Công Thức Giải Nhanh Nguyên Hàm - Tích Phân | Tăng Giáp

• Home
• Forums New posts Search forums
• Lớp 12 Vật Lí 12
• What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity
• Members Current visitors New profile posts Search profile posts

Đăng nhập Có gì mới? Tìm kiếm

Tìm kiếm

Everywhere Threads This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề Note By: Search Tìm nâng cao…

• New posts
• Search forums

Menu Đăng nhập Install the app Install How to install the app on iOS

Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.

Note: This feature may not be available in some browsers.

• Home
• Forums
• Lớp 12
• Toán Học 12
• Tài liệu

You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. Công thức giải nhanh Nguyên Hàm - Tích Phân

• Thread starter Thread starter Tăng Giáp
• Ngày gửi Ngày gửi 5/10/17
• Tags Tags công thức giải nhanh nguyên hàm và tích phân

Tăng Giáp

Administrator

Thành viên BQT 1. Đạo hàm các hàm số thường gặp: $\begin{array}{l} 1/({x^\alpha })' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\\ 2/(\sqrt x )' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\\ 3/\left( {\frac{1}{x}} \right)' = - \frac{1}{{{x^2}}}\\ 4/(\sin x)' = \cos x\\ 5/(\cos x)' = - \sin x\\ 6/(tgx)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ 7/(\cot gx)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\\ 8/({e^x})' = {e^x}\\ 9/({a^x})' = {a^x}\ln a\\ 10/(\ln x)' = \frac{1}{x}\\ 11/({\log _a}x)' = \frac{1}{{x.\ln a}} \end{array}$ $\begin{array}{l} 12/({u^\alpha })' = \alpha .{u^{\alpha - 1}}.u'\\ 13/(\sqrt u )' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\\ 14/\left( {\frac{1}{u}} \right)' = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}\\ 15/(\sin u)' = u'.\cos u\\ 16/(\cos u)' = - u'.\sin u\\ 17/(tgu)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\\ 18/(\cot gu)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\\ 19/({e^u})' = u'{e^u}\\ 20/({a^u})' = u'{a^u}\ln a\\ 21/(\ln u)' = \frac{{u'}}{u}\\ 22/({\log _a}u)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}} \end{array}$ 2. Nguyên hàm các hàm số thường gặp: $\begin{array}{l} \int {dx = x + C} \\ \int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C{\rm{ }}(\alpha \ne 1)\\ \int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\\ \int {\frac{{dx}}{{{x^2}}} = - \frac{1}{x}} + C\\ \int {{e^x}dx = {e^x}} + C \end{array}$ $\begin{array}{l} \int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} + C\\ \int {\cos xdx = \sin x + C} \\ \int {\sin xdx = - \cos x + C} \\ \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = tgx + C\\ \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = - \cot gx + C \end{array}$ Chú ý: $\int {f(ax + b)dx = \frac{1}{a}} F(ax + b) + C$ 3. Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay: -Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng. -Chọn công thức tính diện tích: $\begin{array}{l} S = \int\limits_b^a {\left| {f(x) - g(x)} \right|} dx\\ S = \int\limits_b^a {\left| {f(y) - g(y)} \right|} dy \end{array}$ -Chọn công thức tính thể tích: *Hình phẳng quay quanh trục Ox: $V = \pi \int\limits_b^a {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|} dx$ *Hình phẳng quay quanh trục Oy: $V = \pi \int\limits_b^a {\left| {{f^2}(y) - {g^2}(y)} \right|} dy$ -Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các giao điểm. Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các giao điểm.

