Chuyên đề Phương Trình Mũ, Logarit - Thư Viện Đề Thi

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học›Toán 12 Chuyên đề Phương trình mũ, logarit doc

19 trang

phongnguyet00 Lượt xem

1806

0 Download Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề Phương trình mũ, logarit", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

phương trình mũ, logarit A. Kiến thức cần nhớ: I. Các biến đổi mũ và lôgarit II. Các phương tình cơ bản 1) am = an m = n (a 1) 2) am = b m = 3) m > 0; n > 0 thì m = n 4) m = ab Ngoài ra ta còn có thể dùng công thức đổi cơ số để biến đổi ở pt logarit. Chú ý: Khi a > 0, a 1, n ta có B. Một số phương pháp giải I. Phương pháp đưa về cùng cơ số: Nhận xét: 1. Đối với phương thình lôgarit + Nếu các cơ số có quan hệ với nhau dưới dạng am thì khi đó ta vận dụng + Nếu các cơ số không có quan hệ với nhau dưới dạng am thì khi đó ta vận dụng 2. Đối với phương thình mũ + Nếu các cơ số có quan hệ với nhau dưới dạng am thì khi đó ta vận dụng + Nếu các cơ số không có quan hệ với nhau dưới dạng am thì khi đó ta vận dụng Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 1) 2x+1 . 43x+2 = 32 ; ; ; ; ; ; 2) 52x+1 + 7x+1 - 175x - 35 = 0; ; 4x+4x-2–4x+1=3x–3x-2–3x+1 3) ; ; HD: 1) 2x+1 . 43x+2 = 32 2x+1 . 26x+4 = 25 27x+5 = 25 x = 0 2) 52x+1 + 7x+1 - 175x - 35 = 0 5.52x + 7.7x - 52x.7x - 5.7 = 0 (5.52x - 52x.7x) - (5.7 - 7.7x) = 0 52x. (5 - 7x) - 7. (5 - 7x) = 0 (52x - 7).(5 - 7x) = 0 4) Bài tập 2: Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) HD: 1). (1) Đk: x > 1 (1) (x + 3)(x - 1) = 4x x2 - 2x - 3 = 0 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 3. 2). (2) Đk: 1 < x < 7 (2) (7 - x)2 = 2.(x2 - 1) x2 + 14x - 51 = 0 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 3. 3). (3) Đk: x > 0 (3) x = 3 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 3. 4). (4) Đk: x > 0 (4) x = 1 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 1. 5). (5) Đk: (5) (3x - 1)(x + 3) = 4(x+1) 3x2 - 4x - 7 = 0 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = . 6). (2) Đk: x > 1 (2) x = 16 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 16. 7). (7) Đk: x 1 (7) Giải 7a) x = 1 Giải 7b) (*) Khi đó (**) Do vậy ta có Rỏ ràng theo Bất đẳng thức Côsi ta có Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 1 và Bài tập 3: Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) HD: 1). (1) Đk: (1) (1’) * TH 1: x > 0 (1’) x2 + 2x - 8 = 0 * TH 2: -2 < x < 0 (1’) - x2 - 2x - 8 = 0 (vn) Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 2. 2). (2) Đk: (2) (2’) * TH 1: -2 < x < 4 (2’) x2 + 6x - 16 = 0 * TH 2: -2 < x < 0 (2’) x2 - 2x - 32 = 0 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 2 và . 3). (3) Đk: (3) (3’) * TH 1: -1 < x < 4 (3’) x2 + 4x - 12 = 0 * TH 2: -4 < x < -1 (3’) x2 - 4x - 20 = 0 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 2 và 4). (4) Đk: (4) (4’) * TH 1: 1 < x < 2 (4’) - 2x + 4 = x - 1 * TH 2: x > 2 (4’) 2x - 4 = x - 1 x = 3 ( loại) Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là II. Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 1) (Đề thi TN 2009) 2) 4x + 6x = 2.9x (Đề thi TN 2011) 3) 2x + 2-x + 4x + 4-x = 4 (ĐH K A - 2006). 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) HD: 1) Đặt t = > 0 Khi đó ta có phương trình t2 - 3t - 4 = 0 Với t = 4 ta có = 4 x2 - x - 2 = 0 Vậy pt có nghiệm của pt là x = 2 và x = -1 2). 4x + 6x = 2.9x Đặt t = > 0 Khi đó ta có phương trình t2 + t - 2 = 0 Với t = 1 ta có = 1 x = 0 Vậy pt có nghiệm của pt là x = 0. 4). (4) Đk: Ta có (4) Đặt t = > 0 Khi đó ta có phương trình Với t = 4 ta có = 4 x = Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = . 5). (5) Ta có (5) Đặt t = > 0 Khi đó ta có phương trình (5’) * TH 1: (5’) * TH 2: (5’) Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt (5’) là Với ta có Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là 6). (6) Chia cả hai vế cho ta có (6) Đặt t = Khi đó ta có phương trình 5t2 - 7t + 2 = 0 + Với t = 1 ta có x = 0 + Với t = ta có x = 2 Vậy nghiệm của pt là x = 0 và x = 2. 