Công Thức Giải Nhanh Hình Học Phẳng Oxy

Công thức 1: Công thức tính nhanh diện tích tam giác trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Trong quá trình làm các bài toàn về diện tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy với một tam giác có sẵn tọa độ của ba đỉnh, ta thường sử dụng công thức tính nhanh sau:

Xét tam giác ABC có $\overrightarrow{AB}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\,\overrightarrow{AC}\left( {{x}_{1}};{{y}_{2}} \right)$ thì ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right|.$

Chứng minh. Ta có:

${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\widehat{BAC}}$

            $=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)}$

$=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\frac{{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}}=\frac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}$

            $=\frac{1}{2}\sqrt{\left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2} \right)\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \right)-{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}} \right)}^{2}}}$

            $=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\left| {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right|$.

Xét tam giác ABC có $\overrightarrow{AB}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\,\overrightarrow{AC}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ thì ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| {{x}_{1}}{{y}_{1}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right|$.

Chứng minh. Ta có:

                                    ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\widehat{BAC}}$

                                            $=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)}$

                                            $=\frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\frac{{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}}=\frac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}$

                                            $=\frac{1}{2}\sqrt{\left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2} \right)\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \right)-{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}} \right)}^{2}}}$

                                            $=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\left| {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right|.$

Công thức 2: Công thức phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng ${{d}_{1}}:{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}$ và ${{d}_{2}}:{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0$ cắt nhau sẽ có hai đường thẳng là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này.

Phương trình đường phân giác có phương trình xác định bởi:

$\frac{{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\pm \frac{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}.$

Công thức 3: Công thức phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

Xét hai đường thẳng cắt nhau ${{d}_{1}},\,{{d}_{2}}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}$. Khi đó nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0$ thì

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}$

Là véctơ chỉ phương của đườngthẳng phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng trên.

$\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}0$ thì

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}$

là véctơ chỉ phương của đường thẳng phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng trên.

$\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}