Chuyên đề Hàm Số Liên Tục: Lý Thuyết Và Bài Tập Nâng Cao

Trang chủ » Hàm Số Liên Tục Trên Một Khoảng Nâng Cao » Chuyên đề Hàm Số Liên Tục: Lý Thuyết Và Bài Tập Nâng Cao

Có thể bạn quan tâm

Xét tính liên tục của hàm số

Chào các bạn, trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá chuyên đề Hàm số liên tục – một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11. Bài viết không chỉ trình bày đầy đủ lý thuyết về hàm số liên tục mà còn cung cấp các bài tập nâng cao giúp các bạn hiểu sâu và ứng dụng hiệu quả vào việc giải quyết các bài toán. Các bạn sẽ được làm quen với các định lý và tính chất cơ bản của hàm số liên tục, từ đó áp dụng vào các tình huống phức tạp. 

Chuyên đề Hàm số liên tục: Lý thuyết và bài tập nâng cao được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết sẽ cho bạn đọc hiểu về lý thuyết đi kèm với đó là bài tập về hàm số liên tục có hướng dẫn giải chi tiết. Hãy cùng theo dõi để nâng cao khả năng giải bài tập và chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp tới!

A. Hàm số liên tục tại một điểm

1. Hàm số liên tục tại một điểm: \ y = f(x) liên tục tại x_{0} \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow x_{0}}\mspace{2mu} f(x) = f\left( x_{0} \right)

Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} ta thực hiện các bước:

Bước 1: Tính f\left( x_{0} \right).

Bước 2: Tính \lim_{x \rightarrow x_{0}}\mspace{2mu} f(x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\mspace{2mu} f(x),\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\mspace{2mu} f(x) )

Bước 3: So sánh \lim_{x \rightarrow x_{0}}\mspace{2mu} f(x) với f\left( x_{0} \right) và rút ra kết luận.

Bước 4: Kết luận.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

3. Hàm số liên tục trên một đoạn \mathbf{\lbrack a;b\rbrack} 

\mathbf{y} =f(x) liên tục trên (a;b) và \lim_{x \rightarrow a^{+}}\mspace{2mu} f(x) = f(a),\lim_{x \rightarrow b^{-}}\mspace{2mu} f(x) = f(b)

4. Hàm số đa thức liên tục trên R

Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

5. Giả sử y = f(x),y = g(x) liên tục tại điểm x_{0}. Khi đó:

Các hàm số y = f(x) + g(x),y = f(x) - g(x),y = f(x) \cdot g(x) liên tục tại x_{0}.

Hàm số y = \frac{f(x)}{g(x)} liên tục tại x_{0} nếu g\left( x_{0} \right) \neq 0.

Nếu y = f(x) liên tục trên \lbrack a;b\rbrack và f(a). f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c \in (a;b):f(c) = 0.

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên \lbrack a;b\rbrack và f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c \in (a;b).

Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên \lbrack a;b\rbrack. Đặt m = \min_{\lbrack a;b\rbrack}\mspace{2mu} f(x),M = \max_{\lbrack a;b\rbrack}\mspace{2mu} f(x). Khi đó với mọi T \in (m;M) luôn tồn tại it nhất một số c \in (a;b) : f(c) = T.

B. Các dạng toán Hàm số liên tục tại một điểm

Dạng 1: f(x) = \left\{ \begin{matrix} h(x,m)\text{~khi~}x \neq x_{0} \\ g(x,m)\text{~khi~}x = x_{0} \\ \end{matrix} \right. tai x = x_{0}

Phương pháp:

  • Bước 1: Tính f\left( x_{0} \right).
  • Bước 2: Tính \lim_{x \rightarrow x_{0}}\mspace{2mu} f(x).
  • Bước 3: So sánh \lim_{v \rightarrow v}\mspace{2mu} f(x) với f\left( x_{0} \right) và rút ra kết luận.

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2} & \text{~khi~}x \neq 1 \\ - 3 & \text{~khi~}x = 1 \\ \end{matrix} \right. tại x = 1.

Hướng dẫn giải

f(1) = - 3

\lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu}\frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2} = \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu}\frac{(x - 1)(5x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu}\frac{5x - 2}{x - 2} = - 3

Do: \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu} f(x) = f(1) = - 3 nên hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1

Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1Vi dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2} & \text{~khi~}x \neq 1 \\ - 1 & \text{~khi~}x = 1 \\ \end{matrix} \right. tại x = 1.