7). Đặt t = Khi đó ta có phương trình Với t = 2 ta có cosx + 1 = cosx = - Vậy nghiệm của pt là . 8). (8) Đk: x > 0 (8) Đặt t = > 0 Khi đó ta có phương trình 18t2 + t - 4 = 0 Với t = ta có = lnx = - 2 x = Vậy nghiệm của pt là x = . 9). Đk: x > 0 (9) Đặt t = > 0 Khi đó ta có phương trình 18t2 + t - 4 = 0 Với t = ta có = = - 2 x = = Vậy nghiệm của pt là x = . 10). Đk: x > 0 Đặt t = x = 2t Khi đó ta có phương trình Nhân vào 2 vế với ta có phương trình t = 0 Với t = 0 ta có x = 1 Vậy nghiệm của pt là x = 1 11). Do nên ta đặt Khi đó ta có phương trình t2 - 10t + 1 = 0 + Với t = ta có x = - 2 + Với t = ta có x = 2 Vậy nghiệm của pt là x = 2. 12). Đặt t = khi đó ta có ; Khi đó ta có phương trình t4 + 2t3 - t - 2 = 0 (t - 2)(t3 - 1) = 0 t = 1 Với t = 1 ta có x = 0 Vậy nghiệm của pt là x = 0. Bài tập 2: Giải phương trình: 1) 2) 9x + 2(x - 2).3x + 2x - 5 = 0 3) 25x - 2(3 - x ).3x + 2x - 7 = 0 HD: 1). Đặt t = 5x-2 > 0 Khi đó ta có phương trình 3t2 + (3x - 10).t + 3 - x = 0 (1) Ta có = 9x2 - 60x + 100 - 36 + 12x = 9x2 - 48x + 64 = (3x - 8)2 (1) + Với t = ta có x = + 2 + Với t = - x + 3 ta có (1’) Vì hàm số y = 5x-2 = f(x) là hàm số đồng biến hàm số y = - x +3 = g(x) là hàm số nghịch biến Nên (1’) có một nghiệm duy nhất. Do f(2) = g(2) nên nghiệm duy nhất là x = 2. Vậy nghiệm của pt là x = 2 và x = + 2. Bài tập 3: Giải các phương trình: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) HD: 1). (1) Đk: D = R (1) (1’) Đặt t = Khi đó ta có phương trình: t(t + 2) = 3 t2 + 2t - 3 = 0 + Với t = 1 ta có = 1 x = 0 + Với t = - 3 ta có = - 3 (vn) Vậy nghiệm của pt là x = 0. 2). (2) Đk: (2) (2’) Đặt t = log3x 0 Khi đó ta có phương trình: t2 - t - 2 = 0 + Với t = -1 ta có log3x = - 1 x = + Với t = 2 ta có log3x = 2 x = 9 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = và x = 9 3). (3) Đk: x > 0 (3) Đặt t = log5x 0 Khi đó ta có phương trình: t2 + 3t - 4 = 0 + Với t = 1 ta có log5x = 1 x = 5 + Với t = - 4 ta có log5x = - 4 x = 5-4 = Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 5 và x =. 4). (4) Đk: (4) Đặt t = log2x 1 Khi đó ta có phương trình: t2 - 2t = 0 + Với t = 0 ta có log2x = 0 x = 1 + Với t = 2 ta có log2x = 2 x = 4 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 1 và x = 4. 5). (5) Đk: x > 512 (5) (5’) Đặt t = log2x 0 Khi đó ta có phương trình: t2 - 18t + 72 = 0 Với t = 12 ta có log2x = 12 x = 4096. Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 4096. 6). (6) Đk: x > 0 Đặt t = Khi đó ta có phương trình: t2 - 1 + t - 5 = 0 t2 + t - 6 = 0 Với t = 2 ta có = 2 x = . Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = . 7). (7) Đk: (7) + Giải (a) x = 1 + Giải (b) Đặt t = log2x 1; - 4; -2 Ta có (b) (t + 4)(t + 2) - 21.(t -1)(t + 2) +10.(t - 1)(t + 4) = 0 ... Với t = 0 ta có log2x = 0 x = 1. Với t = 2 ta có log2x = 2 x = 4. Với t = - ta có log2x = - x = . Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 1; 4; . Bài tập 4: Giải các phương trình: 1) 2) HD: 1). Đk: x > - 1 Đặt t = Khi đó ta có phương trình (x + 2).t2 + 4.(x + 1).t - 16 = 0 (1) Ta có ’ = 4x2 + 8x + 4 + 16x + 32 = 4x2 + 24x + 36 = (2x + 6)2 (1) + Với t = - 4 ta có = - 4 x + 1 = x = + Với t = ta có = (1’) Vì hàm số y = = f(x) là hàm số đồng biến hàm số y = = g(x) là hàm số nghịch biến Nên (1’) có một nghiệm duy nhất. Do f(2) = g(2) nên nghiệm duy nhất là x = 2. Vậy nghiệm của pt là x = 2 và x = . 2). Đk: Đặt t = Khi đó ta có phương trình t2 + (x2 - 5).t - 5x2 = 0 (2) Ta có = x4 - 10x2 + 25 + 20x2 = x4 + 10x2 + 25 = (x2 + 5)2 (2) + Với t = 5 ta có = 5 x2 + 1 = 100 000 x = + Với t = - x2 ta có = - x2 (1’) Vì hàm số y = = f(x) là hàm số đồng biến ; nghịch biến hàm số y = - x2 = g(x) là hàm số đồng biến ; nghịch biến Nên (1’) có một nghiệm duy nhất. Do f(0) = g(0) nên nghiệm duy nhất là x = 0. Vậy nghiệm của pt là x = và x = 0. III. Phương pháp logarit hóa: Chú ý: Dùng khi gặp phương trình có chứa các hàm số dạng + Tích của nhiều hàm số mũ + Chứa hàm số lũy thừa mũ y = Đk: Bài tập 1: Giải các phương trình: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) HD: 1). 