Công Thức Giải Nhanh Nguyên Hàm - Tích Phân | Tăng Giáp

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Tài liệu > Công thức giải nhanh Nguyên Hàm - Tích Phân

Thảo luận trong 'Tài liệu' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 5/10/17.

Tags:

• công thức giải nhanh
• nguyên hàm và tích phân

1. 

   Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 16/11/14 Bài viết: 4,630 Đã được thích: 282 Điểm thành tích: 83 Giới tính: Nam

   1. Đạo hàm các hàm số thường gặp: $\begin{array}{l} 1/({x^\alpha })' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\\ 2/(\sqrt x )' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\\ 3/\left( {\frac{1}{x}} \right)' = - \frac{1}{{{x^2}}}\\ 4/(\sin x)' = \cos x\\ 5/(\cos x)' = - \sin x\\ 6/(tgx)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ 7/(\cot gx)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\\ 8/({e^x})' = {e^x}\\ 9/({a^x})' = {a^x}\ln a\\ 10/(\ln x)' = \frac{1}{x}\\ 11/({\log _a}x)' = \frac{1}{{x.\ln a}} \end{array}$ $\begin{array}{l} 12/({u^\alpha })' = \alpha .{u^{\alpha - 1}}.u'\\ 13/(\sqrt u )' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\\ 14/\left( {\frac{1}{u}} \right)' = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}\\ 15/(\sin u)' = u'.\cos u\\ 16/(\cos u)' = - u'.\sin u\\ 17/(tgu)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\\ 18/(\cot gu)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\\ 19/({e^u})' = u'{e^u}\\ 20/({a^u})' = u'{a^u}\ln a\\ 21/(\ln u)' = \frac{{u'}}{u}\\ 22/({\log _a}u)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}} \end{array}$ 2. Nguyên hàm các hàm số thường gặp: $\begin{array}{l} \int {dx = x + C} \\ \int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C{\rm{ }}(\alpha \ne 1)\\ \int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\\ \int {\frac{{dx}}{{{x^2}}} = - \frac{1}{x}} + C\\ \int {{e^x}dx = {e^x}} + C \end{array}$ $\begin{array}{l} \int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} + C\\ \int {\cos xdx = \sin x + C} \\ \int {\sin xdx = - \cos x + C} \\ \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = tgx + C\\ \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = - \cot gx + C \end{array}$ Chú ý: $\int {f(ax + b)dx = \frac{1}{a}} F(ax + b) + C$ 3. Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay: -Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng. -Chọn công thức tính diện tích: $\begin{array}{l} S = \int\limits_b^a {\left| {f(x) - g(x)} \right|} dx\\ S = \int\limits_b^a {\left| {f(y) - g(y)} \right|} dy \end{array}$ -Chọn công thức tính thể tích: *Hình phẳng quay quanh trục Ox: $V = \pi \int\limits_b^a {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|} dx$ *Hình phẳng quay quanh trục Oy: $V = \pi \int\limits_b^a {\left| {{f^2}(y) - {g^2}(y)} \right|} dy$ -Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các giao điểm. Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các giao điểm.

   Bài viết mới nhất

   • 72 Phương pháp tọa độ trong không gian11/10/2018
   • 39 chuyên đề số phức hay11/10/2018
   • Công thức mũ và công thức logarit25/06/2018
   • 54 Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng20/06/2018
   • 23 chuyên đề mặt nón, mặt trụ và mặt cầu20/06/2018
   Tăng Giáp, 5/10/17 #1
2. 

   Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 16/11/14 Bài viết: 4,630 Đã được thích: 282 Điểm thành tích: 83 Giới tính: Nam

