Đa Thức Nội Suy Lagrange - Vườn Toán

Trang chủ » Công Thức Hàm Lagrange » Đa Thức Nội Suy Lagrange - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Đa thức nội suy Lagrange

Hôm nay chúng ta sẽ tiếp tục học về công thức nội suy cho đa thức. Kỳ trước, chúng ta đã học về công thức nội suy Newton, hôm nay chúng ta học thêm một công thức nội suy khác gọi là công thức nội suy Lagrange. Chúng ta sẽ dùng ví dụ sau đây $$P(x) = 2x^2 - 3x + 3$$ Chúng ta thấy rằng $P(x)$ là một đa thức bậc hai và chúng ta có thể tính được $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12.$$ Bài toán đa thức nội suy là bài toán ngược, tức là, cho biết $P(1) = 2$, $P(2) = 5$, và $P(3) = 12$, tìm lại đa thức $P(x)$. Ở một bài viết trước, tôi có chia xẻ một kinh nghiệm của mình khi làm toán, đó là khi đối diện với một bài toán mà chúng ta không biết phải làm như thế nào, thì việc đầu tiên chúng ta có thể làm là xem xét các trường hợp đặc biệt của bài toán. Chúng ta thử xem với những trường hợp đặc biệt đó thì bài toán có giải quyết được không. Đôi khi bằng cách giải các trường hợp đặc biệt mà chúng ta tìm ra được những kỹ thuật có thể dùng để giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát. Đối với một đa thức $f(x)$ bất kỳ, nếu $f(u) = 0$ thì $u$ là một nghiệm của đa thức, cho nên $f(x)$ sẽ chia hết cho $x-u$, và chúng ta có thể viết được $f(x)$ dưới dạng $$f(x) = (x-u)g(x).$$ Sử dụng tính chất này, chúng ta sẽ làm một bài toán đơn giản sau đây. Tìm đa thức $A(x)$ sao cho $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0.$$ Rõ ràng đa thức $A(x)$ sẽ có dạng $$A(x) = a (x-2)(x-3)$$ Hai điều kiện $A(2) = 0$, $A(3) = 0$ đã thoã mãn. Vậy điều kiện $A(1) = 1$ thì sao? Chúng ta thay $x=1$ vào thì có $$A(1) = a (1-2)(1-3) = 1$$ Vậy chúng ta có thể chọn $$a = \frac{1}{(1-2)(1-3)},$$ và như vậy chúng ta đã tìm được đa thức $$A(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}$$ thõa mãn điều kiện $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0.$$ Tương tự, chúng ta có thể tìm được đa thức $B(x)$ thõa mãn điều kiện $$B(1) = 0, ~~B(2) = 1, ~~B(3) = 0,$$ đó chính là $$B(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}.$$ Và đa thức $C(x)$ thõa mãn điều kiện $$C(1) = 0, ~~C(2) = 0, ~~C(3) = 1$$ chính là $$C(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}.$$ Ở trên, chúng ta đã giải các trường hợp đặc biệt và tìm ra được các đa thức $A(x)$, $B(x)$ và $C(x)$ thõa mãn điều kiện $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0$$ $$B(1) = 0, ~~B(2) = 1, ~~B(3) = 0$$ $$C(1) = 0, ~~C(2) = 0, ~~C(3) = 1$$ Bây giờ, đối với bài toán tổng quát, tìm $P(x)$ sao cho $P(1) = 2$, $P(2) = 5$, $P(3) = 12$ thì sao? Các bạn đã nhìn thấy mối tương quan giữa đa thức $P(x)$ với các đa thức $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ chưa? Rõ ràng nếu chúng ta lấy $$P(x) = 2 ~A(x) + 5 ~B(x) + 12 ~C(x)$$ thì $$P(1) = 2 ~A(1) + 5 ~B(1) + 12 ~C(1) = 2 + 0 + 0 = 2,$$ $$P(2) = 2 ~A(2) + 5 ~B(2) + 12 ~C(2) = 0 + 5 + 0 = 5,$$ $$P(3) = 2 ~A(3) + 5 ~B(3) + 12 ~C(3) = 0 + 0 + 12 = 12.$$ Vậy chúng ta đã tìm ra được đa thức $P(x)$, đó chính là $$P(x) = 2 ~A(x) + 5 ~B(x) + 12 ~C(x)$$ $$ = 2 \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} + 5 \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} + 12 \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}$$ $$ = (x-2)(x-3) - 5(x-1)(x-3)+ 6(x-1)(x-2) = 2x^2 - 3x + 3$$ Các bạn thấy chưa, chính nhờ việc giải bài toán đối với các trường hợp đơn giản là $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$, mà chúng ta đã tìm ra được lời giải cho bài toán tổng quát $P(x)$! Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để phát biểu công thức nội suy Lagrange. Nếu $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, $x_{n+1}$ là $n+1$ số thực khác nhau, và $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$, $y_{n+1}$ là $n+1$ số thực bất kỳ. Chúng ta sẽ tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $n$ thõa mãn điều kiện $$P(x_1) = y_1, ~~P(x_2) = y_2, \dots, ~~P(x_n) = y_n, ~~P(x_{n+1})=y_{n+1}.