Công Thức Cấp Số Nhân đầy đủ, Chi Tiết Nhất | Toán Lớp 11

Công thức cấp số nhân - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa:

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un = un-1 . q với n∈ℕ*.

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1; 0; 0; … 0; …

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1; u1; … u1;…

- Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân (un) được xác định bởi công thức:

un = u1 . qn - 1 với ∀n∈ℕ,n≥2.

c) Tính chất

Ba số hạng uk - 1, uk, uk + 1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi uk2=uk−1.uk+1 với k≥2.

d) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

Sn=u1+u2+...+un=u11−qn1−q

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1; u1; u1; … u1;.. khi đó Sn = n.u1.

2. Công thức

- Công thức truy hồi: un = un-1 . q với n∈ℕ*.

- Công thức số hạng tổng quát: un = u1 . qn - 1 với ∀n∈ℕ,n≥2.

- Ba số hạng uk - 1, uk, uk + 1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi uk2=uk−1.uk+1 với k≥2.

- Tổng n số hạng đầu tiên: Sn=u11−qn1−q.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3, q = – 2.

a) Tính số hạng thứ 25 của cấp số nhân.

b) Số 49152 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

c) Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Lời giải

a) Số hạng thứ 25 của cấp số cộng: u25 = u1 . q25-1 = 3.(– 2)24 = 3.224.

b) Gọi số hạng thứ k là số 49152, ta có

uk = u1.qk-1 = 49152

⇔3.−2k−1=49152

⇔−2k−1=16384=−214

⇔k=15

Vậy số 49152 là số hạng thứ 15 của cấp số nhân.

c) Tổng 100 số hạng đầu tiên:

S100=u11−qn1−q=3.1−(−2)1001−−2=1−2100

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: u20=8u17u1+u5=272.

a) Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân.

b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

c) Tính tổng S = u1 + u3 + u5 +u7 +…+ u201.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

u20=8u17u1+u5=272⇔u1.q19−8u1q16=0u1+u1q4=272

⇔u1.q16q3−8=0u11+q4=272⇔q3−8=0u11+q4=272

⇔q=2u1=2721+24=16

Vậy u1 = 16 và q = 2.

b) Tổng 100 số hạng đầu tiên:

S100=u11−qn1−q=16.1−21001−2=16.2100−1=2104−16

c) Dãy số là (vn): u1; u3; u5; u7; … u201 là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u1 và công bội q'=u3u1=q2=4.

Dãy (vn) có 201−12+1=101 số hạng

S=u1+u3+u5+u7+… + u201=16.1−41011−4=163.4101−1

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức tính công bội của cấp số nhân

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Công thức phép tịnh tiến

Công thức phép đối xứng tâm