Cơ Học Lý Thuyết – Phần 1: Phương Trình Của Chuyển động. Nguyên ...

Trang chủ » Công Thức Hàm Lagrange » Cơ Học Lý Thuyết – Phần 1: Phương Trình Của Chuyển động. Nguyên ...

Có thể bạn quan tâm

Bậc tự do (degrees of freedom): là số đại lượng độc lập cần để xác định một cách đơn trị vị trí của hệ cơ học. Ví dụ, một hạt bay trong không gian 3 chiều thì có số bậc tự do là 3, hệ gồm N hạt như vậy thì số bậc tự do là 3N. Một ví dụ khác, một cái quả tạ bay trong không trung, 1 đầu tạ là tự do, nhưng đầu còn lại thì ko hoàn toàn độc lập, nó liên hệ với đầu kia theo công thức khoảng cách (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 = R_{12}^2, nghĩa là biết 5 toạ độ thì toạ độ thứ 6 tính được, do đó số bậc tự do là 5. Nói chung khái niệm này để biết thế đã, chưa quá quan trọng.

Nguyên lý tác dụng tối thiểu (the principle of least action, or Hamilton’s principle):

Có thể nói nguyên lý tác dụng tối thiểu là tiên đề của cơ học lý thuyết. Giống như tiên đề Euclid trong toán học, phải khẳng định được chỉ tồn tại duy nhất 1 đường thẳng đi qua điểm cho trước mà song song với đường thẳng khác, thì mọi định lý hình học mới nghiệm đúng được. Thì ở đây cũng vậy, khi chấp nhận nó làm tiên đề, thì các phương trình vật lý về sự chuyển động (ở tầm mức cơ học cổ điển thôi) chứng minh được và thống nhất với nhau thành một bức tranh chung. Ngay cả phương trình F=ma nổi tiếng trong định luật 3 của Newton được chứng minh từ nguyên lý này mà mình sẽ trình bày tiếp theo đây.

Theo nguyên lý tác dụng tối thiểu thì từng hệ cơ học được đặc trưng bởi một hàm xác định gọi là hàm Lagrange L (q, \dot{q}, t). Chúng ta cùng làm quen chút với cách viết này.

Ở đây q chính là toạ độ, tương đương với x, y, z ấy, nhưng thay vì viết x1, y1, z1, x2, y2, z2, … thì đặt chung nó thành q_i (1<=i<=s với s là số bậc tự do của hệ). Một cách tổng quát, ta viết gọn là q thôi chứ đầy đủ ra hàm Lagrange phụ thuộc vào tất cả các tham số toạ độ từ q1 đến qs.

\dot{q} là vận tốc. Cách viết của kí hiệu này là có dấu chấm trên đầu chữ q đấy nhé. Tương tự như toạ độ, có bao nhiêu toạ độ thì có bấy nhiêu đại lượng vận tốc.

Và đại lượng cuối cùng đó chính là thời gian t. Như vậy hàm Lagrange đặc trưng bởi 3 nhóm đại lượng vật lý đặc trưng cho sự chuyển động: vị trí, vận tốc và thời điểm.

Nguyên lý tác dụng tối thiểu phát biểu rằng, một hệ chuyển động từ vị trí 1 ở thời điểm t1 sang vị trí 2 ở thời điểm t2 sao cho tích phân \displaystyle S=\int^{t_2}_{t_1} L(q, \dot{q}, t) \,dt có giá trị nhỏ nhất. Hàm L là hàm Lagrange (Lagrangian), tích phân S trên được gọi là tích phân tác dụng (action). Bây giờ chúng ta sẽ giải ra xem để tích phân S đạt giá trị nhỏ nhất thì cần thoả mãn điều kiện gì.

Giả sử q=q(t) là hàm mà tích phân S nhận giá trị tối thiểu. Điều đó có nghĩa là S sẽ tăng lên một lượng \delta{S} nếu có bất kỳ lượng thay đổi \delta{q(t)} nào (delta(q(t)) là biến phân (variation) của hàm q(t)). Cái delta(q) này hiểu như thế nào? Mình ví dụ minh hoạ thế này: có rất nhiều con đường để đi từ A đến B, và ai cũng biết ngắn nhất là đường thẳng nối liền 2 điểm. Bây giờ đặt giả thiết là tồn taị con đường ngoằn ngoèo mà nó vẫn là ngắn nhất, và delta(q) là độ lệch toạ độ giữa đường ngoằn ngoèo với đường thẳng.

