ( ))1lim lim 1( ) ( )u xx x x xu xeu x u x→ →+−= =. Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau 1)410limax bxxe eAx→−= 2)32 1 1 1 3420limx xxe eAx+ − −→−=. Giải: 1) Ta có:410 01 1A lim limax bxx xe ea b a bax bx→ →− −= − = −. 2) Ta có: 332 1 1 1 3x 14230 0 0 01 2 1 1 1 1 3x 1lim . lim lim . lim2 1 11 3x 1xx x x xe x eAx xx+ − − −→ → → →− + − − − −= −+ −− − Mà32 1 1 1 3x 130 01 1lim lim 12 1 11 3x 1xx xe ex+ − − −→ →− −= =+ −− −;02 1 1lim 1xxx→+ −= Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 16 - và301 3x 1lim 1xx→− −= −. Nên42A 1 1 2⇒ = + =. Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau 1)4401limxxaAx→−= 2) 3430ln | | ln( 3 1 1) | 1 1 |]limxx x xAx→− + + + −=. Giải: 1) ðặtln( 1)1lnxtt a xa+= − ⇒ = . Khi 0 0x t→ ⇒ →440.lnlim lnln(1 )tt aA at→⇒ = =+. Chú ý : Ta có dạng tổng quát của 44Anhư sau: Nếu( )0 01lim ( ) 0 lim ln( )u xx xau x au x→ →−= ⇒ =. 2) Ta có: 33( 3 1 1)( 3 1 1)( 1 1)1 1x xx xx+ ++ + + − =+ + 3 3ln( 3 1 1) | 1 1 | ln | | ln( 3 1 1) ln( 1 1)x x x x x⇒ + + + − = + + + − + + 3450ln( 3 1 1) ln( 1 1)limxx xAx→+ + − + +⇒ = = 30 0ln(1 1 3x) ln 2 ln(1 1 ) ln 2lim limx xxx x→ →+ + − + + −= − 30 01 1ln(1 ( 1 3x 1)) ln(1 ( 1 1))2 2lim limx xxI Jx x→ →+ + − + + −= − = − Mà33031ln(1 ( 1 3 1))1 1 3 1 1 12lim . .1.12 1 2 2( 1 3 1)2xxxIxx→+ + −+ −= = =+ −. 01ln(1 ( 1 1))1 1 1 1 1 12lim . .1. .2 1 2 2 4( 1 1)2xxxJxx→+ + −+ −= = =+ − Vậy 451 1 1.2 4 4A = − = Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau: 1)460(1 ) 1lim ( 0)xxAxαα→+ −= > 2)47limx ax aa xAx a→−=−. Giải: 1) Ta có: ( )ln(1 )1 1 1xx eαα++ − = − Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 17 - ln(1 )(1 ) 1 ln(1 )1.ln(1 )xx xex x xαααα++ − +−⇒ =+ln(1 )460ln(1 )1lim .ln(1 )xxxeAx xαααα+→+−⇒ = =+. Chú ý : Tổng quát ta có: Nếu0 0(1 ( )) 1lim ( ) 0 lim( )x xu xu xu xαα→ →+ −= ⇒ =. 2) Ta có: xa ( 1) (1 ) 1a a x a a ax ax a a aa− −− = − − + −   1(1 ) 11ax a x aa ax aa x aaa ax a x a x aa−−−+ −− −⇒ = −− − − 1471(1 ) 11lim lim ln . lnax aa ax a x aa a ax aaaA a ax a x aaaa a a a ae−−→ →−−+ −−⇒ = −− −= − =. Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau: 1)2424803 1limln( 3 4 1)x xxe xAx−→− +=+ − 2)3x+1 149204 sin 3xlimln( 1)xAx x−→−=− +. Giải: 1) Ta có: 22424223 1ln( 3 4 1)(2 1)1 3 1 1 3 4 2. .(2 1)ln(1 ( 3 4 2)) 3 4 22x xx xe xxx xe x xx xx xx x−−− +=+ − −− + − + − = − −+ + − + −−  . Mặt khác : 2220 01 3 4 2lim lim 1ln(1 ( 3 4 2))2x xx xe xxx x−→ →− + −= =+ + −− và 4 40 0 03 1 1 3 1 1 1 3lim lim . lim(2 1) 2 1 4x x xx xx x x x→ → →+ − + −= = −− −;0(2 1)2lim33 4 2xx xx→−= −+ − 483 2 7(1 ).1.( )4 3 6A⇒ = + − = −. 2) Ta có: 3 1 1 3 1 1 22 2 24 cos 3 4 1 1 cos 3 3 1 13 1 1 3 1 1ln( 1) ln( 1)x xx x x x xx xx x x x x x+ − + − − − − − + − = + + − + −− + − + − . Mà3 1 104 1lim 2 ln 23 1 1xxx+ −→−=+ −; 20 0 03 1 1 3 1 1 1 3lim lim . lim1 2x x xx xx xx x→ → →+ − + −= = −−− Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 18 - 220 0 023sin ( )1 cos 3 92lim lim . lim 02 33 1 1 3 1 1( )2x x xxx xx xx→ → →−= =+ − + −; 220lim 1ln( 1)xx xx x→−=− + 493 ln 2A⇒ = − . Giới hạn 1∞ Phương pháp: Dựa vào các giới hạn ñặc biệt sau: * 101 1lim (1 ) lim (1 ) lim (1 )x xxx x xx ex x→ →+∞ →−∞+ = + = + =. * Nếu 0lim ( ) 1x xu x→= và 0lim ( ) ( )x xv x→= +∞ −∞ thì0 01( ) .( ( ) 1) ( )( ) 1lim ( ) lim 1 ( ( ) 1)v x u x v xu xx x x xu x u x−−→ →   = + −    0lim ( ( ) 1) ( )x xu x v xe→−= . Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau: 1)3 2512lim1xxxAx+→+∞ += +  2)211521lim 2 )xx xxA e−−→ = −  . Giải: 1) Ta có:3 23 2( 1).lim131511lim 11xxxxxxxA e ex→+∞+++++→+∞ = + = = + . 2) Ta có: 222211 11.lim111521lim 1 (1 )x xx xx xxeexx xxexA e e−−−→−−−−−−→ = + − =   Mà 2 221 11 1lim lim . 11x x x xx xe exxx x− −→ →− −= = −−−. Vậy152Ae−= . Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau: 1)22 cot530lim (1 )xxA x→= + 2)2 12354201lim ( )1xxxx xAx x+→− +=+ +. Giải: 1) Ta có:2 22 2 201. lim2tan tan530lim (1 )xx xx x xxA x e e→→= + = =. Giới hạn hàm số Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 19 - 2) Ta có 22 21 211 1x x xx x x x− += −+ + + + và 222(2 1)2 1 1( )3 23( 1)xx x xx xx x− ++ + += −+ + 22 202(2 1) 2(2 1)12. lim23( 1) 3( 1)354202lim (1 )1xx xx xxx x x xxxA e ex x→− + − ++ +−−+ + + +→⇒ = − = =+ + Ví dụ 3: Tìm giới hạn: tan552lim (sin )xxA xπ→= Giải: Ta có: 2sin 1lim(sin 1)1cot.sin 1 cot552lim [1 (sin 1)]xxxxx xxA x eππ→−−−→= + − = Mà 2 2 2sin sin 2 cos( )sin( )sin 12 2 4 2 4lim lim limcottan( ) tan( )2 2x x xx xxxxx xπ π ππ π ππ π→ → →− + −−= =− − 2sin( )2 4 2lim [ cos( )] 02 4tan( )2 4 2xxxxxxππ πππ π→− −= − + =− −. Vậy 0551A e= =. Bài tập: Tìm các giới hạn sau

