Xemtailieu Tải về Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn toán phần đại số trần trung chính (tt)
.:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ 16 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƢƠNG TRÌNH Cách giải: Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình: Gồm 3 bước: Bước 1: Lập phương trình. Chọn ẩn và tìm điều kiện cho ẩn (chọn ẩn là các đại lượng bài toán yêu cầu) Biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn. Lập phương trình. Bước 2: Giải phương trình. Bước 3: Nhận định kết quả. Đối chiếu với điều kiện bài toán. Nếu kết quả có chứa tham số thì phải biện luận. Các dạng toán cơ bản: Dạng 1: Dạng toán chuyển động. Dạng 2: Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học. Dạng 3: Dạng toán công việc làm chung, làm riêng. Dạng 4: Dạng toán chảy chung, chảy riêng của vòi nước. Dạng 5: Dạng toán tìm số. Dạng 6: Dạng toán sử dụng các kiến thức vật lý, hoá học. Dạng 7: Bài toán dân số, phần trăm. 1. Dạng 1: Toán chuyển động: 1.1. Kiến thức cơ bản: Bài toán chuyển động thường gặp: Chuyển động cùng chiều, ngược chiều, chuyển động trên dòng sông, ... Cách giải: Gọi s, t, v: Lần lượt là quãng đường, thời gian, vận tốc. Quãng đường: s = v.t. s Vận tốc: v = . t s Thời gian: t = . v Các dạng cơ bản: (1) Chuyển động cùng chiều: Hai xe chuyển động cùng chiều trên cùng một quãng đường, đến khi gặp nhau: Quãng đường xe 1 đi = Quãng đường xe 2 đi. Nếu hai xe cùng xuất phát, mà ô tô 1 đến trước ô tô 2 là t giờ: Thời gian xe 2 đi - Thời gian xe 1 đi = t (2) Chuyển động ngược chiều: Hai xe chuyển động ngược chiều trên cùng một quãng đường đến chỗ gặp nhau: Quãng đường xe 1 đi + Quãng đường xe 2 đi = s (3) Chuyển động trên dòng nước: vxuôi dòng = vriêng + vnước vngược dòng = vriêng - vnước (4) Chuyển động trên cùng một đường tròn: Hai vật xuất phát từ một điểm sau thời gian t thì gặp nhau: Chuyển động cùng chiều: Độ dài s của đường tròn: s = t(v1 - v2), (với v1, v2 là vận tốc của hai vật, v1 > v2) Chuyển động ngược chiều: Độ dài s của đường tròn: s = t(v1 + v2), (với v1, v2 là vận tốc của hai vật) 1.2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Từ hai điểm A và B cách nhau 24 km. Hai ôtô xuất phát từ A và B cùng một lúc và sau đó gặp nhau. Sau 16 phút khởi hành thì ôtô thứ nhất gặp ôtô chạy ngược chiều. Nhưng sau 4 phút, ôtô thứ hai chạy từ B gặp ô tô thứ nhất. Xác định vận tốc của xe xuất phát từ A. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 174 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Giải Gọi khoảng cách đi từ A đến chỗ gặp nhau là: x(m) ( 0 < x < 24). Khoảng cách từ B đến chỗ gặp nhau là: 24 - x (m). 15x 4 Vận tốc của xe đi từ A là (vì 16 phút = giờ) 4 15 1 Vận tốc của xe đi từ B là 15.(24 - x) (vì 4 phút = giờ) 15 Thời gian hai xe gặp nhau là 24 x 4 x và 15(24 - x) 15x Ta có phương trình: 24 x 4 x = 15(24 x) 15x (x - 16)(x - 48) = 0 x 16 x 48 lo¹i Vậy vận tốc xe đi từ A là 60km/h. Bài tập 2: Hai máy bay bay cùng một lúc bay đến một điểm cách đó 1600km. Vận tốc của một trong hai máy bay nhỏ hơn máy bay kia là 80km cho nên đén địa điểm muộn hơn 1 giờ. Tìm vận tốc của máy bay bay nhanh. Giải Gọi x(km/h) là vận tốc của máy bay bay nhanh hơn, (x > 80). Theo bài ra ta có: 1600 1600 1 x 80 x x2 - 80x - 128000 = 0 x 400 x 320 lo¹i Suy ra vận tốc máy bay bay nhanh hơn là 400km/h. 2 3 vận tốc Ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi Ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu. Giải Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là x (h), (điều kiện: x > 0); AB Ta có vận tốc Ô tô đi từ A đến B là : (km/h); x 2 AB Vận tốc Ô tô đi từ B về A là: (km/h); 3 x AB Sau 5 giờ Ô tô đi từ A đến B đi được quãng đường là 5. (km); x 2 AB Sau 5 giờ Ô tô đi từ B đến A đi được quãng đường là 5. . (km); 3 x Vì sau 5 giờ chúng gặp nhau do đó ta có phương trình: 2 AB AB 5. + 5. . = AB x 3 x 25 Giải phương trình ta được: x = . 3 25 25 Vậy thời gian Ô tô đi từ A đến B là , thời gian Ô tô đi từ B đến A là . 3 2 Bài tập 3: Một Ô tô đi từ A đến B cùng một lúc, Ô tô thứ hai đi từ B về A với vận tốc bằng Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 175 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Bài tập 4: Một Ô tô du lịch đi từ A đến C. Cùng lúc từ địa điểm B nằm trên đoạn AC có một Ô tô vận tải cùng đi đến C. Sau 5 giờ hai Ô tô gặp nhau tại C. Hỏi Ô tô du lịch đi từ A đến B mất 3 bao lâu, biết rằng vận tốc của Ô tô tải bằng vận tốc của Ô tô du lịch. 5 Giải Gọi thời gian ô tô du lịch đi từ A đến B là x (h), (Điều kiện: 0 < x < 5). Ta có thời gian ô tô du lịch đi từ B đến C là (5 – x) (h). BC Vận tốc xe ô tô du lịch là: (km/h). 5- x BC Ta có vận tốc xe tải là: (km/ h). 5 3 Vì vận tốc của Ô tô tải bằng vận tốc của Ô tô du lịch, nên ta có phương trình: 5 3 BC BC = . 5 5 5- x Giải phương trình ta được: x = 2. Vậy Ô tô du lịch đi từ A đến B mất 2 giờ. Bài tập 5: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km để đi từ thành phố A đến thành phố B Ca nô đi hết 3 giờ 20 phút Ô tô đi hết 2 giờ.Vận tốc Ca nô kém vận tốc Ô tô 17 km /h. Tính vận tốc của Ca nô. Giải Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h). (Điều kiện: x > 0). Ta có vận tốc của Ô tô là x + 17 (km/h). 10 Ta có chiều dài quãng đường sông AB là: x (km); 3 chiều dài quãng đường bộ AB là: 2( x + 17 ) (km). Vì đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km do đó ta có phương trình: 10 2( x + 17 ) x =10 3 Giải phương trình trên, ta được x = 18 (km/h). Vậy vận tốc của Ca nô là: 18 km/h. Bài tập 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vân tốc xe đạp. Giải Gọi vận tốc của người đi xe đạp là x (km/h), (Điều kiện: x > 0). Ta có vận tốc của người đi xe máy là 2,5x (km/h). 50 (h); Thời gian người đi xe đạp đi từ A đến B là x 50 Thời gian người đi xe máy đi từ A đến B là (h). 2,5x Vì người đi xe máy đi sau 1 giờ 30 phút và đến B sớm hơn 1 giờ so với người đi xe đạp do đó ta có phương trình: 50 50 = 2,5 2,5x x Giải phương trình trên, ta được x = 12 (km/h). Vậy vận tốc của người đi xe đạp là 12 km/h, vận tốc của người đi xe máy là 30 km/h. Bài tập 7: Một người đi xe máy từ A đến B với vân tốc trung bình 30 km/h. Khi đến B người đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25 km/h. Tính quãng đường AB, biết thời gian cả đi và về là 5 giờ 50 phút. Giải Gọi chiều dài của quãng đường AB là x (km), (Điều kiện: x > 0). Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 176 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. x (h); 30 x Thời gian người đi xe máy đi từ B đến A là (h) 25 Vì người đi xe máy nghỉ tại B 20 phút và tổng thời gian cả đi và về là là 5 giờ 50 phút do đó ta có phương trình: 1 5 x x + + =5 25 3 30 6 Giải phương trình trên, ta được: x = 75 (km/h). Vậy độ dài quãng đường AB là 75 km/h. Bài tập 8: Một Ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/ h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì được nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vân tốc 10 km/h trên quãng đường còn lại, do đó Ô tô đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. Giải Gọi chiều dài của quãng đường AB là x (km), (Điều kiện: x > 0). (Ta chỉ xét quãng đường BC khi vận tốc thay đổi) x + 60 2 Ta có thời gian dự định đi hết quãng đường BC là (h) 40 x + 60 Thời gian Ô tô thực đi trên quãng đường BC sau khi tăng vận tốc thêm 10 km/h là: 2 50 Vì sau khi người lái xe tăng thêm vân tốc 10 km/h trên quãng đường còn lại, do đó Ô tô đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định do đó ta có phương trình: x x + 60 + 60 2 2 =1 40 50 Giải phương trình trên, ta được: x = 280 km. Vậy quãng đường AB dài 280 km. Bài tập 9: Một Ô tô dự định đi từ A đến B trong thời gian nhất định nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu. Giải Gọi chiều dài của quãng đường AB là x (km), (Điều kiện: x > 0). x x Thời gian xe chạy với vận tốc 35 km/h là (h); Thời gian xe chạy với vận tốc 50 km/h là 35 50 (h). Theo bài ra ta có phương trình: x x -2= +1 35 50 Giải phương trình trên, ta được x = 350 km. 350 Vậy thời gian dự định là - 2 = 8 (giờ), quãng đường AB là 350 km. 35 Bài tập 10: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 km/h. Giải Gọi vận tốc của của thuyền là x (km/h), (Điều kiện: x > 0). Ta có vận tốc của ca nô là x + 12 (km/h). 20 Thời gian thuyền đi hết quãng đường 20 km là: ( h). x Thời gian người đi xe máy đi từ A đến B là Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 177 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com 20 ( h). x +12 Vì sau 5 giờ 20 phút một Ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km, do đó ta có phương trình: 16 20 20 = x x +12 3 2 Giải phương trình: x + 12x – 45 = 0. Ta được x = 3 (km/h). Vậy vận tốc của Ca nô là 15 km/h. Bài tập 11: Quãng đường AB dài 270 km. Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn Ô tô thứ hai 12 km/h, nên đến trước Ô tô thứ hai 40 phút. Tính vận tốc của mỗi Ô tô. Giải Gọi vận tốc của Ô tô thứ nhất là x (km/h), (Điều kiện: x > 12) Ta có vận tốc của Ô tô thứ hai là x - 12 (km/h). 270 Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là: ( h). x 270 ( h). Thời gian Ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là: x -12 Vì hai Ô tô cùng xuất phát và Ô tô thứ nhất đến B trước Ô tô thứ hai là 40 P nên ta có phương trình: 270 270 2 = x -12 x 3 Giải phương trình trên, ta được x = 6+12 34 . Thời gian Ca nô đi hết quãng đường 20 km là: Vậy vận tốc của Ô tô thứ nhất 6+12 34 km/h, Ô tô thứ hai là 12 34 - 6 km/h. Bài tập 12: Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h. Giải Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi nước yên lặng là x (km/h), (Điều kiện: x > 4). Vận tốc tàu thuỷ khi đi xuôi dòng: x + 4 (km/h). Vận tốc tàu thuỷ khi đi ngược dòng: x - 4 (km/h). 80 80 Thời gian tàu thuỷ đi xuôi dòng là: (h), Thời gian Tàu thuỷ đi ngược dòng là: (h). x+4 x-4 Vì tổng thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng là 8 giờ 20 phút do đo ta có phương trình: 80 80 25 + = x+4 x-4 3 Giải phương trình trên, ta được: x = 20 (km/h). Vậy vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là: 20 km/h. Bài tập 13: Hai Ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến sông A đến bến sông B Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, Ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đường đi Ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ. Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai Ca nô đến B cùng một lúc. Giải Gọi chiều dài quãng sông A B là x (km), (Điều kiện: x > 0). x Ta có thời gian Canô I chạy từ A đến B là: (h), 20 x Ta có thời gian Canô II chạy từ A đến B là: (h). 24 Trên đường đi Ca nô II dừng lại 40 phút và cùng đến B do đó ta có phương trình: 2 x x = 20 24 3 Giải phương trình trên, ta được x = 80 km. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 178 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Vậy quãng đường AB là 80km. Bài tập 14: Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B dài 240 km. Mỗi giờ Ô tô thứ nhất chạy chanh hơn Ô tô thứ hai 12 km/h nên đến địa điểm B trước Ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận tốc của mỗi Ô tô. Giải Gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là x (km/h), (Điều kiện: x > 0). Ta có vận tốc của Ô tô thứ nhất là x + 12 km/h. 240 Thời gian Ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là: (h). x 240 Thời gian Ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là: (h). x +12 Vì Ô tô thứ nhất đến địa điểm B trước Ô tô thứ hai là 100 phút do đó ta có phương trình: 5 240 240 = x +12 x 3 Giải phương trình trên, ta được x= 36 km/h. Vậy vận tốc của Ô tô thứ nhất 48 km/h, Ô tô thứ hai là 36 km/h. Bài tập 15: Một Ca nô xuôi dòng 42 km rồi ngước dòng trở lại 20 km hết tổng cộng 5 giờ. Biết vận tốc của dòng chảy là 2 km/h. Tính vận tốc của Ca nô lúc dòng nước yên lặng. Giải Gọi vận tốc của Ca nô khi nước yên lặng là x (km/h), (Điều kiện: x > 2). Vận tốc Ca nô khi đi xuôi dòng: x + 2 (km/h). Vận tốc Ca nô khi đi xuôi dòng: x - 2 (km/h). 42 Thời gian Ca nô đi xuôi dòng là: (h). x+2 20 Thời gian Ca nô đi ngược dòng là: (h). x-2 Vì tổng thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng là 5 giờ do đó ta có phương trình: 42 20 + = 5. x+2 x-2 Giải phương trình: 5x2 - 62x + 24 = 0. Ta được: x = 12 (km/h). Vậy vận tốc Ca nô khi nước yên lặng là: 12 km/h. 1.3. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Một ôtô và xe máy xuất phát cùng một lúc, đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 180 km . Vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h , nên ôtô đã đến B trước xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.. Bài tập 2: Hai người đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 75 km . Người thứ nhất mỗi giờ đi nhanh hơn người thứ hai 5 km/h nên đến B sớm hơn người thứ hai 10 phút. Tính vận tốc của mỗi người. Bài tập 3: Khoảng cách giữa 2 thành phố A và B là 180 km. một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi dến lúc trở về A là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô. Bài tập 4: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến b trước ô tô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Bài tập 5: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô tô khởi hành từ B đến A với vận tốc hơn xe đạp 18 km/h. Sau khi 2 xe gặp nhau, xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tính vận tốc mỗi xe? Bài tập 6: Một ô tô đi trên quãng đường dài 520 km. Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/hvà đi hết quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô, biết thời gian đi hết quãng đường là 8 giờ. Bài tập 7: Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 36 km trong một thời gian nhất định. Đi được nửa đường, người đó nghỉ 18 phút nên để đến B đúng hẹn phải tăng vận tốc 2 km/h. Tính vận tốc ban đầu. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 179 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Bài tập 8: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút, một ca nô cũng khởi hành từ A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km. Tim Vận tốc của thuyền, biết vận tốc ca nô nhanh hơn thuyền là 12 km/h. Bài tập 9: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Khi còn cách trung điểm quãng đường 60 km thì xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đã đến B sớm hơn dự định là 1 giờ. Tính quãng đường AB. Bài tập 10: Một canô xuôi dòng 30 km rồi ngược dòng 36 km. Vận tốc canô xuôi dòng lớn hơn vận tốc canô ngược dòng 3km/h. Tính vận tốc canô lúc ngược dòng. Biết rằng thời gian canô lúc ngược dòng lâu hơn thời gian xuôi dòng 1 giờ. Bài tập 11: Quãng đường Hải Dương – Thái Nguyên dài 150km. Một ô tô đi từ Hải Dương đến Thái Nguyên rồi nghỉ ở Thái Nguyên 4 giờ 30 phút , sau đó trở về Hải Dương hết tất cả 10 giờ. Tính vận tốc của ô tô lúc đi . Biết vận tốc lúc về nhanh hơn vận tốc lúc đi 10km/h. Bài tập 12: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. Bài tập 13: Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km. Tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 4 giờ 10 phút. Tính vận tốc thực của thuyền, biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hết dòng sông. Bài tập 14: Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vận tốc 20 km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ. Tính chiều dài khúc sông AB, biết rằng 2 canô đến bến B cùng một lúc. Bài tập 15: Hai người đi xe máy cùng khởi hành một lúc từ Hà Nội và Hải Dương ngược chiều nhau, sau 40 phút họ gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc người đi từ HN hơn vận tốc người đi từ HD là 10km/h và quãng đường Hà Nội - Hải Dương dài 60km. Bài tập 16: Hai người đi xe đạp cùng xuất phát một lúc đi từ A đến B dài 30 km, vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi người. Bài tập 17: Một người đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 78 km. sau đó 1 giờ người thứ hai đi từ tỉnh B đến tỉnh A hai người gặp nhau tại địa điểm C cách B 36 km. Tính thời gian mỗi người đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc người thứ hai lớn hơn vận tốc người thứ nhất là 4 km/h. Bài tập 18: Quãng đường AB dài 120 km. Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B,Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn Ô tô thứ hai là 10 km/h nên đến B trước Ô tô thứ hai 24 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Bài tập 19: Một người dự định đi từ A đến B với thời gian đẵ định. Nếu người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu người đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định đi và độ dài quãng đường AB. Bài tập 20: Một Ca nô xuôi dòng 1 km và ngược dòng 1km hết tất cả 3,5 phút. Nếu Ca nô xuôi 20 km và ngược 15 km thì hết 1 giờ. Tính vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của Ca nô. Bài tập 21: Bạn Hà dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đẵ định. Sau khi 1 giờ, Hà nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn Hà phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu của Hà. Bài tập 22: Hai người đi xe đạp khởi hành cùng lúc từ A và B cách nhau 60 kmvà đi dến C. Hướng chuyển động của họ vuông góc với nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc mỗi người, biết vận tốc người đi từ A nhỏ hơn vận tốc người đi từ B là 6 km/h. 2. Dạng 2: Dạng toán liên quan đến kiến thức hình học: 2.1. Kiến thức cơ bản: Gọi C: Chu vi, S: Diện tích. Hình chữ nhật: Tính chu vi hình chữ nhật: C = (a + b).2, (với a, b là chiều dài, chiều rộng) Tính diện tích hình chữ nhật: S = a.b Hình vuông: Tính chu vi hình vuông: C = 4a (a: Độ dài cạnh hình vuông) Tính diện tích hình chữ nhật: S = a2. Tam giác: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 180 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. a +b+c 2 Chu vi tam giác: C = a + b + c, (với a, b, c: Lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác) 1 Diện tích tam giác: S = a.h a , (a: Chiều cao, ha: Cạnh đáy tương ứng với cạnh a) 2 Độ dài cạnh huyền: c2 = a2 + b2, (c: Cạnh huyền; a, b: Lần lượt là các cạnh góc vuông) n(n - 3) Số đường chéo của một đa giác , (n: Số đỉnh). 