Bây giờ xét sự thay đổi của S: \displaystyle \delta{S}=\delta{\int^{t_2}_{t_1} L(q, \dot{q}, t) \,dt} Tiến hành phép vi phân từng phần: \displaystyle \delta{S}=\int^{t_2}_{t_1} \bigg( \frac{\partial{L}}{\partial{q}} \delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}} \delta{\dot{q}} \bigg) \,dt = \int^{t_2}_{t_1} \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q}dt + \int^{t_2}_{t_1} \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \,dt Mà ta có \dot{q}=\frac{d}{dt} q (vận tốc bằng vi phân của toạ độ theo thời gian), suy ra \delta{\dot{q}}=\frac{d}{dt} \delta{q}, thay riêng vào số hạng thứ hai của biểu thức trên: \displaystyle \int^{t_2}_{t_1} \bigg( \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}} \frac{d}{dt} \delta{q} \bigg) \,dt = \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}} \delta{q} \bigg|^{t_2}_{t_1} - \int^{t_2}_{t_1} \frac{d}{dt} \bigg( \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}} \bigg) \delta{q} \,dt Ta có \delta{q(t_1)}=\delta{q(t_2)}=0 vì đây là 2 điểm đích mà ta chọn, ko lệch đi đâu được cả, nên \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}} \delta{q} |^{t_2}_{t_1} = 0. Kết hợp lại số hạng thứ nhất và thứ hai, ta viết lại biểu thức: \displaystyle \delta{S} = \int^{t_2}_{t_1} \frac{\partial{L}}{\partial{q}} \delta{q} \,dt - \int^{t_2}_{t_1} \frac{d}{dt} \bigg( \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}} \bigg) \delta{q} \,dt = \int^{t_2}_{t_1} \bigg[ \frac{\partial{L}}{\partial{q}} - \frac{d}{dt} \bigg( \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}} \bigg) \bigg] \delta{q} \,dt

Điều kiện cần để S đạt tối thiểu là delta(S) bằng 0 \delta{S}=0. Để tích phân bằng 0 với mọi giá trị \delta{q} thì phần còn lại bên trong tích phân phải bằng 0. \displaystyle \frac{d}{dt} \bigg( \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}} \bigg) - \frac{\partial{L}}{\partial{q}} = 0 (*) Biểu thức (*) được gọi là phương trình Lagrange, chính là điều kiện cần để tích phân tác dụng đạt giá trị tối thiểu. Chúng ta sẽ dùng phương trình Lagrange để giải các bài toán chuyển động.

Mở rộng ra với hệ có s bậc tự do thì chúng ta có s phương trình Lagrange: \displaystyle \frac{d}{dt} \bigg( \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}} \bigg) - \frac{\partial{L}}{\partial{q_i}} = 0 (1<=i<=s)

Định luật bảo toàn năng lượng:

Tồn tại các hàm của q_i và \dot{q_i} có giá trị ko đổi khi hệ chuyển động và chỉ phụ thuộc vào điều kiện ban đầu. Các hàm đó được gọi là các tích phân chuyển động (integrals of the motion).

Chúng ta bắt đầu xem xét tích phân chuyển động thứ nhất, đó là năng lượng. Do tính chất đồng nhất của thời gian, hàm Lagrange của hệ kín không phụ thuộc tường minh vào thời gian, khi đó đạo hàm của L ta ko cần quan tâm đến thời gian nữa: \displaystyle dL = \sum_i \frac{\partial{L}}{\partial{q_i}} d q_i + \sum_i \frac{\partial{L}}{\partial{q_i}} d \dot{q_i} \Rightarrow \displaystyle \frac{dL}{dt} = \sum_i \frac{\partial{L}}{\partial{q_i}} \dot{q_i} + \sum_i \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}} \ddot{q_i} (\ddot{q_i} = \frac{d}{dt} \dot{q_i} chính là gia tốc, là đạo hàm của vận tốc theo thời gian.)