2). (2) Đk: x > 0 (2) 3). (3) Đk: x > 0 (3) 4). (4) Đk: x > 0; x Dể thấy khi đó ta có (4) 5). (5) Đk: x > 0 (5) 6). (6) Đk: x > 0 áp dụng công thức ta có (6) lgx = 2 x = 100. 7). (7) Đk: x > 2 (7) Đặt Khi đó ta có phương trình (t + 2).t = 2 + 3t t2 - t - 2 = 0 Với t = - 1 ta có x = Với t = - 1 ta có x = 11 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = và x = 11. IV. Phương pháp hàm số: Bổ đề: 1) Xét hàm số f(x) = g(x) (1) Nếu hàm só f(x) đồng biến, g(x) nghịch biến thì (1) có nghiệm duy nhất Nếu hàm só f(x) nghịch biến, g(x) đồng biến thì (1) có nghiệm duy nhất HQ: Xét hàm số f(x) = a (2) Nếu hàm só f(x) đồng biến thì (2) có nghiệm duy nhất Nếu hàm só f(x) nghịch biến thì (2) có nghiệm duy nhất 2) Hàm só f(x) đồng biến hoặc f(x) nghịch biến trên K Thì f(x1) = f(x2) x1 = x2 Bài tập 1: Giải các phương trình: 1) 3x + 4x = 5x 2) 2x = 1 + 3) Bài tập 2: Giải các phương trình: 1) 2) 3) 4) 5) HD: 1). (1) Đk: x > 0 Đặt x = 24t > 0 ; Khi đó (1) (1’) Xét hàm số có < 0 f(x) nghịch biến Do đó (1’) có nghiệm duy nhất, vì f(1) = 1 nên nghiệm duy nhất là t = 1 Với t = 1 ta có x = 24 = 16. Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 16. 2). (2) Đk: x > 0 Đặt x = 72t > 0 Khi đó (2) (2’) Xét hàm số có < 0 f(x) nghịch biến Do đó (2’) có nghiệm duy nhất, vì f(1) = 1 nên nghiệm duy nhất là t = 1 Với t = 1 ta có x = 72 = 49 . Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 49. 3). Đặt t = x = 6t > 0 4). Đặt t = x = 3t > 0 5). (3) Đk: x > 0 Đặt x = 212t > 0 ; Khi đó (3) (3’) Xét hàm số có < 0 f(x) nghịch biến Do đó (3’) có nghiệm duy nhất, vì f(1) = 1 nên nghiệm duy nhất là t = 1 Với t = 1 ta có x = 212 = 4096. Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 4096. Bài tập 3: Giải các phương trình: 1) 2) 3) HD: 1). (1) (1) (1’) Xét hàm số f(t) = 2t + t ta có f’(t) = 2t ln2 + 1 > 0 f(t) đồng biến Từ (1’) ta có x - 1 = x2 - x x = 1 Vậy phương trình có nghiệm x = 1 Bài tập 4: Giải các phương trình: 1) 2) HD: 1). (1) Xét hàm số ta có f(x) liên tục và xác định trên R Ta có > 0 Vì f(x)’’ > 0 nên f’(x) đồng biến tức f’(x) = 0 có duy nhất một nghiệm Khi đó phương trình f(x) = 0 có không quá hai nghiệm Do ta có f(0) = f(1) = 0 nên pt (1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1. 2). (2) Đk: > 0 (2) (2’) Xét hàm số f(t) = 2t + 44t ta có f’(t) = 2t ln2 + 44 > 0 f(t) đồng biến Từ (2’) ta có (2’’) Xét hàm số ta có > 0 Vì h(x)’’ > 0 nên f’(x) đồng biến tức h’(x) = 0 có duy nhất một nghiệm Khi đó phương trình h(x) = 0 có không quá hai nghiệm Do ta có h(0) = h(3) = 0 nên pt (1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 3. Bài tập 5: Giải các phương trình: 1) 2) x2.3x + 3x.(12 - 7x) = - x3 + 8x2 - 19x + 12 3) x2.3x - 1 + x.(3x - 2x) = 2(2x - 3x - 1) HD: 1). Đk: x > 3 Chia 2 vế cho x - 2 > 0 Khi đó ta có (1) + Hàm số vế trái đồng biến + Hàm số vế phải nghịch biến Như vậy (2) có nghiệm duy nhất. Vì f(11) = g(11) nên ta có nghiệm là x = 11 2). x2.3x + 3x.(12 - 7x) = - x3 + 8x2 - 19x + 12 3x . (x2- 7x + 12) + (x - 1). (x2- 7x + 12) 3). x2.3x - 1 + x.(3x - 2x) = 2(2x - 3x - 1) 3x-1 (x + 1).(x + 2) - 2x .(x + 2) = 0 nghiệm x = - 2 và x = 1 V. Phương pháp bất đẳng thức: Bổ đề: Xét hàm số f(x) = g(x) (1) Nếu hoặc thì (1) có nghiệmkhi f(x) = g(x) = k Bài tập 1: Giải các phương trình: 1) 2) 3) HD: 1). (1) Đk: x > 2 (1) (1’) + TH 1: VT 0 VP 0 Phương trình (1’) xảy ra khi VT = 0 tức x = 3 + TH2: 2 0 VP < 0 Phương trình (1’) vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm x = 3. 2). (2) Đk: x > 1 (2) (2’) Ta có VT 2 VP 2 Khi đó (2’) xảy ra khi VT = VP = 2 hay x = 3 Vậy phương trình có nghiệm x = 3. 3). (3) Đk: x2 - 1 > 0 (3) x = 3. Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de.doc