2 2.2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Mỗi cạnh của hình vuông được tăng thêm 2cm. Trong lúc đo diện tích của nó tăng thêm 16cm2. Chiều dài của mỗi cạnh hình vuông trước khi chưa tăng là bao nhiêu? Giải Gọi x là chiều dài cạnh hình vuông khi chưa tăng, x(cm), (Điều kiện: x > 0). Theo bài ra ta có: (x + 2)2 = x2 + 16 x2 + 4x + 4 = x2 + 16 4x = 12 x = 3 Suy ra chiều dài mỗi cạnh hình vuông khi chưa tăng là 3cm. Bài tập 2: Tìm hai cạnh của một tam giác vuông biết cạn huyền bằng 13 cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 17. Giải Gọi cạnh góc vuông thứ nhất của tam giác là x ( cm ), (Điều kiện: 0 < x < 17). Ta có cạnh góc vuông còn lại là: (17 – x) (cm). Vì cạnh huyền của tam giác vuông là 13 do đó ta có phương trình: x2 + ( 17 – x )2 = 132 2 Giải phương trình: x - 17x + 60 = 0. Ta được: x1 = 12, x2 = 5. Vậy độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là 12 cm, 5 cm. Bài tập 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng 2 m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m 2. Tính kích thước (các cạnh) của khu vườn đó Giải Gọi một cạnh của khu vườn là x, (m), (Điều kiện: x < 140). Ta có cạnh còn lại của khu vườn là: (140 – x). Do lối xung quanh vườn rộng 2 m nên các kích thước các cạnh còn lại để trồng trọt là: (x – 4), (140 – x – 4) (m) Vì diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2 do đó ta có phương trình: (x – 4)(140 – x – 4) = 4256 Giải phương trình: x2 - 140x + 4800 = 0. Ta được x1 = 80, x2 = 60. Vậy các cạnh của khu vườn hình chữ nhật là 80m, 60m. Bài tập 4: Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 5m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 1m. Tính các cạnh góc vuông của tam giác. Giải Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x (m), (Điều kiện: 5 > x > 0) Cạnh góc vuông thứ hai là x + 1 (m) Áp dụng định lý Pi–Ta–Go ta có phương trình: x2 + (x + 1)2 = 52 Giải phương trình trên, ta được x = 3. Vậy kích thước các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 3m và 4m. Bài tập 5: Một hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài là 4 m và diện tích là 320m2. Tìm chiều dài, chiều rộng của mảnh đất. Giải Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m), (Điều kiện: x > 0). Chiều dài của mảnh đất là x + 4. Nửa chu vi: S = Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 181 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Vì diện tích của mảnh đất là 320m2 nên ta có phương trình: x(x + 4) = 320 Giải phương trình trên, ta được: x = 16. Vậy chiều dài là 16m, chiều rộng là 20m. Bài tập 6: Một hình chữ nhật có chu vi 120m, diện tích 800m2. Tính các kích thước của hình chữ nhật. Giải Gọi x(m) là số đo chiều dài hình chữ nhật. Nửa chu vi hình chữ nhật là 120:2 = 60 (m) Số đo chiều rộng hình chữ nhật là: 60 - x (m) Điều kiện: 0 < x < 60. Diện tích hình chữ nhật là 800m2. Ta có phương trình: x(60 - x) = 800 Giải phương trình trên, ta được: x = 40 (m), x = 20 (m). Vậy chiều dài là 40 (m), chiều rộng là 20 (m). 2.3. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Một hình chữ nhật có diện tích 300 m2. Nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài lên 5m thì ta được HCN mới bằng diện tích HCN ban đầu. Tính chu vi HCN ban đầu. Bài tập 2: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 50 m và diện tích 100 m2 Tính các cạnh của khu vườn ấy. 2 chiều dài và có diện tích bằng Bài tập 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng 5 360m2. Tính chu vi của khu vườn ấy. 7 Bài tập 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng chiều rộng và có diện tích bằng 4 2 1792m . Tính chu vi khu vườn ấy. Bài tập 4: Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40cm2, biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48cm2. Bài tập 5: Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m, chiều dài hơn chiều rộng 7m. Tính diện tích hình chữ nhật đó? Bài tập 6: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi Bài tập 7: Một đa giác lồi có tất cả 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh? Bài tập 8: Một cái sân hình tam giác có diện tích 180m2 . Tính cạnh đáy của sân biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4m và giảm chiều cao tương ứng 1 m thì diện tích không đổi? Bài tập 9: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao là 35m hai đáy lần lượt bằng 30m và 50m người ta làm hai đoạn đường có cùng chiều rộng. Các tim đừng lần lượt là đường trung bình của hình thang và đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đáy. Tính chiều rộng đoạn đường đó biết 1 diện tích hình thang. rằng diện tích phần làm đường bằng 4 3. Dạng 3: Toán năng suất. 3.1. Kiến thức cơ bản: Năng suất làm việc là phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian. Công thức: A = N.T Trong đó: A: Khối lượng công việc. N: Năng suất làm việc. T: Thời gian làm việc. Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm. Biết năng suất làm việc, thời gian hoàn thành, lượng công việc để áp dụng hợp lý. Năng suất lao động tăng thêm = (100% + mức năng suất %).quy định công việc. 3.2. Bài tập áp dụng: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 182 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Bài tập 1: Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha, vì vậy đội không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch. Giải Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch là x, (ha), (Điều kiện: x > 0). x Thời gian đội dự định cày là: (giờ). 40 Diện tích mà đội thực cày là: (x + 4), (ha). x+4 Thời gian mà đội thực cày là: ( giờ). 52 Vì khi thực hiện đội đẵ cày xong trước thời hạn 2 ngày do đó ta có phương trình: x x+4 = 2. 40 52 Giải phương trình trên, ta được x = 360. Vậy diện tích mà đội dự định cày theo kế hoạch là: 360 ha. Bài tập 2: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành một công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm công việc khác, tổ thứ hai làm một mình phần công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc. Giải Gọi thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành công việc là x, (giờ), (Điều kiện: x > 12). 1 Trong 1 giờ tổ hai làm được khối lượng công việc: (KLCV). x 4 1 Sau 4 giờ hai tổ đẵ là chung được khối lượng công việc là: = (KLCV). 12 3 1 2 Phần công việc còn lại tổ hai phải làm là: 1 - = (KLCV). 3 3 Vì tổ hai hoàn thàmh khối lượng công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có phương trình: 2 : x = 10. 