CHUYÊN ĐỀ: Hai đường Thẳng Vuông Góc (HÌNH HỌC 11) - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.docx) (54 trang)

Trang chủ

Lớp 11

Toán học

CHUYÊN ĐỀ: Hai đường thẳng vuông góc (HÌNH HỌC 11)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (814.75 KB, 54 trang )

CHUYÊN ĐỀ: Hai đường thẳng vuông góc (HÌNH HỌC 11)Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết hai đường thẳng vuông gócXác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳngTính tích vô hướng của hai vectơHai đường thẳng vuông góc trong không gianChủ đề: Hai đường thẳng vuông gócCâu hỏi trắc nghiệm lí thuyết hai đường thẳng vuông gócA. Phương pháp giải1. Góc giữa hai vectơ trong không gianĐịnh nghĩaTrong không gian, cho u→ và v→ là hai vectơ khác 0→. Lấy một điểm A bất kì,gọi B và C là hai điểm sao cho AB→ = u→, AC→ = v→. Khi đó ta gọigóckí hiệu là (u→, v→)là góc giữa hai vectơ u→ và v→ trong không gian,2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gianĐịnh nghĩaTrong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→ . Tích vô hướng của haivectơ u→ và u→ là một số, kí hiệu là u→.v→, được xác định bởi công thức:Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→.v→ = 0.II – Vecto chỉ phương của đường thẳng1. Định nghĩaVectơ a→ khác 0→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá củavectơ a→ song song hoặc trùng với đường thẳng d.2. Nhận xéta) Nếu a→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ k.a→ với k ≠ 0 cũnglà vectơ chỉ phương của d.b) Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm Athuộc d và một vectơ chỉ phương a→ của nó.c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳngphân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.III – Góc giữa hai đường thẳng trong không gian1. Định nghĩaGóc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.2. Nhận xéta) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc mộttrong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đườngthẳng còn lại.b) Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90°.c) Nếu u→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v→ là vectơ chỉ phương củađường thẳng b và (u→, v→) = α thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu0° ≤ α ≤ 90° và bằng 180° - α nếu 90° < α ≤ 180°. Nếu a và b song song hoặctrùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°.IV – Hai đường thẳng vuông góc1. Định nghĩaHai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥ b .2. Nhận xéta) Gọi u→ và v→ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì:a ⊥ b ⇔ u→.v→ = 0b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đườngthẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.B. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a;b;c . Khẳng định nàosau đây đúng?A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a//b.B. Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b.C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b.D. Nếu a và b cùng nằm trong mp(α) // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.Hướng dẫn giảiChọn B.Ta xét các phương án:+ Phương án A: Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a và b hoặc song song hoặcchéo nhau⇒ A sai.+ Phương án C sai do:Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuônggóc chung của a và b. Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùngbằng 90°, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng a và b không song song.+ Phương án D sai do: giả sử a vuông góc với c; bsong song với c, khi đó góc giữaa và c bằng 90°, còn góc giữa b và c bằng 0°.Do đó B đúng.Ví dụ 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi bsong song với c (hoặc b trùng với c).B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì bsong song với c.C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đườngthẳng đó.Hướng dẫn giảiChọn ATa xét các phương án:+ Phương án B sai: Ví dụ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có:(AD; AB) = (AD; AA’) = 90° nhưng AB và AA’ lại vuông góc với nhau+ Phương án C sai : Vì góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90°. Mà 90° lạikhông là góc nhọn .+ Phương án D: Góc giữa hai đường thẳng chỉ bằng góc giữa hai véctơ chỉphương của hai đường thẳng đó khi góc giữa hai vecto chỉ phương không vượtquá 90°.⇒ Phương án A đúng.Ví dụ 3: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳngthứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳngthứ ba thì song song với nhau.C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuônggóc với nhau.Hướng dẫn giảiChọn ATheo lý thuyếtVí dụ 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùngnằm trong một mặt phẳngB. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thìđồng quy.C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳngđó cùng nằm trong một mặt phẳng.D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng.Hướng dẫn giảiChọn BGọi a; b; c là 3 đường thẳng cắt nhau từng đôi mộtGiả sử a; b cắt nhau tại A, vì c không nằm cùng mặt phẳng với a; b mà c cắt a; bnên c phải đi qua AThật vậy giả sử c không đi qua A thì nó phải cắt a; b tại hai điểm B; C⇒ Đường thẳng c cắt (a; b) tại 2 điểm B; C điều này là vô lí, một đường thẳngkhông thể cắt một mặt phẳng tại hai điểm phân biệt.Ví dụ 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song vớinhau.B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông gócvới đường thẳng c thì a vuông góc với c.C. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b. Nếu đường thẳng c vuông góc với a và bthì a; b; c không đồng phẳng.D. Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu a vuông góc với c thì b cũng vuônggóc với c.Hướng dẫn giảiTa xét các phương án:+ Phương án A sai: vì hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thìsong song với nhau hoặc vuông góc với nhau.+ Phương án B sai vì nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đườngthẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có thể song song với c(khi 3 đườngthẳng a; b; c đồng phẳng).+ Phương án C sai vì với 2 đường thẳng a // b và 3 đường thẳng a; b; c đồngphẳng. Nếu đường thẳng c vuông góc với a thì c cũng vuông góc với b.+ Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.C. Bài tập vận dụngCâu 1: Mệnh đề nào sau đây là đúng?A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì songsong với đường thẳng còn lại.B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thìvuông góc với đường thẳng kia.Hiển thị lời giảiTheo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặpvectơ AB→ và DH→A. 45°B.90°C. 120°D. 60°Hiển thị lời giảiChọn BCâu 3: Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Biết a vuông góc vớiđường thẳng c. Tìm mệnh đề đúng ?A. b vuông góc với cB. b // cC. Cả A và B đúngD. Tất cả sai.Hiển thị lời giải+ Phương án A sai: Ví dụ khi a; b và c cùng nằm trong một mặt phẳng. Khi đó;b // c(vì cùng vuông góc với đường thẳng a).+ Phương án B sai. Ví dụ hình chóp S.ABC có SA; SB và SC đôi một vuông góc.Rõ ràng SA vuông góc SB và SC nhưng SB và SC không song song với nhau.Chọn DCâu 4: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì:A. Song song với nhauB. Vuông góc với nhau.C. Chéo nhauD. Tất cả sai.Hiển thị lời giải+ Phương án A sai: ví dụ hình chóp S.ABC có SA, SB và SC đôi một vuông góc.Có SA và SB cùng vuông góc với SC nhưng SA và SB không song song với nhau.Đồng thời ta thấy SA và SB cắt nhau tại S.⇒ A và C sai+ Phương án B sai: Ví dụ các đường thẳng a; b và c đồng phẳng. Có a và c cùngvuông góc với b. Khi đó; a // c⇒ B saiChọn DCâu 5: Chọn mệnh đề sai?A. Nếu a // b và b // c thì a //c.B. Nếu a vuông góc với b ; b vuông góc với c thì a // c.C. Cho a // b. Nếu a vuông góc với c thì b vuông góc với c.D. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích vô hướng của hai vecto chỉphương của hai đường thẳng đó bằng 0.Xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳngA. Phương pháp giảiĐể tính góc giữa hai đường thẳng d 1; d2 trong không gian ta có thể thực hiện theohai cáchCách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d 1, d2 bằng cách chọn một điểm O thíchhợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).Từ O dựng các đường thẳng d1, d2 lần lượt song song ( có thể tròng nếu Onằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳngd1, d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2.Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giácCách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1, u2 của hai đường thẳng d1, d2Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos(d1, d2) =Lưu ý 2: Để tính u1→, u2→, |u1→|, |u2→| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ khôngđồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vectơ u1→, u2→ qua các vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán.B. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặpvectơ AB→ và DH→A. 45°B. 90°C. 120°D.60°Hướng dẫn giải:Vì DH→ = AE→ ( ADHE là hình vuông) nên (AB→, DH→) = (AB→, AE→) =∠BAE = 90° (ABFE là hình vuông).Chọn BVí dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặpvectơ AB→ và EG→?A. 90°B. 60°C. 45°D. 120°Hướng dẫn giảiVì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên:(do ABCD là hình vuông)Chọn C.Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là:A. 45°B. 90°C. 60°D. 120°Hướng dẫn giảiGọi a là độ dài cạnh hình lập phươngKhi đó, tam giác AB’C đều (AB' = B'C = CA = a√2) do đó ∠B'CA= 60° .Lại có, DA’ song song CB’ nên(AC, DA') = (AC, CB') = ∠ACB'= 60°.Chọn CVí dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều cóba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?Hướng dẫn giảiTa có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA'C' nhọn (do tam giácA’DC’ là tam giác nhọn) nên :(AC, A'D) = (A'C', A'D) = ∠DA'C'Chọn BVí dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chọn khẳng định sai?A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90°B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60°C. Góc giữa AD và B’C bằng 45°D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°.Hướng dẫn giảiTa có (AA', B'D') = (BB', B'D') = ∠BB'C = 90°.Khẳng định B sai. Chọn B.Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi I ; J ; E ; F lần lượt là trung điểmcủa AC ; BC ; BD ; AD. Góc (IE; JF) bằngA. 30°B. 45°C. 60°D. 90°Hướng dẫn giảiTa có IF là đường trung bình của tam giác ACDLại có JE là đường trung bình của tam giác BCDTừ (1) và (2) suy ra:Do đó IJEF là hình thoiSuy ra (IE; JF) = 90°.Chọn DVí dụ 7: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = (a√3)/2 (I; J lần lượt là trungđiểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD làA. 30°B. 45°C. 60°Hướng dẫn giảiChọn CGọi M; N lần lượt là trung điểm AC; BC.Ta có:D. 90°Gọi O là giao điểm của MN và IJ.Ta có: ∠MIN = 2∠MIO .Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của ABvà CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?A. 120°Hướng dẫn giảiB. 90°C. 60°D.45°Chọn B+ Xét tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đềuTương tự tam giác ABD đều.⇒ BC = BD (= AB)+ Xét tam giác ACD và tam giác BCD có :BC = AC.AD = BDCD chung⇒ Δ BCD = Δ ACD( c.c.c) ⇒ BJ = AJ⇒ Tam giác AJB là tam giác cân tại J. Lại có, JI là đường trung tuyến nên đồngthời là đường cao.⇒ IJ ⊥ AB.⇒ góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ là 90°C. Bài tập vận dụngCâu 1: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:A. 60°Hiển thị lời giảiB. 30°C. 90°D. 45°+ Gọi M là trung điểm của CD+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều (vì ABCD là tứ diện đều) cóAM; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.Chọn CCâu 2: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếptam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?A. 0°B. 30°Hiển thị lời giảiC. 90°D. 60°Gọi M là trung điểm của CDVì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ACD và BCD là tam giác đều nên:Suy ra AO→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AO và CD bằng 90°.Chọn CCâu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữahai đường thẳng chéo nhau SC và ABA. 30°Hiển thị lời giảiB. 45°C. 60°D. 90°Xét:Vậy SC và AB vuông góc với nhau.Chọn DCâu 4: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượtlà trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ; CD)bằng:A . 90°Hiển thị lời giảiB. 45°C. 30°D. 60°Chọn DGọi O là tâm của hình thoi ABCD.+ Ta có: OJ là đường trung bình của tam giác BCD nênOJ // CD⇒ (IJ; CD) = (IJ, JO)+ Xét tam giác IOJ có⇒ tam giác IOJ đều.Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJbằng góc ∠IJO = 60°Chọn D.Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằnga. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và SCA. 30°Hiển thị lời giảiB. 45°C. 60°D.90°Theo giả thiết, ta có: AB = BC = CD = DA = a nên ABCD là hình thoi cạnh a.Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có ΔCBD = ΔSBD (c-c-c) .Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO bằng nhau.Xét tam giác SAC, ta có SO = CO = (1/2)AC .Do đó tam giác SAC vuông tại S (tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnhđáy). Vậy SA ⊥ SCChọn D.Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos( AB;DM) bằngHiển thị lời giảiChọn AKhông mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD ⇒ AH ⊥ (BCD)Gọi E là trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)Ta có:Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài cáccạnh của tam giác MED : ME = a, ED = MD = (√3/2)aXét tam giác MED, ta có:Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và cáccạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo củagóc (MN; SC) bằngA. 30°B. 45°C. 60°D.90°Hiển thị lời giảiChọn DGọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hìnhvuông ABCD (1)Ta có: SA = SB = SC = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hìnhvuông ABCD (2)Từ (1) và (2) ⇒ SO ⊥ (ABCD)Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của tam giác SAD).⇒ (MN; SC) = (SA; SC).Xét tam giác SAC, ta có:⇒ ΔSAC vuông tại S ⇒ SA ⊥ SC⇒ (SA, SC) = (MN, SC) = 90°Câu 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD= 90°. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Hãy xác định góc giữa cặpvectơ IJ→ và CD→ ?A. 45°B. 90°C. 60°D. 120°Hiển thị lời giảiChọn BTa có BAC và BAD là 2 tam giác đều, I là trung điểm của AB nên CI = DI(2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh AB)⇒ Tam giác CID là tam giác cân ở I.Mà IJ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao nên IJ ⊥ CDTính tích vô hướng của hai vectơTính tích vô hướng của hai vectơA. Phương pháp giảiTrong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→ . Tích vô hướng của haivectơ u→ và v→ là một số, kí hiệu là u→. v→, được xác định bởi công thức:Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→. v→ = 0→B. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos(AB;DM) bằng :