Tăng Giáp

Administrator

Thành viên BQT I. Nguyên hàm: 1 $\int {dx = x + C} $ 2 $\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} $ $(\alpha \ne - 1)$ 3 $\int {\frac{{dx}}{x}dx = \ln |x| + C} $ $(x \ne 0)$ 4 $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $ 5 $\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} $ $(0 < a \ne 1)$ 6 $\int {\sin xdx = - \cos x + C} $ 7 $\int {\cos xdx = \sin x + C} $ 8 $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = tgx + C} $ $(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi )$ 9 $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - cotgx + C} $ $(x \ne k\pi )$ 2. Một số nguyên hàm khác: * Hàm y =$\frac{a}{{{{(x - \alpha )}^m}}}$ (m$ \ne $1) . Hàm số có dạng : $\frac{{u'}}{{{u^m}}}$ = u'.u-m (m$ \ne $1) với u = x-$\alpha $ Nguyên hàm là : $\int {\frac{a}{{{{(x - \alpha )}^m}}}} dx$ = a. $\frac{{ - 1}}{{(m - 1){{(x - \alpha )}^{m - 1}}}}$ + C * Hàm y = $\frac{{2ax + b}}{{a{x^2} + bx + c}}$ . Đặt t = $a{x^2} + bx + c$ $ \Rightarrow $ t' = 2ax + b Hàm số có dạng : $\frac{{t'}}{t}$ $ \Rightarrow $ Họ nguyên hàm của hàm số là : ln|t| + C = ln|$a{x^2} + bx + c$| + C $ \Rightarrow $ $\int {\frac{{2ax + b}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx = \ln |a{x^2} + bx + c| + C$ * Hàm $y = \frac{1}{{a{x^2} + bx + c}}$ . Ta có các trường hợp sau : + Mẫu số $a{x^2} + bx + c$có 2 nghiệm phân biệt x1,x¬2 và giả sử x1 < x¬2 . Ta có : $a{x^2} + bx + c$= $a(x - {x_1})(x - {x_2})$. Ta có thể viết như sau : $\int {\frac{1}{{a{x^2} + bx + c}}dx} $=$\int {\frac{1}{{a(x - {x_1})(x - {x_2})}}dx} $= $\frac{1}{a}\int {\left[ {\frac{{(x - {x_1}) - (x - {x_2})}}{{(x - {x_1})(x - {x_2})}}} \right]\frac{{dx}}{{{x_2} - {x_1}}}} $ =$\frac{1}{{a({x_2} - {x_1})}}\int {\left[ {\frac{1}{{x - {x_1}}} - \frac{1}{{x - {x_2}}}} \right]} dx$ =$\frac{1}{{a({x_2} - {x_1})}}\ln \left| {\frac{{x - {x_2}}}{{x - {x_1}}}} \right| + C$ + Mẫu số có nghiệm kép : $a{x^2} + bx + c = a{(x - m)^2}$ $\int {\frac{1}{{a{x^2} + bx + c}}dx} = \int {\frac{{dx}}{{a{{(x - m)}^2}}}} = \frac{1}{a}\int {\frac{{dx}}{{{{(x - m)}^2}}}} = \frac{1}{a}\frac{{ - 1}}{{x - m}} + C$ + Mẫu số không có nghiệm (vô nghiệm): $a{x^2} + bx + c = a{(x + m)^2} \pm n$ . Đặt u = ${(x + m)^2}$. Ta có : * $a{x^2} + bx + c = a.{u^2} + n$ $ \Rightarrow $$\int {\frac{1}{{a{u^2} + n}}} dx$ . Đặt $u = \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt a }}tgt$ * $a{x^2} + bx + c = a.{u^2} - n$ $ \Rightarrow $ $\int {\frac{1}{{a{u^2} - n}}} dx$ . Nguyên hàm là : $\int {\frac{1}{{a{u^2} - n}}} dx = \frac{1}{a}\int {\frac{1}{{{u^2} - \frac{n}{a}}}} = \frac{1}{a}\frac{1}{{2\sqrt {\frac{n}{a}} }}\ln \left| {\frac{{u - \sqrt {\frac{n}{a}} }}{{u + \sqrt {\frac{n}{a}} }}} \right| + C$ 3. Họ nguyên hàm của các hàm vô tỉ : 3.1. Hàm số có dạng : $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }}$ ; $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - {k^2}} }}$ * Cách 1 : Đặt $\sqrt {{x^2} + {k^2}} $= -x + t $ \Rightarrow $ t = x + $\sqrt {{x^2} + {k^2}} $ $ \Rightarrow $ dt = $(1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }})dx$= $\frac{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} + x}}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }}dx$ = $\frac{t}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }}dx$ $ \Rightarrow $$\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }} = \frac{{dt}}{t}$ . Do đó : $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }} = \int {\frac{{dt}}{t} = \ln |t| + C = \ln |x + } } \sqrt {{x^2} + {k^2}} | + C$ *Cách 2: Biến đổi : $\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }} = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} (x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} )}}$ ( Nhân tử và mẫu với $x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} $) Ta có : $f(x) = \frac{{\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }} + 1}}{{(x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} )}}$ ( Chia tử và mẫu cho $\sqrt {{x^2} + {k^2}} $) Đặt $t = x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} $ . Suy ra : $\frac{{dt}}{t} = (1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }})dx$ $ \Rightarrow $ $f(x)dx = $$\frac{{dt}}{t}$ Vậy nguyên hàm là : $\int {f(x)dx} = \ln |t| + C = \ln |x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} | + C$ Tương tự : $\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - {k^2}} }}dx} $$ = \ln |x + \sqrt {{x^2} - {k^2}} | + C$. 