Ôn Thi đại Học Môn Toán - Chuyên đề 4: Giới Hạn - Giáo Án Mẫu

Có thể bạn quan tâm

Trang chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Liên hệ

Giáo Án Mẫu

Tổng hợp giáo án điện tử mầm non, mẫu giáo, tiểu học, trung học, đại học

Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề 4: Giới hạn

3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).

o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].

o Chứng tỏ f(a).f(b)

Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).

Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh

f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng

f(x)=0 đều có nghiệm.

12 trang | Chia sẻ: tuananh27 | Lượt xem: 685 | Lượt tải: 0

Bạn đang xem nội dung tài liệu Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề 4: Giới hạn, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênm n n n + − − b) ( )3 23lim 2n n n− − Chuyên ñề GIỚI HẠN ôn thi ðại học 45 _________________________________________________________________________ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh c) ( )2 2lim 1 2n n+ − − d) 2 3 4 2 3 4 1 ... lim a 1, b 1 1 ... n n a a a a a b b b b b + + + + + + < < + + + + + + e) 3 4 2 2 lim 3 2 n n n+ + f) ( )( )( )12 1 lim 2 1 n n n n + + − + − g) ( )2 4lim 1 3 1n n n+ − + + h) 2 63 4 2 1 lim 1 n n n n + − + − i) ( )( )( )( ) 2 1 3 lim 1 2 n n n n n + + + + j) 2 2 2 2 1 1 1 1 lim 1 1 1 ... 1 2 3 4 n       − − − −            k) 2 2 2 1 1 1 lim ... 1 2n n n n   + + +  + + +  4. Tìm tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) 3 2 2 11 1 lim 2 n n n − + − b) 2 2 1 lim 2 4n n+ − + c) ( )3 23lim n n n n + −   __________________________________________________________ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. ðịnh nghĩa:Cho hàm số f(x) xác ñịnh trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn ∈K và xn ≠ a , *n∀ ∈ℕ mà lim(xn)=a ñều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: ( )lim x a f x L →   =  . 2. Một số ñịnh lý về giới hạn của hàm số: a) ðịnh lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn ñó là duy nhất. b) ðịnh lý 2:Nếu các giới hạn: ( ) ( )lim , lim x a x a f x L g x M → →    = =    thì: ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim x a x a x a f x g x f x g x L M → → →      ± = ± = ±      ( ) ( ) ( ) ( )lim . lim .lim . x a x a x a f x g x f x g x L M → → →      = =      ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim , M 0 lim x a x a x a f xf x L g x Mg x → → →    = = ≠    ( ) ( ) ( )lim lim ; 0, 0 x a x a f x f x L f x L → →  = = ≥ ≥  Chuyên ñề GIỚI HẠN ôn thi ðại học 46 _________________________________________________________________________ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác ñịnh trên khoảng K chứa ñiểm a (có thể trừ ñiểm a), g(x)≤ f(x)≤h(x) ,x K x a∀ ∈ ≠ và ( ) ( ) ( )lim lim lim x a x a x a g x h x L f x L → → →      = = ⇒ =      . 3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: a) Trong ñịnh nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , ñều có lim[f(xn)]=∞ thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: ( )lim x a f x →   = ∞  . b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = ∞ ñều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu: ( )lim x f x L →∞   =  . c) Trong ñịnh nghĩa giới hạn hàm số chỉ ñòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a *n∀ ∈ℕ , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : ( )lim x a f x +→    . Nếu chỉ ñòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a *n∀ ∈ℕ thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: ( )lim x a f x −→    B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: 1. Giới hạn của hàm số dạng: ( )( ) 0 lim 0x a f x g x→       o Nếu f(x) , g(x) là các hàm ña thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2. o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. 2. Giới hạn của hàm số dạng: ( )( )lim x f x g x→∞ ∞    ∞  o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x→ +∞ thì coi như x>0, nếu x→ −∞ thì coi như x<0 khi ñưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn. 3. Giới hạn của hàm số dạng: ( ) ( ) ( )lim . 0. x f x g x →∞   ∞  . Ta biến ñổi về dạng: ∞    ∞  4. Giới hạn của hàm số dạng: ( ) ( ) ( )lim - x f x g x →∞   − ∞ ∞   o ðưa về dạng: ( ) ( )( ) ( )limx f x g x f x g x→∞ − + C. CÁC VÍ DỤ 1. ( ) ( )( ) 22 2 2 3 2 23 2 12 lim 3 2 2 2 4x x x x→− − − − + − + = = − = − − − − Chuyên ñề GIỚI HẠN ôn thi ðại học 47 _________________________________________________________________________ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 2. ( )( ) ( )2 2 2 2 2 13 2 lim lim lim 1 2 1 1 2 2x x x x xx x x x x→ → → − − − + = = − = − = − − .Chia tử và mẫu cho (x-2). 3. ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )23 3 3 1 2 1 2 3 3 1 4 3 31 2 lim lim lim 3 3 3 3 1 2 3 3 3 3 1 2x x x x x x x xx x x x x x x→ → → + − + + + + − ++ − = = − − + + + − + + ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3.3 3 6 1 lim lim 12 23 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2x x x x x x x x→ → − + + + = = = = = − + + + + + + 4. 