Đề thi liên quan

Đề 7 thi Kỳ thi trung học phổ thông quốc gia 2016 môn thi: Toán thời gian làm bài: 180 phút
Lượt xem: 862 Lượt tải: 0
Đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 môn thi: Toán thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Lượt xem: 876 Lượt tải: 0
Kỳ thi khảo sát chất lượng lớp 12 thpt năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán 12 thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Lượt xem: 839 Lượt tải: 0
Đề thi thử đại học, cao đẳng 2012 môn thi : Toán (đề 56)
Lượt xem: 897 Lượt tải: 0
Đề khảo sát kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT lần 1 năm 2022 môn Toán Lớp 12 - Mã đề thi 224
Lượt xem: 583 Lượt tải: 0
Đề thi thử thpt quốc gia lần 2 năm học 2015 - 2016 môn: Toán, lớp 12 thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Lượt xem: 803 Lượt tải: 0
Đề kiểm tra 15 phút môn Toán Lớp 12 - Chương 3
Lượt xem: 704 Lượt tải: 0
Kì thi khảo sát chất lượng lớp 12 môn toán khối b và d thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Lượt xem: 820 Lượt tải: 0
Kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm học 2016. Môn thi: Toán lớp 12 thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Lượt xem: 905 Lượt tải: 0
Đề thi thử quốc gia năm 2015 môn thi: Toán thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Lượt xem: 1014 Lượt tải: 0