Công Thức Tính độ Dài đường Trung Tuyến

Có thể bạn quan tâm

GiaiToan.com biên soạn và đăng tải tài liệu Công thức độ dài đường trung tuyến bao gồm các kiến thức: định nghĩa, tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều và công thức tính đường trung tuyến, giúp các em học sinh củng cố, nắm chắc kiến thức cơ bản Toán 10. Chúc các bạn học tập tốt!

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

A. Đường trung tuyến
B. Tính chất đường trung tuyến
- a. Tính chất đường trung tuyến của tam giác
- b. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông
- c. Đường trung tuyến trong tam giác cân
C. Công thức tính đường trung tuyến
D. Bài tập tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác

A. Đường trung tuyến

- Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó.

- Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

B. Tính chất đường trung tuyến

a. Tính chất đường trung tuyến của tam giác

- Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm được gọi là trọng tâm.

- Khoảng cách từ trong tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng $\frac{2}{3}$ đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.

- Khoảng cách từ trong tâm đến trung điểm mỗi cạnh bằng $\frac{1}{3}$ đường trung tuyến tương ứng với điểm đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, có D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC.

- Gọi G là giao điểm của các đường thẳng BD, AF, CE suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có các tính chất sau:

$\frac{{CG}}{{CE}} = \frac{{AG}}{{AF}} = \frac{{BG}}{{BD}} = \frac{2}{3}$

$\frac{{GE}}{{CE}} = \frac{{GF}}{{AF}} = \frac{{GD}}{{BD}} = \frac{1}{3}$

b. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

- Đường trung tuyến của tam giác vuông có các tính chất chung của đường trung tuyến trong tam giác thường. Ngoài ra ta có các tính chất đặc trưng sau:

+ Đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại C, đường trung tuyến CD

$\begin{matrix} \Rightarrow CD = \dfrac{1}{2}AB \hfill \\ \Rightarrow CD = AD = DB \hfill \\ \end{matrix}$

+ Trong một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh mà bằng một nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông.

c. Đường trung tuyến trong tam giác cân

- Trong tam giác cân, tam giác đều, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đó và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.

C. Công thức tính đường trung tuyến

- Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = c; AC = b; BC = a, các đường trung tuyến ${m_a};{m_b};{m_c}$

$\begin{matrix} {m_a}^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ {m_b}^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} \hfill \\ {m_c}^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4} \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ 1: Tam giác ABC có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

Hướng dẫn giải

Ta có tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến suy ra AM là đường cao, đường phân giác của tam giác ABC

$\Rightarrow BM = MC = \frac{1}{2}BC = 6$

Áp dụng định lý Pi – ta – go cho tam giác vuông AMC có:

$A{C^2} = A{M^2} + M{C^2} \Rightarrow AM = \sqrt {A{C^2} - M{C^2}} = 8$

Ví dụ 2: Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC có góc , AB = 4cm, AC = 6cm.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{matrix} B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos {120^0} \hfill \\ \Rightarrow BC = 2\sqrt {19} \hfill \\ \Rightarrow A{M^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4} \hfill \\ \Rightarrow AM = \sqrt 7 \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6cm và 9cm. Tính độ dài cạnh AB.

Hướng dẫn giải

Công thức đường trung tuyến

Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến nên AM = BM = MC = 6

Suy ra BC = 12

Mặt khác

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A{M^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4}} \\ {B{N^2} = \dfrac{{B{C^2} + A{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} = 72} \\ {\dfrac{{A{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4} = 45} \end{array}} \right. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A{B^2} = 54} \\ {A{C^2} = 18} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB = 3\sqrt 6 } \\ {AC = 3\sqrt 2 } \end{array}} \right. \hfill \\ \hfill \\ \end{matrix}$

D. Bài tập tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác

Bài 1:Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC có góc A = 120 độ, AB = 4cm, AC = 6cm

Bài 2: Cho tam giác ABC có góc BAC bằng 1200, AB = 2a, AC = 3a

a. Tính độ dài cạnh BC, đường trung tuyến AM

b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

c. Gọi D là chân đường phân giác trong góc ABC. Tính diện tích tam giác BDA.

Bài 3: Cho tam giác MNP cân tại M với đường trung tuyến MK (M ∈ NP)

a. Chứng minh tam giác MKN bằng tam giác MKP

b. Biết MN = MP = 13cm, NK = 5cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến MK

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, góc A = 60°

a. Tính độ dài cạnh BC, diện tích và đường cao AH của tam giác

b. Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, độ dài trung tuyến BM của tam giác.

Từ khóa » đường Trung Tuyến Trong Tam Giác Cân Tính Chất

Công Thức Tính độ Dài đường Trung Tuyến