2 3 3 1 lim 3x x x x→ − + = ∞ − (vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể: 2 3 2 3 3 1 lim 3 3 1 lim 3 x x x x x x x x + − → →  − + = +∞ −  − + = −∞  − 5. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 23 2 23 21 1 1 1 2 1 2 12 1 lim lim lim 4 5 2 1 21 2x x x x x x x xx x x x x x xx x→ → → − + + + + − − = = = ∞ − + − − − − − . 6. 2 2 2 2 22 22 2 3 1 3 22 3 2 lim lim lim 2 111 11 x x x x x x x x x x xx xx →∞ →∞ →∞ − + − + − + = = = = ++ + 7. 1 lim 1 0 x x +→ − = 8. 2 2 2 1 11 1 lim lim lim 1 1 x x x x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞ + + = = + = 9. 2 2 2 2 1 1 1 11 1 lim lim lim lim 1 1 x x x x x x x x x x x x x→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ + − +  + = = = − + = −     . 10. Cho hàm số : ( ) ( ) ( ) 2 3 x 1 x+a x>1 x x x f x  − + ≤  =    . Tìm a ñể hàm số có giới hạn khi x dần tới 1 và tìm giới hạn ñó. Giải Ta có : ( ) ( )2 1 1 lim lim 3 3 x x f x x x − −→ →   = − + =  . Chuyên ñề GIỚI HẠN ôn thi ðại học 48 _________________________________________________________________________ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh ( ) 1 1 lim lim 1 x x x a f x a x+ +→ → +   = = +  Vậy ( ) 1 lim 3 1 3 2 x f x a a →   = ⇔ + = ⇔ =  11. ( )( ) ( ) 23 2 2 2 2 2 2 48 lim lim lim 2 4 12 2 2x x x x x xx x x x x→ → → − + + − = = + + = − − . Dạng 0 0       . 12. 3 3 3 2 3 33 33 2 1 2 1 12 1 1 lim lim lim 12 12 1 22 x x x x x x x x x x xx xx →∞ →∞ →∞ + − + −+ − = = = ++ + . Dạng ∞   ∞  . 13. ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 3 33 3 3 2 2 3 1 2 3 12 lim 3 1 lim lim . 1 . 1 . 1x x x x x x x xx x x x x x x x x →∞ →∞ →∞ − + − +  − + = =  + + +  2 3 3 1 12 3 6 lim 6 11 1 x x x x →∞   − +    = = = + 14. ( ) ( )( )2 2 2 22 2 23 3 3lim 3 lim lim3 3x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞ + + − + + + + + − + + − = = + + + + + + 2 2 2 3 313 1 lim lim lim 21 33 3 1 1 x x x x x x x x x x x x x x xx →+∞ →+∞ →+∞ + ++ = = = = + + + + + + + + + . Dạng ( )∞ − ∞ . D. BÀI TẬP. 1. Tìm các giới hạn sau: a) ( )3 2 0 lim 4 10 x x x → + + b) ( )2 3 lim 5 7 x x x → − c) 2 1 5 lim 5x x x→− + + d) 2 3 2 15 lim 3x x x x→ + − − e) 2 21 2 3 1 lim 1x x x x→− + + − f) 3 2 1 1 lim 1x x x x x→ − + − − Chuyên ñề GIỚI HẠN ôn thi ðại học 49 _________________________________________________________________________ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh g) 4 4 lim x a x a x a→ − − h) 2 7 3 3 lim 2x x x x→ − − + 2. Tìm các giới hạn : a) 2 0 1 1 lim x x x x x→ + − + + b) 2 2 lim 4 1 3x x x x→ − + + − c) 3 0 1 1 lim 3x x x→ − − d) 3 21 1 lim 3 2x x x→− + + − e) ( ) 2 22 3 2 lim 2x x x x→ − + − f) 2 3 21 2 3 1 lim 1x x x x x x→ − + − − + g) 2 3 4 3 lim 3x x x x→ − + − h) ( ) 6 5 21 4 5 lim 1x x x x x→ − + − i) 3 22 8 11 7 lim 3 2x x x x x→ + − + − + 3. Tìm các giới hạn sau: a) 2 2 3 5 1 lim 2x x x x→∞ − + − b) ( ) ( )( ) 2 2 4 1 . 7 2 lim 2 1x x x x→∞ − + + c) ( )( )( )( ) 2 3 2 1 5 3 lim 2 1 1x x x x x→∞ + + − + d) ( )2lim 4 x x x x →∞ − − e) ( ) ( )2sin 2 2coslim 1x x x x x→∞ + + + . 4. Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hàm số f(x) tại x=x0 và xét xem ( ) 0 lim x x f x →    có tồn tại không trong các trường hợp sau: a) ( ) ( ) ( ) 2 1 x>1 5 3 x 1 x xf x x −  =   + ≤ tại x0 = 1 b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x>1 1 1 x 1 x x f x x x x  + −  = −  + + ≤ tại x0 = 1 Chuyên ñề GIỚI HẠN ôn thi ðại học 50 _________________________________________________________________________ Nguyễn Thị Châm – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh c) ( ) ( ) ( ) 24 x<2 2 1 2 x 2 x f x x x  −  = −  − ≥ tại x0 = 2 d) ( ) 32 3 25 4 x x f x x x − + = − + tại x0 = 1 5. Tìm các giới hạn: a) ( )2lim 5 x x x x →+∞  + −    b) ( )2lim 3 x x x x →±∞ − + + _________________________________________________________________________ HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số liên tục tại một ñiểm trên một khoảng: o Cho hàm số f(x) xác ñịnh trên khoảng (a;b). Hàm số ñược gọi là liên tục tại ñiểm x0 ∈ (a;b) nếu: ( ) ( ) 0 0lim x x f x f x →   =  .ðiểm x0 tại ñó f(x) không liên tục gọi là ñiểm gián ñoạn của hàm số. o f(x) xác ñịnh trên khoảng (a;b) liên tục tại ñiểm x0 ∈ (a;b) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 0lim lim lim x xx x x x f x f x f x f x + − →→ →      ⇔ = = =      . o f(x) xác ñịnh trên khoảng (a;b) ñược gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi ñiểm thuộc khoảng ấy. o f(x) xác ñịnh trên khoảng [a;b] ñược gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x a x b f x f a f x f b + − → →    =     =   2. Một số ñịnh lý về hàm số liên tục: o ðịnh lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) , . , 0 f x f x g x f x g x g x g x ± ≠ cũng liên tục tại x0 . o ðinh lý 2: Các hàm ña thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liê