3 Giải phương trình trên, ta được x= 15. Vậy thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành khối lượng công việc là: 15 giờ. Bài tập 3: Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công. Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày. Giải Gọi số công nhân của đội là x, (người), (Điều kiện: x > 0, xnguyên dương). 420 Số ngày hoàn thành công việc với x người là: (ngày). x Số công nhân sau khi tăng 5 người là: x + 5. 420 Số ngày hoàn thành công việc với x + 5 người là: (ngày). x5 Vì nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày do đó ta có phương trình: 420 420 = 7. x5 x Giải phương trình trên, ta được: x1 = 15; x2 = - 20 (loại). Vậy số công nhân của đội là 15 người. Bài tập 4: Hai thợ cùng đào một con mương sau 2 giờ 55 phút thì xong công việc. Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong công việc. Giải Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (giờ), (Điều kiện: x > 0). Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 183 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ). 1 Mỗi giờ đội 1 làm được c«ng viÖc x 1 Mỗi giờ đội 1 làm được c«ng viÖc x2 11 35 (giờ) xong. Vì cả hai đội cùng làm nên sau 2 giờ 55 phút = 2 12 12 12 Trong 1 giờ cả hai đội làm được công việc. 35 Theo bài ra ta có phương trình: 1 1 12 x x 2 35 Giải phương trình trên, ta được: x = 5 giờ. Vậy đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 giờ, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 7 giờ. Bài tập 5: Hai thợ cùng đào một con mương thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong công việc? Giải Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x, (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ) 1 Mỗi giờ đội 1 làm được c«ng viÖc x 1 Mỗi giờ đội 2 làm được c«ng viÖc x2 11 35 Vì cả hai đội thì sau 2 giờ 55 phút = 2 (giờ) xong. 12 12 12 Trong 1 giờ cả hai đội làm được công việc 35 Theo bài ra ta có phương trình: 1 1 12 x x 2 35 Giải phương trình trên, ta được: x = 5 (giờ) Vậy đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 giờ. Đội hai hoàn thành công việc trong 7 giờ. 3.3. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Hai người cùng làm chung một công việc mất 3giờ. Người thứ nhất làm đến nửa công việc người thứ hai làm nốt cho hoàn thành cả thảy hết 8 giờ. Nếu mỗi người làm riêng thì mất mấy giờ ? Bài tập 2: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?. Bài tập 3: Có hai đội công nhân, mỗi đội phải sử 10km đường. Thời gian đội I làm nhiều hơn đội II là 1 ngày. Trong một ngày mỗi đội làm được bao nhiều km đường. Biết rằng cả hai đội làm được 4,5km đường trong một ngày. Bài tập 4: Hai đội thủy lợi, tổng cộng có 25 người đào một con mương. Đội I đào được 45m3 đất, đội II đào được 40m3 đất. Biết rằng mỗi công nhân đội II đào nhiều hơn mỗi công nhân đội I là 1m3. Tính số đất mỗi công nhân đội I đào được. Bài tập 5: An và Bình cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong. Nếu An làm 3 trong 5 giờ và Bình làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được công việc. Hỏi mỗi người làm 4 một mình làm công việc đó thì trong mấy giờ xong. Bài tập 6: Hai lớp 9A và 9B cùng tu sửa khu vường thực nghiệm của nhà trường trong 4 ngày xong. Nếu mỗi lớp tu sửa một mình muốn hành thành công việc ấy thì lớp 9A cần ít thời gian hơn lớp 9B là 6 ngày. Hỏi mỗi lớp làm một mình thì trong bao lâu hoàn thành công việc. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 184 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Bài tập 7: Hai tổ sản xuất nhận chung một công việc.Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành 2 công việc. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ 1 làm xong công việc trước tổ 2 là 5 giờ. Hỏi mỗi tổ 3 làm một mình thì trong bao lâu xong công việc. Bài tập 8: Hai tổ cùng được giao làm một việc. Nếu cùng làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ 1 làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi tổ cần làm trong bao lâu mới hoàn thành công việc. Bài tập 9: Hai người làm chung một công việc thì xong trong 5 giờ 50‟. Sau khi cả hai người cùng làm được 5 giờ. Người thứ nhất phải điều đi làm việc khác, nên người kia làm tiếp 2 giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi người làm trong bao lâu thì xong. Bài tập 10: Hai người thợ cùng làm một công việc, nếu làm riêng mỗi người nửa công việc thì tổng cộng số giờ làm việc là 12 giờ 30 phút. Nếu hai người làm chung thì hai người chỉ làm trong 6 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi người làm riêng thì mất bao lâu xong việc. Bài tập 11: Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ do 3 công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi người còn lại phải làm thêm 4 dụng cụ. Tính số công nhân của tổ lúc đầu (năng suất mỗi người như nhau). Bài tập 12: Một máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày đội máy kéo cày được 52 ha. Vì vậy đội không những đã cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã định. Bài tập 13: Một tổ dệt khăn mặt, mỗi ngày theo kế hoạch phải dệt 500 chiếc, nhưng thực tế mỗi ngày đã dệt thêm được 60 chiếc, cho nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch trước 3 ngày mà còn dệt thêm được 1200 khăn mặt so vơí kế hoạch. Tìm số khăn mặt phải dệt theo kế hoạch lúc đầu. Bài tập 14: Một tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Thời gian làm theo năng suất tăng 10 sản phẩm mỗi ngày kém 4 ngày so với thời gian làm theo năng suất giảm đi 20 sản phẩm mỗi ngày (tăng, giảm so với năng suất dự kiến). Tính năng suất dự kến theo kế hoạch. Bài tập 15: Một tàu đánh cá dự định trung bình mỗi ngày đánh bắt được 30 tấn cá. Nhưng thực tế mỗi ngày đánh bắt thêm được 8 tấn nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm được 2 ngày mà còn đánh bắt vượt mức 20 tấn . Hỏi số tấn cá dự định đánh bắt theo kế hoạch là bao nhiêu? Bài tập 16: Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiêu hơn dự định là 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân ? Biết rằng năng suất lao động của mỗi cồg nhân là như nhau. 4. Dạng 4: Dạng toán chảy chung, chảy riêng của vòi nƣớc: 4.1. Kiến thức cơ bản: Cách giải: Bước 1: Tìm lượng nước chảy chung của hai vòi. Lượng nước chảy riêng của mỗi vòi vào bể hoàn thành. Lập phương trình lượng nước. Bước 2: Thời gian hai vòi chảy đầy bể. Thời gian chảy riêng hoàn thành của mỗi vòi. Lập phương trình thời gian chảy đầy bể. Bước 3: Giải hệ phương trình. 