3.2. Hàm số dạng : $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{k^2} - {x^2}} }}$ và $f(u) = \frac{1}{{\sqrt {{k^2} - {u^2}} }}$ Đặt $x = k\sin t$ với $x \in {\rm{[}}\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ (hoặc $x = k\cos t$ với $x \in {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}$) $ \Rightarrow $$dx = k\cos tdt$ $ \Rightarrow $ $\int {\frac{1}{{\sqrt {{k^2} - {x^2}} }}} dx = \int {\frac{{k\cos t.dt}}{{\sqrt {{k^2}(1 - \sin {t^2})} }}} $ =$\int {\frac{{k\cos t.dt}}{{k\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}t)} }}} = \int {\frac{{\cos t.dt}}{{|\cos t|}}} $ Vì $t \in {\rm{[}}\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ nên cost > 0 $ \Rightarrow $ $\int {\frac{{\cos t.dt}}{{|\cos t|}}} = \int {\frac{{\cos t}}{{\cos t}}} dt = \int {dt} = t + C$ Tương tự: $\int {\frac{1}{{\sqrt {{k^2} - {u^2}} }}} du$= $t + C$ 3.3. Hàm số dạng : $f(x) = \sqrt {{x^2} - {k^2}} $ ; $f(u) = \sqrt {{u^2} - {k^2}} $ Nguyên hàm là : $\int {\sqrt {{x^2} - {k^2}} dx} = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} - {k^2}} + \frac{{{k^2}}}{2}\ln |x + \sqrt {{x^2} - {k^2}} | + C$ Cách khác: đặt $x = \frac{k}{{\sin t}}$ hoặc $x = \frac{k}{{{\rm{cos}}t}}$ với $t \in {\rm{[}}0;\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ 3.4. Hàm số dạng : $f(x) = \sqrt {a{x^2} + bx + {c^{}}} $ $ \Rightarrow $ Ta biến đổi về một trong hai dạng sau: $f(x) = \sqrt {{u^2} - {k^2}} $ hoặc $f(x) = \sqrt {{u^2} + {k^2}} $ rồi áp dụng theo mục 3. 3.5. Hàm số dạng : $f(x) = \sqrt {{x^2} + {k^2}} $ và $f(u) = \sqrt {{u^2} + {k^2}} $ Đặt $x = ktgt$ , $u = ktgt$ với $t \in {\rm{[ - }}\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ 3.6. Hàm số dạng : $f(x) = \frac{1}{{{x^2} - {m^2}}}$hoặc $f(u) = \frac{1}{{{u^2} - {m^2}}}$ Phân tích thành : $f(x) = \frac{1}{{{x^2} - {m^2}}}$=$\frac{1}{{x - m}} + \frac{1}{{x + m}}$ rồi áp dụng theo công thức đã học. 3.7. Hàm số dạng : $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {m^2}} }}$ hoặc $f(u) = \frac{1}{{\sqrt {{u^2} + {m^2}} }}$ + Đặt $x = mtgt$ , $u = mtgt$ với $t \in {\rm{[ - }}\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ $ \Rightarrow $ $\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {m^2}} }}} dx = \int {\frac{1}{{\sqrt {{m^2}(t{g^2}t + 1)} }}} .\frac{m}{{{{\cos }^2}t}}dt = \int {\frac{{|c{\rm{ost}}|}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{t}}}}} dx$ Vì $t \in {\rm{[ - }}\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ nên $\int {\frac{{|c{\rm{ost}}|}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{t}}}}} dx = \int {\frac{{c{\rm{ost}}}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} dt$ + Đặt tiếp : $u = \sin t$$ \Rightarrow $ du = costdt .Do đó : $\int {\frac{{c{\rm{ost}}}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} dt = \int {\frac{1}{{1 - {u^2}}}} du$$ = - \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{u - 1}}{{u + 1}}} \right| + C$ 4. Các trường hợp tổng quát cần chú ý : a. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với cosx : Đặt: t = sinx b. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx : Đặt: t = cosx c. Trường hợp: f(x) là hàm chẵn đới với sinx và cosx : R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx) d. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx và cosx : Đặt: t = tgx e.Trường hợp: f(x) chỉ chứa sinx hoặc cosx : Đặt $t = tg\frac{x}{2}$ * Phương pháp chung: A. Dạng f(x) = sin2nx.cos2mx : (a) $\int {{{\sin }^{2n}}xdx = \int {(\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} } {)^2}dx$ (b) $\int {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{2m}}xdx = \int {(\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} } {)^2}dx$ (c) $\int {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^{{\rm{2n}}}}xc{\rm{o}}{{\rm{s}}^{2m}}xdx} $ . Thay cos2x = 1 – sin2x hoặc thay sin2x = 1 – cos2x rối chuyển về dạng (a) hoặc (b). B. Dạng : $f(x) = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^{{\rm{2n}}}}x + a}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{{\rm{2m}}}} + b}}$. Đặt t = tgx You must log in or register to reply here. Share: Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