Từ các phương trình Lagrange \frac{d}{dt} \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}} - \frac{\partial{L}}{\partial{q_i}} , suy ra \displaystyle \frac{\partial{L}}{\partial{q_i}} = \frac{d}{dt} \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}} Thay vào biểu thức vừa rồi ta được: \displaystyle \frac{dL}{dt} = \sum_i \frac{d}{dt} \bigg( \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}} \bigg) \dot{q_i} + \sum_i \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}} \, \frac{d}{dt} \bigg( \dot{q_i} \bigg) = \sum_i \frac{d}{dt} \bigg( \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}} \dot{q_i} \bigg) \displaystyle \Rightarrow \frac{d}{dt} \bigg( \sum_i \dot{q_i} \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}} - L \bigg) = 0 suy ra đại lượng \displaystyle \sum_i \dot{q_i} \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}} - L = E có giá trị là một hằng số.

Đại lượng E ko đổi đó được gọi là năng lượng của hệ cơ học.

Đọc thêm trong sách, các bạn sẽ biết rằng \displaystyle L = T - U , trong đó \displaystyle T = \sum_a \frac{m_a v_a^2}{2} là động năng, \displaystyle U(\vec{r_1}, \vec{r_2}, \ldots , \vec{r_a}, \ldots) là thế năng (nghĩa là hàm L là hiệu của động năng và thế năng). (mình ko trình bày vì dài dòng ko cần thiết, các bạn tự đọc)

Thay hàm L vào đại lượng E ở trên, đổi chỉ số i sang cùng chỉ số a (a ở đây là số hạt điểm tập hợp nên vật, ko phải số chiều), ta rút ra: \displaystyle E = \sum_a \frac{m_a v_a^2}{2} + U(\vec{r_1}, \vec{r_2}, \ldots , \vec{r_a}, \ldots) hay \displaystyle E = T + U . Năng lượng E của hệ bằng tổng động năng cộng thế năng.

Định luật bảo toàn xung lượng:

Do tính chất đồng nhất của không gian, nếu dịch chuyển cả hệ đi một đoạn theo vector \vec{\varepsilon}, tức là \vec{r_a} = \vec{r_a} + \vec{\varepsilon} , thì ta vẫn tìm được đại lượng ko đổi.

Bây giờ xét sự thay đổi của hàm Lagrange: \displaystyle \delta{L} = \sum_a \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{r_a}}} \delta{\vec{r_a}} = \varepsilon \sum_a \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{r_a}}} Để \delta{L}=0 với mọi \vec{\varepsilon} thì \displaystyle \sum_a \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{r_a}}} =0 Từ phương trình Lagrange \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{r_a}}} = \frac{d}{dt} \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{v_a}}} suy ra: \displaystyle \sum_a \frac{d}{dt} \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{v_a}}} = \frac{d}{dt} \sum_a \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{v_a}}} = 0 Như vậy đại lượng \displaystyle \vec{p} = \sum_a \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{v_a}}} = 0 là ko thay đổi trong quá trình chuyển động. Vector \vec{p} được gọi là xung lượng của hệ.

\displaystyle \sum_a \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{r_a}}} = \sum_a \bigg( -\frac{\partial{U}}{\partial{\vec{r_a}}} \bigg) = \sum_a \vec{F_a} = 0 Tổng các lực tác động lên tất cả các hạt của hệ kín bằng 0. Đây cũng chính là ý nghĩa của định luật 3 Newton, khi xét một trường hợp riêng hệ tạo bởi 2 hạt, thì lực cân bằng với phản lực.

Mở rộng ra với toạ độ suy rộng: \displaystyle p_i = \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}} \qquad ; \qquad F_i = \frac{\partial{L}}{\partial{q_i}} Kết hợp với phương trình Lagrange ta rút ra kết quả: \displaystyle F_i = \frac{\partial{L}}{\partial{q_i}} = \frac{d}{dt} \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}} = \frac{d}{dt} p_i = \dot{p_i} \quad \Rightarrow \quad \dot{p_i} = F_i

Định luật bảo toàn mômen xung lượng:

Chúng ta vừa xem xét định luật bảo toàn xung lượng khi tịnh tiến hệ (tức là bảo toàn hướng và tốc độ), bây giờ chúng ta cùng xem xét hệ quay quanh tâm thì có bảo toàn moment xung lượng không (tức là có bảo toàn sự quay hay không).