4.2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Một Máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định 1 thì mỗi giờ phải bơm được 10m3. Sau khi bơm được dung tích bể chứa, người công nhân vận 3 hành cho máy bơm công xuất lớn hơn mỗi giờ bơm được 15 m3. Do đó bể được bơm đầy trước 48 phút so với thời gian quy định. Tính dung tích của bể chứa. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 185 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Giải Gọi dung tích của bể chứa là x, (m3), (Điều kiện: x > 0). x (giờ). Ta có thời gian dự định để bơm đầy bể là: 10 1 x Thời gian để bơm bể với công suất 10 m3/s là: (giờ). 30 3 2 2x bể còn lại với công suất 15 m3/s là: . Thời gian để bơm 45 3 2 bể còn lại nên thời gian thời gian bơm đầy trước 48 phút so với Do công suất tăng khi bơm 3 quy định do đó ta có phương trình: x x 2x 4 - = 10 30 45 5 Giải phương trình trên, ta được x = 36. Vậy dung tích bể chứa là 36m3. Bài tập 2: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ bể đầy. Nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải chảy trong bao lâu mới đầy bể? Biết rằng nếu chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể sớm hơn vòi thứ hai 6 giờ. Giải Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (giờ), (Điều kiện: x > 0). Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là x + 6. Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được 1 bể. x Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được 1 bể. x6 Theo bài ra ta có phương trình: 1 + 1 = 1 x 4 x6 Giải phương trình trên, ta được: x = 6. Vậy vòi thứ nhất chảy 6 giờ, vòi thứ hai chảy 12 giờ thì đầy bể. Bài tập 3: Có hai vòi nước, vòi I chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vòi II chảy đầy bể trong 2 giờ. Người ta cho vòi I chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho vòi II chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi đã chảy trong bao lâu? Giải 3 2 giờ thì trong 1 giờ chảy vào được bể. Vòi I chảy riêng làm đầy bể trong 1,5 = 2 3 1 Vòi II chảy riêng làm đầy bể trong 2 giờ thì trong 1 giờ chảy vào được bể. 2 Gọi thời gian mà vòi I đã chảy là x giờ (0 < x < 1,8), thời gian vòi II đã chảy là 1,8 - x giờ. Theo bài ra, ta có phương trình: 2 1 x 1,8 x 1 3 2 Giải phương trình trên, ta được: x = 0,6 (thỏa mãn điều kiện) Vậy vòi I chảy trong 0,6 giờ, vòi II chảy trong 1,2 giờ. Bài tập 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mõi vòi chảy trong bao lâu mới đầy bể. Giải Gọi thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là x giờ, (x > 2) Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x - 2 giờ. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 186 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 35 giờ. 12 Theo bài ra, ta có phương trình: Ta có: 2 giờ 55 phút = 1 1 12 x x 2 35 Giải phương trình trên, ta được: x = 7 (thỏa mãn điều kiện) Vậy vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 5 giờ, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 7 giờ. 4.3. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 thì bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy 2 trong 10 phút và vòi thứ 2 chảy trong 12 phút thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì bao 15 nhiêu lâu mới đầy bể. Bài tập 2: Hai vòi nước nếu cùng chảy thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 10 giờ thì đầy bể. Hỏi nếu vòi thứ hai chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể. Bài tập 3: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì sau 4 1 chảy bằng 1 4 giờ đẩy bể, môĩ giờ lượng nước của vòi 5 1 lượng nước ở vòi 2. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể. 2 Bài tập 4: Hai vũi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. 3 Nếu mở vũi 1 trong 3 giờ và vũi 2 trong 4 giờ thỡ được bể nước. Hỏi mỗi vũi chảy một mỡnh 4 thỡ trong bao lâu mới đầy bể. 5. Dạng 5: Toán tìm số: 5.1. Kiến thức cơ bản: Cách viết số trong hệ thập phân của số tự nhiên: Số có hai chữ số: ab = 10a + b Số có ba chữ số: abc = 100a +10b + c Số có ba chữ số: abcd = 1000a +100b +10c + d Quan hệ chia hết và chia có dư: Số a chia b được c và có số dư là r, được viết: a = b.c + r. Nếu a chia hết cho b thì số dư r = 0. Nếu a không chia hết cho b thì số dư r ≠ 0. 5.2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Một số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của 1 nó thêm 1 đơn vị thì được một phân số mới bằng phân số đã cho. Tìm phân số đó? 2 Giải Gọi tử số của phân số đó là x, (Điều kiện: x 3 ) Mẫu số của phân số đó là x + 3. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 1 đơn vị thì Tử số là x + 1 Mẫu số là x + 3 + 1 = x + 4 1 Được phân số mới bằng ta có phương trình: 2 x 1 1 x4 2 Giải phương trình trên ta được: x = 2 (thỏa mãn điều kiện) 2 Vậy phân số cần tìm là . 5 Bài tập 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó là 85. Giải Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 187 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Gọi số bé là x, ( x N ). Số tự nhiên kề sau là x + 1. Vì tổng các bình phương của nó là 85 nên ta có phương trình: x2 + (x + 1)2 = 85 x 2 x 2 2x 1 85 2x 2 2x 84 0 x 2 x 42 0 b 2 4ac 12 4.1.(42) 169 0 169 13 Phương trình có hai nghiệm 1 13 x1 6 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) 2 1 13 x2 7 (lo¹i) 2 Vậy hai số phải tìm là 6 và 7. Bài tập 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng tổng các chữ số là 11. Nếu đỗi chỗ hai chữ số, hàng chục và hàng đơn vị thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. Giải Gọi chữ số hàng đơn vị là x, (Điều kiện: 0 < x ≤ 9). Chữ số hàng chục là 11 - x. Vì đổi chỗ hai chữ số, hàng chục và hàng đơn vị thì số đó tăng thêm 27 đơn vị nên ta có phương trình: 10x + 11 - x = 10(11 - x) + x + 27 Giải phương trình trên, ta được: x = 7. Vậy số cần tìm là 47. Bài tập 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1. Giải Gọi chữ số đơn vị là x, (0 ≤ x ≤ 7). Chữ số hàng chục là x + 2. Vì số cần tìm lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1 nên ta có phương trình: 10(x + 2) + x = (x + 2)2 + x2 + 1 Giải phương trình trên, ta được: x = 5. Vậy số cần tìm là 75. Bài tập 5: Tìm hai số khi biết tổng là 12 và tổng bình phương của chúng bằng 90. Hai số đó là. Giải Gọi số thứ nhất là x (xN, x < 12) Số thứ hai là 12 - x. Theo bài ra ta có: x2 + (12 - x)2 = 90 x2 - 12 x + 27 = 0 x 3 x 9 Vậy hai số cần tìm là 3 và 9. 