$$ Như ở trên, chúng ta thấy rằng đa thức $P(x)$ có thể được xây dựng từ các đa thức $P_1(x)$, $P_2(x)$, $\dots$, $P_n(x)$, $P_{n+1}(x)$ như sau $$P(x) = y_1 ~P_1(x) + y_2 ~P_2(x) + \dots + y_n ~P_n(x) + y_{n+1} ~P_{n+1}(x),$$ trong đó, các đa thức $P_1(x)$, $\dots$, $P_{n+1}(x)$ được xác định như sau. $$P_1(x) = \frac{(x-x_2)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_1-x_2)(x_1-x_3) \dots (x_1-x_n)(x_1-x_{n+1})}$$ $$P_2(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_2-x_1)(x_2-x_3) \dots (x_2-x_n)(x_2-x_{n+1})}$$ $$\dots$$ $$P_n(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_{n+1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2) \dots (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n+1})}$$ $$P_{n+1}(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_n)}{(x_{n+1}-x_1)(x_{n+1}-x_2) \dots (x_{n+1}-x_{n-1})(x_{n+1}-x_{n})}$$ Các đa thức này thõa mãn điều kiện $$P_1(x_1) = 1, ~~P_1(x_2) = 0, ~~P_1(x_3) = 0, \dots, ~~P_1(x_n) = 0, ~~P_1(x_{n+1}) = 0.$$ $$P_2(x_1) = 0, ~~P_2(x_2) = 1, ~~P_2(x_3) = 0, \dots, ~~P_2(x_n) = 0, ~~P_2(x_{n+1}) = 0.$$ $$\dots$$ $$P_n(x_1) = 0, ~~P_n(x_2) = 0, ~~P_n(x_3) = 0, \dots, ~~P_n(x_{n}) = 1, ~~P_n(x_{n+1}) = 0.$$ $$P_{n+1}(x_1) = 0, ~~P_{n+1}(x_2) = 0, ~~P_{n+1}(x_3) = 0, \dots, ~~P_{n+1}(x_n) = 0, ~~P_{n+1}(x_{n+1}) = 1.$$ Tóm lại chúng ta có $$P(x) = y_1 \frac{(x-x_2)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_1-x_2)(x_1-x_3) \dots (x_1-x_n)(x_1-x_{n+1})} + y_2 \frac{(x-x_1)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_2-x_1)(x_2-x_3) \dots (x_2-x_n)(x_2-x_{n+1})}$$ $$ + \dots + y_n \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_{n+1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2) \dots (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n+1})} + y_{n+1} \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_n)}{(x_{n+1}-x_1)(x_{n+1}-x_2) \dots (x_{n+1}-x_{n-1})(x_{n+1}-x_{n})},$$ Hay viết ngắn gọn lại như sau $$P(x) = \sum_{i=1}^{n+1} y_i \prod_{j \neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$ Đây chính là công thức nội suy Lagrange. Chúng ta xem xét một vài ví dụ. Ví dụ 1. Tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $4$ sao cho $$P(1) = 1, ~~P(2) = 1, ~~P(3) = 2, ~~P(4) = 3, ~~P(5) = 5$$ Chúng ta dùng công thức nội suy Lagrange $$P(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)} + \frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)}$$ $$+ 2 \frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)} + 3 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)} + 5 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}$$ Ví dụ 2. Tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $4$ sao cho $$P(1) = 1, ~~P(2) = 4, ~~P(3) = 9, ~~P(4) = 16, ~~P(5) = 25$$ Dùng công thức nội suy Lagrange thì $$P(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)} + 4 \frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)}$$ $$+ 9 \frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)} + 16 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)} + 25 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} $$ Khai triển các biểu thức này ra, các bạn có thể kiểm chứng rằng $P(x) = x^2$. Chúng ta tạm dừng ở đây, hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau. Bài tập về nhà. 1. Tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $4$ sao cho $$P(1) = 2, ~~P(2) = 4, ~~P(3) = 6, ~~P(4) = 8, ~~P(5) = 10$$ 2. Dãy số Fibonacci được xác định như sau: $F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+1}=F_n+F_{n−1}$. Do đó $$F_0=0, ~F_1=1, ~F_2=1, ~F_3=2, ~F_4=3, ~F_5=5, ~F_6=8, \dots$$ Cho đa thức $P(x)$ thoã mãn điều kiện sau $$P(0) = 2011^{F_{2012}}, ~~P(1) = 2011^{F_{2011}}, ~~P(2) = 2011^{F_{2010}}, \dots $$ $$P(2010) = 2011^{F_{2}}, ~~P(2011) = 2011^{F_{1}}. $$ Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ phải có bậc lớn hơn hoặc bằng $2011$. Labels: algebra, đa thức, đại số, interpolation, Lagrange, Newton, nội suy, polynomial Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2012 (36)
    • ▼  tháng 10 (3)
      • Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy
      • Đa thức nội suy Lagrange
      • Đa thức nội suy Newton

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » Công Thức Hàm Lagrange