File đính kèm:

4.pdf

Giáo án liên quan

Đề cương ôn thi học kì I môn: Toán 11NC
3 trang | Lượt xem: 626 | Lượt tải: 0
Giáo án Đại số 11 nâng cao tiết 26: Luyện tập hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
2 trang | Lượt xem: 787 | Lượt tải: 0
Chủ đề bám sát lớp 11 ban CB: Hàm số liên tục
9 trang | Lượt xem: 536 | Lượt tải: 1
Đề kiểm tra Giải tích 11
2 trang | Lượt xem: 670 | Lượt tải: 0
Đề ôn tập học kì I môn Toán lớp 11 chương trình chuẩn
5 trang | Lượt xem: 804 | Lượt tải: 0
Giáo án Đại số cơ bản 11 - Chương III: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
35 trang | Lượt xem: 1017 | Lượt tải: 0
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng phương pháp hàm số
12 trang | Lượt xem: 1308 | Lượt tải: 0
Luyện thi đại học Chuyên đề Lượng giác
11 trang | Lượt xem: 543 | Lượt tải: 0
Giáo án môn Hình học 11 CB tiết 9: Bài tập phép đồng dạng
3 trang | Lượt xem: 507 | Lượt tải: 0
Giáo án Hình học 11 - Nâng cao - Tiết 11: Phép đồng dạng
4 trang | Lượt xem: 830 | Lượt tải: 0