Hướng dẫn giải

Ta có:

f(1) = - 1

\lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu}\frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2}

= \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu}\frac{(x - 1)(5x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu}\frac{5x - 2}{x - 2} = - 3

Do: \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu} f(x) \neq f(1) nên hàm số f(x) gián đoạn tại x_{0} = 1

Vậy: Hàm số f(x) gián đoạn tại x_{0} = 1Ví dụ 3: Tìm \mathbf{m} để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2} & \text{~khi~}x \neq 1 \\ - 3mx - 1 & \text{~khi~}x = 1 \\ \end{matrix} \right. tại x = 1.

Hướng dẫn giải

Ta có: f(1) = - 3m \cdot 1 - 1

\lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu}\frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2} = \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu}\frac{(x - 1)(5x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu}\frac{5x - 2}{x - 2} = - 3

Để hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1 \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu} f(x) = f(1) \Leftrightarrow - 3m - 1 = - 3 \Leftrightarrow m = - \frac{2}{3}

Vậy: Giá trị m cần tìm là m = - 3

Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số y=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{x+\sqrt{x+2}}{x+1} \\ 2x+3 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ge -1 \\ x<-1 \\ \end{matrix} \right. tại x = -1

Hướng dẫn giải

Ta có: f(-1)=1

\begin{align} & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+2}{(x+1)(x-\sqrt{x+2})}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{3}{2} \\ & \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2x+3)=1 \\ & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x) \\ \end{align}

Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1.

Dạng 2: f(x) = \left\{ \begin{matrix} h(x,m)\text{~khi~}x \geq x_{0} \\ g(x,m)\text{~khi~}x < x_{0} \\ \end{matrix} \right. tại x = x_{0} hoặc f(x) = \left\{ \begin{matrix} h(x,m)\text{~khi~}x > x_{0} \\ g(x,m)\text{~khi~}x \leq x_{0} \\ \end{matrix} \right. tại x = x_{0}

Phương pháp:

  • Bước 1: Tính f\left( x_{0} \right).
  • Bước 2: Tính \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\mspace{2mu} f(x),\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\mspace{2mu} f(x).
  • Bước 3: So sánh \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\mspace{2mu} f(x),\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\mspace{2mu} f(x) với f\left( x_{0} \right) và rút ra kết luận.
  • Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2} & \text{~khi~}x > 1 \\ 1 & \text{~khi~}x \leq 1 \\ \end{matrix} \right. tại x = 1

Hướng dẫn giải

Ta có: f(1) = 1

\lim_{x \rightarrow 1^{+}}\mspace{2mu} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\mspace{2mu}\frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} + x - 2} = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\mspace{2mu}\frac{(x - 1)(5x - 2)}{(x - 1)(x + 2)} = \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu}\frac{5x - 2}{x + 2} = 1

\lim_{x \rightarrow 1^{-}}\mspace{2mu} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\mspace{2mu} 1 = 1

Do: \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\mspace{2mu} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\mspace{2mu} f(x) = f(1) = - 3 nên hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1

Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} + x - 2} & \text{~khi~}x > 1 \\ - 1 & \text{~khi~}x \leq 1 \\ \end{matrix} \right. tại x = 1.

Hướng dẫn giải

Ta có: f(1) = - 1

\lim_{x \rightarrow 1^{+}}\mspace{2mu} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\mspace{2mu}\frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} + x - 2}

\lim_{x \rightarrow 1^{-}}\mspace{2mu} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\mspace{2mu}\frac{(x - 1)(5x - 2)}{(x - 1)(x + 2)} = \lim_{x \rightarrow 1}\mspace{2mu}\frac{5x - 2}{x + 2} = 1

Do: \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\mspace{2mu} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\mspace{2mu} f(x) = f(1) = - 3 nên hàm số f(x) gián đoạn tại x_{0} = 1

Vậy: Hàm số f(x) gián đoạn tại x_{0} = 1.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

----------------------------------------------------------

Chúng ta đã cùng tìm hiểu về lý thuyết và các bài tập nâng cao liên quan đến Hàm số liên tục. Việc nắm vững các khái niệm cơ bản và các bài toán nâng cao sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán khó, đặc biệt là trong các kỳ thi quan trọng. Hãy ôn tập thường xuyên và vận dụng lý thuyết vào các tình huống thực tế để đạt kết quả cao nhất. Chúc các bạn học tốt và luôn thành công trong việc chinh phục môn Toán!

Từ khóa » Hàm Số Liên Tục Trên Một Khoảng Nâng Cao