   I. Nguyên hàm: 1 $\int {dx = x + C} $ 2 $\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} $ $(\alpha \ne - 1)$ 3 $\int {\frac{{dx}}{x}dx = \ln |x| + C} $ $(x \ne 0)$ 4 $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $ 5 $\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} $ $(0 < a \ne 1)$ 6 $\int {\sin xdx = - \cos x + C} $ 7 $\int {\cos xdx = \sin x + C} $ 8 $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = tgx + C} $ $(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi )$ 9 $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - cotgx + C} $ $(x \ne k\pi )$ 2. Một số nguyên hàm khác: * Hàm y =$\frac{a}{{{{(x - \alpha )}^m}}}$ (m$ \ne $1) . Hàm số có dạng : $\frac{{u'}}{{{u^m}}}$ = u'.u-m (m$ \ne $1) với u = x-$\alpha $ Nguyên hàm là : $\int {\frac{a}{{{{(x - \alpha )}^m}}}} dx$ = a. $\frac{{ - 1}}{{(m - 1){{(x - \alpha )}^{m - 1}}}}$ + C * Hàm y = $\frac{{2ax + b}}{{a{x^2} + bx + c}}$ . Đặt t = $a{x^2} + bx + c$ $ \Rightarrow $ t' = 2ax + b Hàm số có dạng : $\frac{{t'}}{t}$ $ \Rightarrow $ Họ nguyên hàm của hàm số là : ln|t| + C = ln|$a{x^2} + bx + c$| + C $ \Rightarrow $ $\int {\frac{{2ax + b}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx = \ln |a{x^2} + bx + c| + C$ * Hàm $y = \frac{1}{{a{x^2} + bx + c}}$ . Ta có các trường hợp sau : + Mẫu số $a{x^2} + bx + c$có 2 nghiệm phân biệt x1,x¬2 và giả sử x1 < x¬2 . Ta có : $a{x^2} + bx + c$= $a(x - {x_1})(x - {x_2})$. Ta có thể viết như sau : $\int {\frac{1}{{a{x^2} + bx + c}}dx} $=$\int {\frac{1}{{a(x - {x_1})(x - {x_2})}}dx} $= $\frac{1}{a}\int {\left[ {\frac{{(x - {x_1}) - (x - {x_2})}}{{(x - {x_1})(x - {x_2})}}} \right]\frac{{dx}}{{{x_2} - {x_1}}}} $ =$\frac{1}{{a({x_2} - {x_1})}}\int {\left[ {\frac{1}{{x - {x_1}}} - \frac{1}{{x - {x_2}}}} \right]} dx$ =$\frac{1}{{a({x_2} - {x_1})}}\ln \left| {\frac{{x - {x_2}}}{{x - {x_1}}}} \right| + C$ + Mẫu số có nghiệm kép : $a{x^2} + bx + c = a{(x - m)^2}$ $\int {\frac{1}{{a{x^2} + bx + c}}dx} = \int {\frac{{dx}}{{a{{(x - m)}^2}}}} = \frac{1}{a}\int {\frac{{dx}}{{{{(x - m)}^2}}}} = \frac{1}{a}\frac{{ - 1}}{{x - m}} + C$ + Mẫu số không có nghiệm (vô nghiệm): $a{x^2} + bx + c = a{(x + m)^2} \pm n$ . Đặt u = ${(x + m)^2}$. Ta có : * $a{x^2} + bx + c = a.{u^2} + n$ $ \Rightarrow $$\int {\frac{1}{{a{u^2} + n}}} dx$ . Đặt $u = \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt a }}tgt$ * $a{x^2} + bx + c = a.{u^2} - n$ $ \Rightarrow $ $\int {\frac{1}{{a{u^2} - n}}} dx$ . Nguyên hàm là : $\int {\frac{1}{{a{u^2} - n}}} dx = \frac{1}{a}\int {\frac{1}{{{u^2} - \frac{n}{a}}}} = \frac{1}{a}\frac{1}{{2\sqrt {\frac{n}{a}} }}\ln \left| {\frac{{u - \sqrt {\frac{n}{a}} }}{{u + \sqrt {\frac{n}{a}} }}} \right| + C$ 3. Họ nguyên hàm của các hàm vô tỉ : 3.1. Hàm số có dạng : $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }}$ ; $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - {k^2}} }}$ * Cách 1 : Đặt $\sqrt {{x^2} + {k^2}} $= -x + t $ \Rightarrow $ t = x + $\sqrt {{x^2} + {k^2}} $ $ \Rightarrow $ dt = $(1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }})dx$= $\frac{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} + x}}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }}dx$ = $\frac{t}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }}dx$ $ \Rightarrow $$\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }} = \frac{{dt}}{t}$ . Do đó : $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }} = \int {\frac{{dt}}{t} = \ln |t| + C = \ln |x + } } \sqrt {{x^2} + {k^2}} | + C$ *Cách 2: Biến đổi : $\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }} = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} (x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} )}}$ ( Nhân tử và mẫu với $x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} $) Ta có : $f(x) = \frac{{\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }} + 1}}{{(x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} )}}$ ( Chia tử và mẫu cho $\sqrt {{x^2} + {k^2}} $) Đặt $t = x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} $ . Suy ra : $\frac{{dt}}{t} = (1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }})dx$ $ \Rightarrow $ $f(x)dx = $$\frac{{dt}}{t}$ Vậy nguyên hàm là : $\int {f(x)dx} = \ln |t| + C = \ln |x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} | + C$ Tương tự : $\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - {k^2}} }}dx} $$ = \ln |x + \sqrt {{x^2} - {k^2}} | + C$. 