Ta đưa vào khái niệm vector yếu tố góc quay vô cùng nhỏ \delta{\vec{\varphi}}. Nó là vector hướng theo trục quay và có giá trị bằng góc quay \delta{\varphi} (áp dụng quy tắc nắm tay phải hay quy tắc đinh ốc để xác định hướng của vector vận tốc góc dựa vào chiều quay).

Đồng thời ta cũng đưa ra khái niệm mới cho số gia của vector bán kính của chuyển động tròn, bằng tích có hướng của vector bán kính với số gia của vector vận tốc góc, \delta{\vec{r}} = \delta{\vec{\varphi}} \times \vec{r} . Số gia vận tốc của chất điểm quay cách trục bán kính r là \delta{\vec{v}} = \delta{\vec{\varphi}} \times \vec{v} . moment xung luong Thay các biểu thức đó vào điều kiện bất biến của hàm Lagrange trong phép quay ta có:

\displaystyle \delta{L} = \sum_a \bigg( \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{r_a}}} \delta{\vec{r_a}} + \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{v_a}}} \delta{\vec{v_a}} \bigg) = \sum_a \bigg( \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{r_a}}} \big[ \delta{\vec{\varphi}} \times \vec{r_a} \big] + \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{v_a}}} \big[ \delta{\vec{\varphi}} \times \vec{v_a} \big] \bigg) = 0

Thay \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{r_a}}} = \dot{\vec{p_a}} và \frac{\partial{L}}{\partial{\vec{v_a}}} = \vec{p_a} vào biểu thức trên ta được:

\displaystyle \sum_a \Big( \dot{\vec{p_a}} \big[ \delta{\vec{\varphi}} \times \vec{r_a} \big] + \vec{p_a} \big[ \delta{\vec{\varphi}} \times \vec{v_a} \big] \Big) = 0

Làm phép giao hoán đối với tích hỗn hợp (a * [b x c] = [a * b] x c = b x [a * c]) ta thu được:

\displaystyle \sum_a \delta{\vec{\varphi}} \big[ \vec{r_a} \times \dot{\vec{p_a}} \big] + \sum_a \delta{\vec{\varphi}} \big[ \vec{v_a} \times \vec{p_a} \big] = \delta{\vec{\varphi}} \, \sum_a \Big( \big[ \vec{r_a} \times \dot{\vec{p_a}} \big] + \big[ \dot{\vec{r_a}} \times \vec{p_a} \big] \Big) = \newline = \delta{\vec{\varphi}} \, \frac{d}{dt} \sum_a \big[ \vec{r_a} \times \vec{p_a} \big] = 0

Vì vector yếu tố góc \delta{\vec{\varphi}} chọn tuỳ ý nên phần còn lại:

\displaystyle \frac{d}{dt} \sum_a \big[ \vec{r_a} \times \vec{p_a} \big] = 0

suy ra đại lượng \displaystyle \vec{M} = \sum_a \big[ \vec{r_a} \times \vec{p_a} \big] không bị thay đổi theo thời gian, hay nói cách khác, ta gọi \vec{M} là moment xung lượng, được bảo toàn.

Moment xung lượng phụ thuộc vào r, vậy thay đổi hệ quy chiếu đi, tức là các vector bán kính cộng thêm vector khoảng cách \vec{A}, ta xem moment xung lượng thay đổi như thế nào. Thay \vec{r_a} = \vec{r'_a} + \vec{A} vào biểu thức \vec{M} ta rút ra: \displaystyle \vec{M} = \vec{M'} + [\vec{A} \times \vec{P}]

Tương tự xem xét một hệ quy chiếu khác chuyển động đều, tức là \vec{v_a} = \vec{v'_a} + \vec{V} , ta cũng rút ra: \displaystyle \vec{M} = \vec{M'} + \sum_a m_a [\vec{r_a} \times \vec{V}]

Chia sẻ:

  • Twitter
  • Facebook
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Công Thức Hàm Lagrange