Tài liệu liên quan

• Chuyên đề Giới hạn hàm số
  • 15
  • 3
  • 40
• CÁC CHUYÊN đề KHẢO sát hàm số 2010 (LUYỆN THI đại học)
  • 11
  • 1
  • 5
• CHUYÊN ĐỀ NHỎ: 19 BÀI GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG 0/0 RẤT CƠ BẢN
  • 8
  • 8
  • 211
• Tổng hợp câu hỏi phụ phần khảo sát hàm số 2013 ôn thi đại học
  • 122
  • 1
  • 0
• 13 chuyên đề thi đại học
  • 36
  • 522
  • 3
• chuyen de thi dai hoc vo co 2006-2010
  • 39
  • 402
  • 1
• 13 chuyen de thi dai hoc.doc
  • 36
  • 400
  • 0
• Gián án chuyen de gioi han ham so 11
  • 15
  • 2
  • 50
• 9 chuyen de thi dai hoc Toan
  • 119
  • 410
  • 1
• Các bài tập dể và khó cơ bản về khảo sát hàm số trong ôn thi đại học năm 2012- 2013 ppt
  • 17
  • 1
  • 16

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(266.98 KB - 19 trang) - chuyên đề Giới hạn hàm số trong đề thi đại học Tải bản đầy đủ ngay ×