SGK Hình Học 11 - Bài 2. Hai đường Thẳng Vuông Góc

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 11› Giải Bài Tập Toán 11› Sách Giáo Khoa - Hình Học 11› Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc SGK Hình Học 11 - Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc

• 
• 
• 
• 
• 
• 

§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN GÓC giữa hai vectơ trong không gian I Định nghĩa Hình 3.11 I Trong không gian, cho U và Ị| V là hai vectơ khác vectơ - I không. Lấy một điểm A hất ịịj kì, gọi B vàC là hai điểm I sao cho AB = U, AC = v. Khi đó ta gọi góc BAC I (0° </MC<18()°) là góc giữa hai vectơ ũ và V ■ trong không gian, kí hiệu là Ị (7,7) (h.3.11). các cặp • không, hiêu là Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa vectơ sau đây: a) ÃB và BC ; b) CH và AC. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian I Định nghĩa I Trong không gian cho hai vectơ ĩỉ và V đều khác vectơ ■ I Tích vô hướng của hai vectơ U và V là một số, kí ( 7. V, được xác định bởi công thức : U.V = |7|.|v|.cos(7,v) Trường hợp 7=0 hoặc V = 0 ta quy ước 7.V = 0. Ví dụ 1. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, oc đôi một vuông góc và OA = OB = oc = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và BC. giải. Mặt khác OM.BC = ị í OA + ƠB j .(ơc - OB ) 2' ' Hình 3.12 = ị-(OA.OC-OA.OB + OB.OC-OB?) 2 Vì OA, OB, oc đôi một vuông góc và OB = 1 nên OA.OC = ÕẦ.ÕB = 0BDC = 0 và ÕỈ = 1. Dođócos(ỠÃ/,BC) = -j- Vậy (0M,BC) - 120°. ^2 Cho hình lập phương ABCD.AB'C'D'. Hãy phân tích các vectơ AC' và BD theo ba vectơ AB, AD, AÁ. Tính COS (AC', BD) và từ đó suy ra AC' và BD vuông góc với nhau. II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THANG Định nghĩa I Vectơ ã khác vectơ - không được I gọi là vectơ chỉ phương của đường I thẳng d nếu giá của vectơ d song I song hoặc trùng với đường thẳng d I (h.3.13). Nhận xét a) Nếu d là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ kd với k * 0 cũng là vectơ chỉ phương của d. Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương d của nó. Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THANG TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian cho hai đường thẳng a, b bất kì. Từ một điểm o nào đó ta vẽ hai đường thẳng a' và b' lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm o thay đổi thì góc giữa a' và b' không thay đổi. Do đó ta có định nghĩa : Định nghĩa I Góc 'giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa I hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với avàb (h.3.14). b Nhận xét Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm o thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua o và song song với đường thẳng còn lại. Nếu M là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và V là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và (ĩ7,v) = a thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng a nêu 0° < a < 90° và bằng 180° - a nếu 90° < a < 180°. Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°. ^3 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây: a)Afívà£'C'; b)ÂCvà£'C'; c)Â'C'và£'C. Ta có COS (SC,A5) = SC.AB giải (h.3.15). Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA= SB = sc = AB = AC = a và BC = a y/ĩ . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và sc. (SA + AQ.AB a.a COS (JSC,AB) ■■ SẤÃB + ~ÃCÃB va uo uo vi./tD = = = Dođó(SC,ÃS)= 120°. a 2 Vì CB~ = (ajĩ)2 = ứ2 + a2 = AC2 + AB1 nên AC.AB = 0. Tam giác SAB _ . _ ( 2 đều nên (SA, AB) = 120° và do đó SA.AB-a. a. COS 120° = ■ Vậy: cos {SC, AB) ■■ Ta suy ra góc giữa hai đường thẳng sc và AB bằng 180° -120° = 60°. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Định nghĩa I /7ứ/ đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc I giữa chúng hằng 90°. Người ta kí hiệu hai đường thẳng ứ và ỏ vuông góc với nhau là a ± b. Nhận xét Nếu ũ và V lần lượt là các vectợ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: a ± b M.V = 0. Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB 1 AC và AB 1 BD. Gọi p và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Hình 3.16 giải Ta có PQ = PA + AC + CQ và PQ = PB + BD + DQ (h.3.16). Do d02PQ = AC + BD. Vậy 2 PQ.AB = (ÃC + BD).AB = AC.AB + BD.AB = O hay PQ.AB = 0 tức là PQ ± AB. ^4 Cho hình lập phương ABCDABCD'. Hãy nêu tên các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với: a) đường thẳng AB; b) đường thẳng AC. Á5 Tìm những hình ảnh trong thực tế minh hoạ cho sự vuông góc của hai đường thẳng trong không gian (trường hợp cắt nhau và trường hợp chéo nhau). BÀI TẬP Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây : a) ~ÃB và ẼG ; b) ~ÃF và EG ; c) Ãẽ và DH. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB.CD + AC.DB + AD.BC - 0. Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB ± CD và AC ± DB thì AD 1 BC. a) Trong không gian, nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không ? b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuôrig góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không ? Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, p, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC, C'A. Chứng minh rằng : à)AB 1 cơ; b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. - . Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB - sc và có ASB - BSC = CSA. Chứng minh rằng SA ± BC, SB ± AC, sc ± AB. Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABCD' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm 0 và O'. Chứng minh rằng AB ± ơơ' và tứ giác CDD'C là hình chữ nhật. Cho s là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng : S=^AB AC -(AB.AC). Cho tứ diện ABCD có AB = AC - AD và BAC = BAD = 60°. Chứng minh rằng : AB 1 CD; Nếu M, N lần lựợt là trung điểm của AB và CD thì MN ± AB và MN ± CD.