Trending content

• Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.'
  • Tăng Giáp
  • 8/12/18
  Trả lời: 0
• Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp'
  • Minh Toán
  • 10/11/17
  Trả lời: 148
• H Thread 'Cực đại và cực tiểu của hàm số'
  • Huy Hoàng
  • 22/2/16
  Trả lời: 179
• V Thread 'Bài 2. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 98
• H Thread 'Chuyên đề mặt nón tròn xoay'
  • Huy Hoàng
  • 22/1/15
  Trả lời: 102
• V Thread 'Bài 5. CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 100
• Thread 'Giải phương trình logarit'
  • Doremon
  • 2/12/14
  Trả lời: 96
• Thread 'Mặt trụ tròn xoay'
  • Doremon
  • 24/1/15
  Trả lời: 97
• Thread 'SỰ ĐỒNG BIẾN ,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ'
  • Doremon
  • 4/12/14
  Trả lời: 165
• Thread 'SỐ PHỨC'
  • AnhNguyen
  • 14/4/16
  Trả lời: 84

Latest posts

• Sóng dừng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Giao Thoa Sóng Cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Sóng điện từ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Bài 22: Sóng điện từ
• Sóng ngang. Sóng dọc. Sự truyền năng lượng của sóng cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Mô tả sóng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Dao động tắt dần - dao động cưỡng bức
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Động năng. Thế năng. Sự chuyển hoá năng lượng trong dao động điều hoà
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Bài 5. Điện thế
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Bài 6. Tụ Điện
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát
  • Latest: Tăng Giáp
  • 22/11/25
  Bài 01. Phương trình

Members online

No members online now. Total: 19 (members: 0, guests: 19)

Share this page

Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

• Home
• Forums
• Lớp 12
• Toán Học 12
• Tài liệu

Back Top