3.2. Hàm số dạng : $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{k^2} - {x^2}} }}$ và $f(u) = \frac{1}{{\sqrt {{k^2} - {u^2}} }}$ Đặt $x = k\sin t$ với $x \in {\rm{[}}\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ (hoặc $x = k\cos t$ với $x \in {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}$) $ \Rightarrow $$dx = k\cos tdt$ $ \Rightarrow $ $\int {\frac{1}{{\sqrt {{k^2} - {x^2}} }}} dx = \int {\frac{{k\cos t.dt}}{{\sqrt {{k^2}(1 - \sin {t^2})} }}} $ =$\int {\frac{{k\cos t.dt}}{{k\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}t)} }}} = \int {\frac{{\cos t.dt}}{{|\cos t|}}} $ Vì $t \in {\rm{[}}\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ nên cost > 0 $ \Rightarrow $ $\int {\frac{{\cos t.dt}}{{|\cos t|}}} = \int {\frac{{\cos t}}{{\cos t}}} dt = \int {dt} = t + C$ Tương tự: $\int {\frac{1}{{\sqrt {{k^2} - {u^2}} }}} du$= $t + C$ 3.3. Hàm số dạng : $f(x) = \sqrt {{x^2} - {k^2}} $ ; $f(u) = \sqrt {{u^2} - {k^2}} $ Nguyên hàm là : $\int {\sqrt {{x^2} - {k^2}} dx} = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} - {k^2}} + \frac{{{k^2}}}{2}\ln |x + \sqrt {{x^2} - {k^2}} | + C$ Cách khác: đặt $x = \frac{k}{{\sin t}}$ hoặc $x = \frac{k}{{{\rm{cos}}t}}$ với $t \in {\rm{[}}0;\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ 3.4. Hàm số dạng : $f(x) = \sqrt {a{x^2} + bx + {c^{}}} $ $ \Rightarrow $ Ta biến đổi về một trong hai dạng sau: $f(x) = \sqrt {{u^2} - {k^2}} $ hoặc $f(x) = \sqrt {{u^2} + {k^2}} $ rồi áp dụng theo mục 3. 3.5. Hàm số dạng : $f(x) = \sqrt {{x^2} + {k^2}} $ và $f(u) = \sqrt {{u^2} + {k^2}} $ Đặt $x = ktgt$ , $u = ktgt$ với $t \in {\rm{[ - }}\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ 3.6. Hàm số dạng : $f(x) = \frac{1}{{{x^2} - {m^2}}}$hoặc $f(u) = \frac{1}{{{u^2} - {m^2}}}$ Phân tích thành : $f(x) = \frac{1}{{{x^2} - {m^2}}}$=$\frac{1}{{x - m}} + \frac{1}{{x + m}}$ rồi áp dụng theo công thức đã học. 3.7. Hàm số dạng : $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {m^2}} }}$ hoặc $f(u) = \frac{1}{{\sqrt {{u^2} + {m^2}} }}$ + Đặt $x = mtgt$ , $u = mtgt$ với $t \in {\rm{[ - }}\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ $ \Rightarrow $ $\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {m^2}} }}} dx = \int {\frac{1}{{\sqrt {{m^2}(t{g^2}t + 1)} }}} .\frac{m}{{{{\cos }^2}t}}dt = \int {\frac{{|c{\rm{ost}}|}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{t}}}}} dx$ Vì $t \in {\rm{[ - }}\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ nên $\int {\frac{{|c{\rm{ost}}|}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{t}}}}} dx = \int {\frac{{c{\rm{ost}}}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} dt$ + Đặt tiếp : $u = \sin t$$ \Rightarrow $ du = costdt .Do đó : $\int {\frac{{c{\rm{ost}}}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} dt = \int {\frac{1}{{1 - {u^2}}}} du$$ = - \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{u - 1}}{{u + 1}}} \right| + C$ 4. Các trường hợp tổng quát cần chú ý : a. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với cosx : Đặt: t = sinx b. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx : Đặt: t = cosx c. Trường hợp: f(x) là hàm chẵn đới với sinx và cosx : R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx) d. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx và cosx : Đặt: t = tgx e.Trường hợp: f(x) chỉ chứa sinx hoặc cosx : Đặt $t = tg\frac{x}{2}$ * Phương pháp chung: A. Dạng f(x) = sin2nx.cos2mx : (a) $\int {{{\sin }^{2n}}xdx = \int {(\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} } {)^2}dx$ (b) $\int {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{2m}}xdx = \int {(\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} } {)^2}dx$ (c) $\int {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^{{\rm{2n}}}}xc{\rm{o}}{{\rm{s}}^{2m}}xdx} $ . Thay cos2x = 1 – sin2x hoặc thay sin2x = 1 – cos2x rối chuyển về dạng (a) hoặc (b). B. Dạng : $f(x) = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^{{\rm{2n}}}}x + a}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{{\rm{2m}}}} + b}}$. Đặt t = tgx

   Tăng Giáp, 5/10/17 #2

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content

Chia sẻ trang này

Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập

Thống kê diễn đàn

Đề tài thảo luận: 6,071 Bài viết: 12,735 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: duychien.saigonapp

Chủ đề mới nhất

• [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20
• Hướng dẫn viết dàn ý bài thơ... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài kí Ai đã đặt... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích truyện Vợ chồng... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài thơ tây tiến... Tăng Giáp posted 6/8/20

Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Tài liệu >