5.3. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 17 4 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận được số mới bằng số ban đầu. 5 Bài tập 2: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 4 là 2 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận được số mới bằng số ban đầu. 7 Bài tập 3: Cho một số có hai chữ số, tổng của hai chữ số bằng 11. Nếu thay đổi theo thứ tự ngược lại được một số mới lớn hơn số lúc đầu 27 đơn vị. Tìm số đã cho. Bài tập 4: Một số có hai chữ số lớn gấp 3 lần tổng các chữ số của nó, còn bình phương của tổng các chữ số gấp 3 lân số đã cho. Tìm số đó. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 188 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Bài tập 5: Đem một số có hai chữ số nhân với tổng các chữ số của nó thì được 405. Nêu lấy số được viết bởi hai chữ số ấy nhưng theo thứ tự ngược lại nhân với tổng các chữ số của nó thì được 486. Tìm số đó. Bài tập 6: Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm 2 số đó. Bài tập 7: Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì được 50. Hỏi số đó là bao nhiêu? 2 1 Bài tập 8: Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng số thứ nhất thì bằng số thứ hai. 5 6 Bài tập 9: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng số đó bằng lập phương của số tạo bởi chữ số hàng vạn và chữ số hàng nghìn của số đã cho theo thứ tự đó. Bài tập 10: Tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150. 6. Dạng 6: Toán sử dụng các kiến thức vậy lý, hóa học: 6.1. Kiến thức cơ bản: Tính khối lượng riêng của vật: m D V D: Khối lượng riêng, m: Khối lượng, V: Thể tích. Công thức tính thành phần phần trăm của chất có trong dung dịch: m C% ct .100% m dd C%: Nồng độ phần trăm, mct: Khối lượng chất tan, mdd: Khối lượng dung dịch. 6.2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn nó là 0,2g/cm3 để được hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 . Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng. Giải Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (g/cm3), (Điều kiện: x > 0,2) Khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x – 0,2 (g/cm3). 8 Thể tích của chất lỏng thứ nhất là (cm3 ) x 6 (cm3 ) Thể tích của chất lỏng thứ hai là x 0, 2 8 6 (cm3 ) Thể tích của hỗn hợp là x x 0, 2 Theo bài ra ta có phương trình: 8 6 14 x x 0, 2 0, 7 Giải phương trình trên, ta được: x = 0,8 (thỏa mãn điều kiện) Vậy khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 0,8 (g/cm3) Khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là 0,6 (g/cm3). Bài tập 2: Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20% muối? Giải Gọi x là lượng nước cần pha thêm vào dung dịch đã cho (x > 0, g) Khi đó lượng dung dịch nước là 200 + x. Nồng độ dung dịch là 50 200 + x Theo đề bài ta có phương trình: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 189 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com 50 20 = 200 + x 100 Giải phương trình trên, ta được: x = 100. Vậy lượng nước cần pha thêm là 100g. Bài tập 3: Người ta pha 3kg nước nóng ở nhiệt độ 900C và 2kg nước lạnh ở nhiệt độ 200C. Hỏi nhiệt độ nước sau khi pha là bao nhiêu. Giải Gọi nhiệt độ cuối cùng của nước sau khi pha là x0C, (x > 0) Khi đó nhiệt lượng tỏa ra là: 3c(90 - x) kilocalo, (với c là nhiệt dung riêng của nước) Nhiệt lượng hấp thụ là: 2c(x - 20) kilocalo. Do nhiệt lượng thu được bằng nhiệt lượng tỏa ra, ta có phương trình: 3c(90 - x) = 2c(x - 20) Giải phương trình trên, ta được: x = 620C (thỏa mãn điều kiện) Vậy nhiệt độ của nước sau khi pha là 620C. Bài tập 4: Khi trộn 8g chất lỏng M với 6g chất lỏng N có khối lượng riêng nhỏ hơn 200kg/m 3 thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng 700kg/m3. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng. Giải Gọi khối lượng riêng của chất lỏng M là x kg/m3, (x > 200) Khối lượng riêng của chất lỏng N là x - 200 kg/m3 Theo bài ra, ta có phương trình: 8 6 14 x x 200 700 Giải phương trình trên, ta được: x = 800. Vậy khối lượng riêng của M là 800 kg/m3 và khối lượng riêng của N là 600 kg/m3. Bài tập 5: Người ta hòa lẫn 4kg chất lỏng I với 3kg chất lỏng II thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Biết rằng khối lượng riêng của chất lỏng I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng II là 200kg/m3. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng. Giải Gọi khối lượng riêng của chất lỏng I là x kg/m3, (x > 200) Khối lượng riêng của chất lỏng II là x - 200 kg/m3. Theo bài ra, ta có phương trình: 4 3 7 x x 200 700 Giải phương trình trên, ta được: x = 800. Vậy khối lượng riêng của chất lỏng I là 800 kg/m3, khối lượng riêng của chất lỏng II là 600 kg/m3. 6.3. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Cho 200g dung dịch có nồng độ 10%. Phải pha thêm vào dung dịch đó bao nhiêu gam nước để dung dịch lúc sau có nồng độ là 8%. Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 190 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. Bài tập 2: Hai dung dịch có khối lượng tổng cộng bằng 220kg. Lượng muối trong dung dịch I là 5kg, lượng muối trong dung dịch II là 4,8kg. Biết nồng độ muối trong dung dịch I nhiều hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 1%. Tính khối lượng mỗi dung dịch nói trên. Bài tập 3: Vào thế kỷ III trước công nguyên, vua xứ Xi-ra-cut giao cho Ac-si-met kiểm tra chiếc mũ bằng vàng của nhà vua có bị pha thêm bạc hay không. Chiếc mũ có trọng lượng 5niuton (theo đơn vị hiện nay), nhúng trong nước thì trọng lượng giảm 0,3 niuton. Biết rằng khi cân trong 1 1 nước, vàng giảm trọng lượng, bạc giảm trọng lượng. Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam 20 10 vàng, bao nhiêu gam bạc? 7. Dạng 7: Toán dân số, phần trăm: 7.1. Kiến thức cơ bản: Cách giải: Gọi a là số dân được biết trước. Khi đó: Nếu tăng dân số thêm b% thì ta có số dân sau khi tăng là: a + ab%. Nếu giảm dân số b% thì ta có số dân sau khi giảm là: a - ab%. Gọi x là số tiền được gửi cố định, với lãi suất gửi số tiền x là y%/ tháng và không thay đổi lãi suất. Khi đó: Số tiền tính được trong một tháng là: x + x.y% Số tiền tính được trong hai tháng là: x + (x +x.y%).y% Tương tự như vậy, ta tính được số tiền gửi trong một năm. 7.2. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là a% (a là một số cho trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau. 1) Hãy viết biểu thức biểu thị : Số tiền lãi sau tháng thứ nhất; Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất; Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai. 2) Nếu lãi suất là 1,2% (tức là a = 1,2) và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là 48,288 nghìn đồng, thì lúc đầu bà An đã gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm? Giải 1) Số tiền lãi sau một tháng gửi với lãi suất a% với tiền gửi x nghìn đồng là ax. Số tiền có được (cả gốc lẫn lãi) sau tháng thứ nhất : x + ax = x (1 + a) nghìn đồng. Số tiền lại sau hai tháng là : L = ax + ax(1 + a) = x(a2 + 2a) 2) Thay a = 1,2% là L = 48,288 ta được : 24 144 x + = 48, 288 1000000 1000 Giải phương trình trên, ta được: x = 2000000 đồng Bài tập 2: Năm ngoái, tổng dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Năm nay, dân số của tỉnh A tăng thêm 1,1%, còn dân số của tỉnh B tăng thêm 1,2%. Tuy vậy, số dân của tỉnh A năm nay vẫn nhiều hơn tỉnh B là 807 200 người. tinh số dân năm ngoái của mỗi tỉnh. Giải Gọi tổng số dân của tỉnh A trong năm ngoái là x (người), (Điều kiện: 0 < x < 4000000) Số dân của tỉnh B trong năm ngoái là 400000 - x. Theo bài ra, ta có phương trình: x + 1,1%x = 4000000 - x + 1,2%(4000000 - x) + 807200 Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 191 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. www.VNMATH.com Giải phương trình trên ta được: x = 2400000. Vậy dân số tỉnh A là 2400000, dân số tỉnh B là 1600000. Bài tập 3: Dân số hiện nay của một phường là 41618 người. Cách đây 2 năm dân số của phường là 40000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số tăng bao nhiêu phần trăm? Giải Gọi số phân trăm dân số tăng mỗi năm là x% (x > 0). Dân số cách đây 2 năm là 40000 người thì dân số cách đây một năm là: x 40000 + 40000 = 40000 + 400x 100 Hiện nay là năm thứ hai nên dân số tăng thêm x%, tức là dân số hiện nay là: x 40000 + 400x + (40000 + 400x) = 4x2 + 800x + 40000 100 Theo bài ra, ta có phương trình: 4x2 + 800x + 40000 = 41618 hay x2 + 200x - 404 = 0 Giải phương trình trên, ta được: x = 2. Vậy dân số tăng hằng năm là 2%. 7.3. Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4045000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay. Bài tập 2: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng 2, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy. Bài tập 3: Giá 1 mét vải là 16 ngàn đồng được hạ xuống vài phần trăm. Sau một thời gian giá 1 mét vải lại hạ xuống cũng một số phần trăm như vậy và trở thành 9 ngàn đồng. Không biết mỗi lần giá vải hạ xuống như vậy là bao nhiêu phần trăm. Bài tập 4: Hai tổ công nhân được giao mỗi tuần sản xuất được 980 đôi giầy. Để lập thành tích chào mừng ,tuần vừa qua tổ 1 vượt mức 8%, tổ 2 vượt mức 10%. So với kế hoạch được giao nên cả 2 tổ sản xuất được 1068 đôi. Hỏi định mức được giao của mỗi tổ là bao nhiêu đôi giầy. Bài tập 5: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch là bao nhiêu? Bài tập 6: Dân số của một thành phố hiện nay là 408040 người. Hàng năm dân số tăng 1%. Hỏi hai năm trước dân số thành phố là bao nhiêu? Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 192 .:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. CHUYÊN ĐỀ 17 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƢƠNG TRÌNH Cách giải: Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình: Gồm 3 bước: Bước 1: Lập hệ phương trình. Chọn ẩn và tìm điều kiện cho ẩn (chọn ẩn là các đại lượng bài toán yêu cầu) Biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn. Lập hệ phương trình. Bước 2: Giải hệ phương trình. Bước 3: Nhận định kết quả. Đối chiếu với điều kiện bài toán. Nếu kết quả có chứa tham số thì phải biện luận. Các dạng toán cơ bản: Dạng 1: Dạng toán chuyển động. Dạng 2: Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học. Dạng 3: Dạng toán công việc làm chung, làm riêng. Dạng 4: Dạng toán chảy chung, chảy riêng của vòi nước. Dạng 5: Dạng toán tìm số. Dạng 6: Dạng toán sử dụng các kiến thức vật lý, hoá học. Dạng 7: Bài toán dân số, phần trăm. 1. Dạng 1: Bài toán chuyển động: 1.1. Kiến thức cơ bản: Bài toán chuyển động thường gặp: Chuyển động cùng chiều, ngược chiều, chuyển động trên dòng sông, ... Gọi s, t, v: Lần lượt là quãng đường, thời gian, vận tốc. Quãng đường: s v.t . s Vận tốc: v . t s Thời gian: t . v Các dạng cơ bản: (1) Chuyển động cùng chiều: Hai xe chuyển động cùng chiều trên cùng một quãng đường, đến khi gặp nhau: Quãng đường xe 1 đi = Quãng đường xe 2 đi. Nếu hai xe cùng xuất phát, mà ô tô 1 đến trước ô tô 2 là t giờ: Thời gian xe 2 đi - Thời gian xe 1 đi = t (2) Chuyển động ngược chiều: Hai xe chuyển động ngược chiều trên cùng một quãng đường đến chỗ gặp nhau: Quãng đường xe 1 đi + Quãng đường xe 2 đi = s (3) Chuyển động trên dòng nước: vxuôi dòng = vriêng + vnước vngược dòng = vriêng - vnước (4) Chuyển động trên cùng một đường tròn: Hai vật xuất phát từ một điểm sau thời gian t thì gặp nhau: Chuyển động cùng chiều: Độ dài s của đường tròn: s = t(v1 - v2), (với v1, v2 là vận tốc của hai vật, v1 > v2) Chuyển động ngược chiều: Độ dài s của đường tròn: s = t(v1 + v2), (với v1, v2 là vận tốc của hai vật) 1.2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Hai xe cùng khởi hành một lúc với hai vận tốc khác nhau. Biết rằng vận tốc xe 1 lớn hơn xe 2 là 10 km/h. Nếu lấy tổng vận tốc hai xe so với chiếc xe 3 chạy với vận tốc 70km/h thì bằng nhau. Hỏi vận tốc mỗi xe là bao nhiêu? Giải Gọi vận tốc xe 1 kà x km/h và vận tốc xe 2 là km/h, (điều kiện: 0 < x, y < 70) Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 193 Tải về bản full