Các bài học tiếp theo

• Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
• Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc - Bạn có biết? Kim tự tháp Kê - ốp
• Bài 5. Khoảng cách
• Câu hỏi ôn tập chương III
• Bài tập ôn tập chương III
• Câu hỏi trắc nghiệm chương III
• Bài tập ôn tập cuối năm
• Hướng dẫn giải và đáp số

Các bài học trước

• Bài 1. Vectơ trong không gian
• Bạn có biết: Ta - l ét, người đầu tiên phát hiện tra nhật thực + Bài đọc thêm
• Câu hỏi trắc nghiệm chương II
• Bài tập ôn tập chương II
• Câu hỏi ôn tập chương II
• Bài đọc thêm: Cách biểu diễn ngũ giác đều
• Bài 5. Phép chiếu song song - Hình biểu diễn của một hình không gian
• Bài 4. Hai mặt phẳng song song
• Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
• Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 11(Đang xem)
• Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số
• Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
• Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích
• Giải Toán 11 Hình Học
• Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
• Giải bài tập Hình học 11

Sách Giáo Khoa - Hình Học 11

• Chương I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
• Bài 1. Phép biến hình
• Bài 2. Phép định tiến
• Bài 3. Phép đối xứng trục
• Bài 4. Phép đối xứng tâm
• Bài 5. Phép quay
• Bài 6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
• Bài 7. Phép vị tự
• Bài 8. Phép đồng dạng
• Câu hỏi ôn tập chương I
• Bài tập ôn tập chương I
• Câu hỏi trắc nghiệm chương I
• Bài đọc thêm: Áp dụng phép biến hình để giải Toán
• Bài đọc thêm: Giới thiệu về hình học Frac - fan
• Chương II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN, QUAN HỆ SONG SONG
• Bài 1. Đại cương về dường thẳng và mặt phẳng
• Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
• Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
• Bài 4. Hai mặt phẳng song song
• Bài 5. Phép chiếu song song - Hình biểu diễn của một hình không gian
• Bài đọc thêm: Cách biểu diễn ngũ giác đều
• Câu hỏi ôn tập chương II
• Bài tập ôn tập chương II
• Câu hỏi trắc nghiệm chương II
• Bạn có biết: Ta - l ét, người đầu tiên phát hiện tra nhật thực + Bài đọc thêm
• Chương III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN, QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
• Bài 1. Vectơ trong không gian
• Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc(Đang xem)
• Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
• Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc - Bạn có biết? Kim tự tháp Kê - ốp
• Bài 5. Khoảng cách
• Câu hỏi ôn tập chương III
• Bài tập ôn tập chương III
• Câu hỏi trắc nghiệm chương III
• Bài tập ôn tập cuối năm
• Hướng dẫn giải và đáp số