Chuyên đề Hàm Trùng Phương Có 3 Cực Trị: Lý Thuyết Và Bài Tập

Hàm trùng phương là gì?

Hàm số trùng phương là hàm số bậc 4 có dạng

\(y=f(x) = ax^4+bx^2+c\)

Như vậy có thể coi đây là một hàm số bậc 2 với ẩn là \(x^2\)

Khảo sát hàm trùng phương

Các bước khảo sát hàm số trùng phương \(y=f(x) = ax^4+bx^2+c\)

• Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)
• Xét chiều biến thiên

Đạo hàm \(y’= 4ax^3+2bx\)

\(y’=0 \Leftrightarrow 2x(2ax^2+b)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt{-\frac{b}{2a}}\end{array}\right.\)

• Tìm cực trị:

Hàm số có \(1\) điểm cực trị tại \(x=0 \Leftrightarrow ab \geq 0\)

Hàm số có \(3\) điểm cực trị tại \(x=0;x=\pm \sqrt{-\frac{b}{2a}}\Leftrightarrow ab <0\)

• Tìm các giới hạn vô cực:

\(\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)= \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty \Leftrightarrow a>0\)

\(\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)= \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty \Leftrightarrow a<0\)

• Lập bảng biến thiên:

Gồm có \(3\) dòng \(x;y′;y\)

• Đồ thị hàm trùng phương

Ví dụ:

Khảo sát hàm số \(y= x^4-4x^2 +5\)

Cách giải:

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)

Giới hạn vô cực

\(\lim_{x\rightarrow -\infty}y=+\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow +\infty}y=+\infty\)

Đạo hàm:

\(y’=4x^3-8x=4x(x^2-2)\)

\(y’=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt{2}\end{array}\right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên \((-\sqrt{2};0)\) và \((\sqrt{2};+\infty)\)

Hàm số nghịch biến trên \((-\infty;-\sqrt{2})\) và \((0;\sqrt{2})\)

Hàm số có một cực đại tại \((0;5)\) và hai điểm cực tiểu tại \((-\sqrt{2};1);(\sqrt{2};1)\)

Đồ thị hàm số:

Nghiệm của hàm trùng phương

Cho hàm số trùng phương \(y= ax^4+bx^2+c\)

• Điều kiện hàm trùng phương có 4 nghiệm

\(\left\{\begin{matrix} ab <0\\ac>0 \\b^2-4ac >0 \end{matrix}\right.\)

• Điều kiện hàm trùng phương có 2 nghiệm

\(\left\{\begin{matrix} ac<0 \\b^2-4ac \geq 0 \end{matrix}\right.\)

• Điều kiện hàm trùng phương vô nghiệm

\(\left[\begin{array}{l}b^2-4ac <0 \\ \left\{\begin{matrix} b^2-4ac \geq 0 \\ ab >0 \\ ac >0 \end{matrix}\right.\end{array}\right.\)

Ví dụ:

Tìm số nghiệm của từng hàm số sau đây

a, \(y= x^4-5x^2+4\)

b, \(y= x^4 -x^2 -6\)

c, \(x^4 +3x^2 + 2\)

Cách giải:

a, Ta có

\(\left\{\begin{matrix} a=1\\b=-5 \\ c=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab <0 \\ac >0 \\b^2-4ac = 9 >0 \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) phương trình có \(4\) nghiệm

b, Ta có

\(\left\{\begin{matrix} a=1\\b=-1 \\ c=-6 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ac <0 \\b^2-4ac = 25 >0 \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm

c, Ta có

\(\left\{\begin{matrix} a=1\\b=3 \\ c=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab>0 \\ ac >0 \\b^2-4ac = 1 >0 \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm

Cực trị của hàm trùng phương

Hàm trùng phương có 3 cực trị khi nào?

Điều kiện hàm trùng phương có 3 cực trị:

Hàm số \(y= ax^4+bx^2+c\) có 3 cực trị \(\Leftrightarrow ab <0\)

Khi đó:

Hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a>0\\ b<0 \end{matrix}\right.\)

Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a<0\\ b>0 \end{matrix}\right.\)

Hàm trùng phương có 1 cực trị khi nào?

Điều kiện hàm trùng phương có 1 cực trị:

Hàm số \(y= ax^4+bx^2+c\) có 1 cực trị \(\Leftrightarrow ab \geq 0\)

Khi đó:

Hàm số có đúng 1 cực trị là cực tiểu \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a>0\\ b\geq 0 \end{matrix}\right.\)

Hàm số có đúng 1 cực trị là cực đại \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a<0\\ b\leq 0 \end{matrix}\right.\)

Ví dụ:

Tìm \(m\) để hàm trùng phương không có cực đại

\(mx^4 +2(m^2-4)m^2+m^2+1\)

Cách giải:

Để hàm số trùng phương không có cực đại thì hàm số chỉ có đúng một cực trị là cực tiểu

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m>0 \\ m^2-4 \geq 0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>0 \\ \left[\begin{array}{l}m\geq 2\\ m \leq -2\end{array}\right. \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m \geq 2\)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và bài tập về chuyên đề hàm số trùng phương cũng như các phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề hàm trùng phương có 3 cực trị. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Cực trị của hàm số là gì?

Xem thêm >>> Công thức, Điều kiện và Bài tập cực trị của hàm số bậc 4